中考数学重庆市一轮复习第三章函数第5节二次函数的综合应用练习57及答案.docx

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中考数学重庆市一轮复习第三章函数第5节二次函数的综合应用练习57及答案

第5节　二次函数的综合应用

（10年15卷13考，1道，12分）

玩转重庆10年中考真题（2008～2017年）

命题点1　

（10年12考，仅2010～2012年未考）

1.（2013重庆A卷25题12分）如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（－3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC.求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

第1题图

2.（2008重庆28题10分）已知：

如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：

是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

3.（2014重庆B卷25题12分）如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC.

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；

（3）在

（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．

第3题图

4.（2014重庆A卷25题12分）如图，抛物线y＝－x2－2x＋3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；

（3）在

（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2

DQ，求点F的坐标．

第4题图

5.（2015重庆B卷26题12分）如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图①，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．

第5题图

拓展训练　

如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝

x2－

x－2分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D.

（1）判定△ABC的形状；

（2）在线段BC下方的抛物线上有一点P，当△BCP面积最大时，求点P的坐标及△BCP面积的最大值；

（3）如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，将△EHD绕点E逆时针旋转一个角度α（0°≤α≤90°），∠DEH的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当△KET为等腰三角形时，求此时KT的值．

命题点2　二次函数的实际应用（10年4考，2009～2012连续考查）

6.（2009重庆25题10分）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系y＝－50x＋2600，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：

月　份

1月

5月

销售量

3.9万台

4.3万台

（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？

最大是多少？

（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值（保留一位小数）．（参考数据：

≈5.831，

≈5.916，

≈6.083，

≈6.164）

7.（2012重庆25题10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行.1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

月份x（月）

1

2

3

4

5

6

输送的污

水量y1（吨）

12000

6000

4000

3000

2400

2000

7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式y2＝ax2＋c，其图象如图所示.1至6月，污水厂处理每吨污水的费用z1（元）与月份x之间满足函数关系式：

z1＝

x，该企业自身处理每吨污水的费用z2（元）与月份x之间满足函数关系式：

z2＝

x－

x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；

（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；

（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a－30）%.为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：

≈15.2，

≈20.5，

≈28.4）

第7题图

答案

1.解：

（1）∵点A（－3，0）与点B关于直线x＝－1对称，

∴点B的坐标为（1，0）；（2分）

（2）∵a＝1，

∴y＝x2＋bx＋c，

∵抛物线过点（－3，0），且对称轴为直线x＝－1，

∴

，解得

，

∴抛物线解析式为y＝x2＋2x－3，

∴点C的坐标为（0，－3），（4分）

①设点P的坐标为（x，y），

由题意得S△BOC＝

OB·OC＝

×1×3＝

，

∴S△POC＝4S△BOC＝4×

＝6，（6分）

当x>0时，S△POC＝

OC·x＝

×3×x＝6，

∴x＝4，

∴y＝42＋2×4－3＝21；（7分）

当x<0时，S△POC＝

OC·（－x）＝

×3×（－x）＝6，

∴x＝－4，

∴y＝（－4）2＋2×（－4）－3＝5，（8分）

∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）；（9分）

②如解图，设点A、C所在直线的解析式为y＝mx＋n（m≠0），

第1题解图

把A（－3，0）、C（0，－3）代入，得

，解得

，

∴y＝－x－3，

设点Q的坐标为（x，－x－3），

其中－3≤x≤0，

∵QD⊥x轴，且点D在抛物线上，

∴点D的坐标为（x，x2＋2x－3），

∴QD＝－x－3－（x2＋2x－3）＝－x2－3x＝－（x＋

）2＋

，（11分）

∵－3<－

<0，

∴当x＝－

时，QD有最大值

，

∴线段QD长度的最大值为

.（12分）

2.解：

（1）∵抛物线y＝ax2－2ax＋c与y轴交于点C（0，4）且经过A（4，0），

可得

，解得

，（2分）

∴所求抛物线的解析式为y＝－

x2＋x＋4；（3分）

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如解图①.

由－

x2＋x＋4＝0，

解得x1＝－2，x2＝4，

∴点B的坐标为（－2，0），（4分）

第2题解图①

∴AB＝6，BQ＝m＋2，

∵QE∥AC，

∴∠BQE＝∠BAC，∠BEQ＝∠BCA，

∴△BQE∽△BAC，

∴

＝

，即

＝

，

∴EG＝

，（5分）

∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ

＝

BQ·CO－

BQ·EG

＝

（m＋2）（4－

）

＝－

m2＋

m＋

（6分）

＝－

（m－1）2＋3.

∵－2≤m≤4，

∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）；（7分）

（3）存在．

在△ODF中，

①若DF＝DO，

∵A（4，0），D（2，0），

∴AD＝OD＝DF＝2，

又∵在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，

∴∠OAC＝45°，

∴∠DFA＝∠OAC＝45°，

∴∠ADF＝90°，此时，点F的坐标为（2，2），

由－

x2＋x＋4＝2，解得x1＝1＋

，x2＝1－

，

此时，点P的坐标为：

P（1＋

，2）或P（1－

，2）;（8分）

②若FO＝FD，过点F作FM⊥x轴于点M，如解图②，

第2题解图②

由等腰三角形的性质得：

OM＝

OD＝1，

∴AM＝3，

∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3，∴F（1，3），

由－

x2＋x＋4＝3，解得x1＝1＋

，x2＝1－

；

此时，点P的坐标为：

P（1＋

，3）或P（1－

，3）；（9分）

③若OD＝OF，

∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，

∴AC＝4

，

∴点O到AC的距离为2

，而OF＝OD＝2＜2

，

∴此时不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形；

综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：

P（1＋

，2）或P（1－

，2）或P（1＋

，3）或P（1－

，3）．（10分）

3.解：

（1）当y＝0时，即－x2＋2x＋3＝0，

解得x1＝－1，x2＝3，

∴A（－1，0），B（3，0），（2分）

当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3），（3分）

∴点A、B、C的坐标分别是A（－1，0），B（3，0），C（0，3）；（4分）

（2）设△BCM的面积为S，点M的坐标为（a，－a2＋2a＋3），

则OC＝3，OB＝3，ON＝a，MN＝－a2＋2a＋3，BN＝3－a，

根据题意，得S△BCM＝S四边形OCMN＋S△MNB－S△COB＝

（OC＋MN）·ON＋

MN·NB－

OC·OB＝

[3＋（－a2＋2a＋3）]a＋

（－a2＋2a＋3）（3－a）－

×3×3＝－

a2＋

a＝－

（a－

）2＋

，

∴当a＝

时，S△BCM有最大值，（6分）

此时，ON＝a＝

，BN＝3－a＝

，

∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，

∴∠PBN＝45°，

∴PN＝BN＝

，

根据勾股定理，得PB＝

＝