数学实验方程模型及其求解算法参考答案免积分.docx
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数学实验方程模型及其求解算法参考答案免积分
实验2方程模型及其求解算法
一、实验目的及意义
[1]复习求解方程及方程组的基本原理和方法；
[2]掌握迭代算法；
[3]熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句（特别是循环、条件、控制等语句）；
[4]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。
这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验内容
1．方程求解和方程组的各种数值解法练习
2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习
3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤
1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；
2．根据各种数值解法步骤编写M文件
3．保存文件并运行；
4．观察运行结果（数值或图形）；
5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务
基础实验
1．用图形放大法求解方程xsin（x）=1.并观察该方程有多少个根。
画出图形程序：
x=-10:
0.01:
10;
y=x.*sin（x）-1;
y1=zeros（size（x））;
plot（x,y,x,y1）
MATLAB运行结果：
扩大区间画图程序：
x=-50:
0.01:
50;
y=x.*sin（x）-1;
y1=zeros（size（x））;
plot（x,y,x,y1）
MATLAB运行结果：
由上图可知，该方程有偶数个无数的根。
2．将方程x5+5x3-2x+1=0改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释。
（1）画图：
x1=-6:
0.01:
6;
x2=-3:
0.01:
3;
x3=-1:
0.01:
1;
x4=-0.8:
0.01:
-0.75;
y1=x1.^5+5*x1.^3-2*x1+1;
y2=x2.^5+5*x2.^3-2*x2+1;
y3=x3.^5+5*x3.^3-2*x3+1;
y4=x4.^5+5*x4.^3-2*x4+1;
subplot（2,2,1）,plot（x1,y1）
title（'子图
（1）'）,gridon,
subplot（2,2,2）,plot（x2,y2）
title（'子图
（2）'）,gridon,
subplot（2,2,3）,plot（x3,y3）
title（'子图（3）'）,gridon,
subplot（2,2,4）,plot（x4,y4）
title（'子图（4）'）,gridon,
由图可知x的初值应在（-0.78，0.76）之间。
（2）解：
第一步构造迭代函数
第二步
利用加速迭代收敛法变形后：
第三步
迭代
设定初值
n=0,1,2,3………
用MATLAB编程
x=-077;y=-0.77;z=-0.77;
fork=1:
30
x=（-4*x^5-10*x^3+1）/（2-5*x^4-15*x^2）;
y=（2*y^6+4*y^2-3*y）/（5*y^3+3*y^5+2*y-2）;
z=（8*z^2-2*z）/（z^5+5*z^3+6*z-1）;
x,y,z;
end
迭代结果为：
x=
-61.5948
y=
-0.7685
z=
-0.7687
x=
-49.2694
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-39.4074
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-31.5158
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-25.2000
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-20.1442
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-16.0957
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-12.8521
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-10.2512
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-8.1634
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-6.4844
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-5.1311
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-4.0373
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-3.1508
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-2.4323
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-1.8546
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-1.4028
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-1.0737
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-0.8700
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-0.7840
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-0.7689
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-0.7685
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-0.7685
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-0.7685
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-0.7685
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-0.7685
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-0.7685
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-0.7685
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-0.7685
y=
-0.7685
z=
-0.7685
x=
-0.7685
y=
-0.7685
z=
-0.7685因此方程的解为-0.7685.
3．求解下列方程组
（1）程序：
[x1,x2]=solve（'2.*x1-x2=exp（-x1）,-x1+2.*x2=exp（-x2）'）
MATLAB运行结果：
x1=
.56714329040978387299996866221036
x2=
.56714329040978387299996866221036
（2）程序
[x1,x2,x3]=solve（'x1^2-5*x2^2+7*x3^2+12,3*x1*x2+x1*x3-11*x1,2.*x2*x3+40*x1'）
MATLAB运行结果：
x1=
0.
0.
0.
0.
1.
-387.00943364216191174841684720677+32.703483593366328482166316712807*i
-387.00943364216191174841684720677-32.703483593366328482166316712807*i
-.31446604900950983649963891979635
x2=
-1.5491933384829667540717061599130
1.5491933384829667540717061599130
0.
0.
5.
-.31228791210131965952830872704551-50.806549482970160848437610559089*i
-.31228791210131965952830872704551+50.806549482970160848437610559089*i
2.9579091575359726523899507874243
x3=
0.
0.
1.3093073414159542875965849124937*i
-1.3093073414159542875965849124937*i
-4.
11.936863736303958978584926181137+152.41964844891048254531283167727*i
11.936863736303958978584926181137-152.41964844891048254531283167727*i
2.1262725273920820428301476377270
直接使用MATLAB命令：
solve（）和fsolve（）对方程组求解。
4．迭代以下函数，分析其收敛性。
任选一个完成。
使用线性连接图、蛛网图或分枝与混沌图对参数a进行讨论与观察，会得到什么结论？
选择2）
线性连接图：
源代码：
>>a=0.5;x=[];
x
（1）=0.5;
fori=2:
20
x（i）=a*sin（x（i-1））;
end
n=1:
20;
subplot（2,2,1）,plot（n,x）,title（'a=0.5,x0=0.5'）
图：
应用实验（以下四个问题，至少完成一个）
1．油价与船速的优化问题
油价的上涨，将影响大型海船确定合理的航行速度，以优化航行收入。
直观地，油耗的多少直接影响船速的快慢，因而直接影响航行时间的长短，进而影响支付船员人工费用数量。
过去有一些经验表明：
（1）油耗正比于船速的立方；
（2）最省油航速的基础上改变20%的速度；则引起50%的油耗的变化。
作为一个例子：
某中型海船，每天油耗40吨，减少20%的航速，省油50%、即20吨。
每吨油价250美元，由此每天减少耗油费用5000美元，而航行时间的增加将增加对船员支付的费用的增加，如何最优化?
算例：
航程L=1536海里，标准最省油航速20节，油耗每天50吨，航行时间8天。
最低航速10节，本次航行总收入为84600美元。
油价250美元/吨，日固定开支1000美元。
试确定最佳航速。
2.炮弹发射角的问题
炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200m/s，问要击中水平距离360m、垂直距离160m的目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大？
此时炮弹的运行轨迹如何？
试进行动态模拟。
进一步思考：
如果要考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s），结果又如何？
此时炮弹的运行轨迹如何？
试进行动态模拟。
3.小行星的运动轨道问题
一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为天文测量单位。
在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如下表：
1
2
3
4
5
x
5.764
6.286
6.759
7.168
7.408
y
0.648
1.202
1.823
2.526
3.360
请确定该小行星绕太阳运行的轨道，并且画出小行星的运动轨迹。
4．GPS全球定位系统是一个基于卫星的导航系统。
其原理如下：
有30个卫星绕地球运行。
任何时刻他们都知道自己的准确位置，每隔几秒种，所有卫星都同步地发出表明自己准确位置的信号
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