若dij≥d
其中，d为事先给定的距离临界值。
也可直接以距离之倒数（inversedistance）作为空间权重：
1
wij=d
ij
在上式中，距离dij既可以是地理距离，比如直线距离或大圆距
离（greatcircledistance）；也可以是基于运输成本或旅行时间的经济距离；甚至社交网络中的距离。
例：
林光平等（2005）使用基于地理相邻关系的简单权重矩阵W来研究我国28个省市在1978-2002年期间实际人均GDP的收敛情况。
但相邻地区经济上的相互关系并不完全相同。
为此，林光平等（2005）使用地区间人均GDP的差额作为测度地
区间“经济距离”的指标，并引入经济空间权重矩阵W*=W⨯E，
其中矩阵E的主对角线元素均为0，非主对角线的（i,j）元素为
Eij=
1（i≠
j），Yi为地区i样本期间的人均实际GDP平均值。
29.3空间自相关
在使用空间计量方法前，首先要考察数据是否存在空间依赖性。
如果不存在，则使用标准的计量方法即可；
如果存在，则可使用空间计量方法。
比照时间序列（timeseries），空间数据有时也称为“空间序列”（spatialseries）。
时间序列可视为在时间轴上分布的随机过程，而空间数据（序列）则为在空间分布的随机过程。
时间序列的一个重要特性是可能存在自相关，特别是一阶自相关。
对于空间序列，自相关的情形则更为复杂；因为时间序列只可能在一个方向上相关（过去影响现在，但现在无法影响过去），而空间序列则可以在多个方向上相关，而且可以互相影响（xi影响xj，而xj也影响xi）。
“空间自相关”（spatialautocorrelation）可理解为位置相近的区域具有相似的变量取值。
如果高值与高值聚集在一起，低值与低值聚集在一起，则为“正空间自相关”（positivespatialautocorrelation）。
如果高值与低值相邻，则为“负空间自相关”（negativespatialautocorrelation）；较少见。
如果高值与低值完全随机地分布，则不存在空间自相关。
ii=1
考虑空间序列{x}n。
文献中提出了一系列度量空间自相关的方法，最为流行的是“莫兰指数I”（Moran’sI）：
nn
∑∑wij（xi
-
x）（xj
-
x）
I=i=1
j=1
S∑∑w
nn
2
ij
i=1j=1
∑
其中，S2=
ni=1
（xin
-x）2
为样本方差，wij为空间权重矩阵的（i,j）
nn
元素（用来度量区域i与区域j之间的距离），而∑∑wij为所有空间
权重之和。
i=1
j=1
nn
如果空间权重矩阵为行标准化，则∑∑wij
=n，莫兰指数I为：
i=1j=1
nn
∑∑wij（xi
-
x）（xj
-
x）
n
I=i=1j=1
∑（xi
-x）2
i=1
莫兰指数I的取值一般介于-1到1之间，大于0表示正自相关，即高值与高值相邻、低值与低值相邻；小于0表示负自相关，即高值与低值相邻。
如果莫兰指数I接近于0，则表明空间分布是随机的，不存在空间自相关。
莫兰指数I可视为观测值与其空间滞后（spatiallag）的相关系数。
如果将观测值与其空间滞后画成散点图，称为“莫兰散点图”
（Moranscatterplot），则莫兰指数I就是该散点图回归线的斜率。
考虑原假设“H0:
Cov（xi,
xj）=0,
∀i≠
j”（即不存在空间自相关）。
在此原假设下，莫兰指数I的期望值为
E（I）=
-1
n-1
莫兰指数I的方差表达式更为复杂，记为Var（I）。
标准化的莫兰指数I服从渐近标准正态分布：
I*≡
I-E（I）
−d−→N（0,1）
在使用莫兰指数I检验空间自相关时，须注意两个问题。
问题之一，莫兰指数I取决于空间矩阵W，如果空间矩阵设定不正确，则可能导致错误的结果。
问题之二，莫兰指数I的核心成分为（xi
-
x）（xj
-
x），其隐含假设
是{x}
n
ii=1
的期望值为常数（constantmean），不存在任何趋势（trend）。
如果存在趋势，则可能导致检验结果出现偏差。
为了解决问题一，须仔细选择合适的空间矩阵，或使用不同的空间矩阵以考察结果的稳健性。
为了解决问题二，可引入协变量，通过回归的方法去掉趋势，然后对残差项进行莫兰指数I检验。
以上的莫兰指数I也被称为“全局莫兰指数I”（globalMoran’sI），
ii=1
考察整个空间序列{x}n
的空间集聚情况。
如果想知道某区域i附近的空间集聚情况，可使用“局部莫兰指数I”（localMoran’sI）：
（xi-x）n
Ii=
2∑wij（xj
S
j=1
-
x）
局部莫兰指数I的含义与全局莫兰指数I相似。
莫兰指数I并非唯一的空间自相关指标，另一常用指标为“吉尔里指数C”（Geary’sC）（Geary,1954），也称为“吉尔里相邻比率”（Geary’sContiguityRatio）：
nn
（n-1）∑∑w（x
-x）2
C=⎛
i=1
nn
j=1
⎫⎡
ijij
⎤
n
2
2ç∑∑wij⎪⎢∑（xi
-x）⎥
⎝i=1
j=1
⎭⎣i=1⎦
吉尔里指数C的核心成分为（x-x）2。
ij
吉尔里指数C的取值一般介于0到2之间（2不是严格上界），大于1表示负相关，等于1表示不相关，而小于1表示正相关。
吉尔里指数C与莫兰指数I呈反向变动；前者比后者对于局部空间自相关更为敏感。
在不存在空间自相关的原假设下，吉尔里指数C的期望值为1，而方差的表达式较复杂，记为Var（C）。
标准化的吉尔里指数C服从渐近标准正态分布：
C*≡
C-1
−d−→N（0,1）
莫兰指数I与吉尔里指数C的共同缺点在于，即无法分别“热点”（hotspot）与“冷点”（coldspot）区域。
所谓热点区域，即高值与高值聚集的区域；而冷点区域则是低值与低值聚集的区域。
热点区域与冷点区域都表现为正自相关。
GetisandOrd（1992）提出了以下“Getis-Ord指数G”：
nn
∑∑wijxixj
nn
G=i=1j=1
∑∑xixj
i=1j≠i
其中，xi
>0,
∀i；而wij来自非标准化的对称空间权重矩阵，且
所有元素均为0或1。
如果样本中高值聚集在一起，则G较大；如果低值聚集在一起，则G较小。
nn
∑∑wij
在无空间自相关的原假设下，E（G）=
i=1j≠i。
n（n-1）
如果G值大于此期望值，则表示存在热点区域；如果G值小于此期望值，则表示存在冷点区域。
标准化的G服从渐近标准正态分布：
G*≡
G-E（G）
−d−→N（0,1）
如果G*>1.96，则可在5%水平上拒绝无空间自相关的原假设，
认为存在空间正自相关，且存在热点区域。
如果G*<-1.96，则可在5%水平上拒绝无空间自相关的原假设，
认为存在空间正自相关，且存在冷点区域。
如果要考察某区域i是否为热点或冷点，则可使用“局部
Getis-Ord指数G”：
Gi=
∑wijxjj≠i
∑x
j
j≠i
以上各种空间自相关指标仅提供是否存在空间效应的初步检验，深入检验有赖于建立正式的空间计量模型。
29.4空间自回归模型
对于时间序列，最常见的建模方式为一阶自回归AR
（1）。
空间自回归的形式更为复杂，因为空间滞后可以来自不同的方向，而且可以双向。
ii=1
对于空间序列{y}n
（样本容量为n），即使假设空间自相关的形
式为线性，待估计的参数在理论上最多可达（n2-n）个（每个区域最
多可受n-1个区域影响，共有n个区域），大大超出样本容量。
必须假设空间依赖性服从某种共同的模式，才能简化参数。
首先回顾时间序列的一阶自相关模型：
yt=
βyt-1+εt
（t=2,,n）
假设n=4，而y1=ε1。
将这4个方程叠放在一起可得：
⎛y1⎫
⎛0000⎫⎛
y1⎫⎛ε1⎫
çy
y=ç
⎪
2⎪=
ç1000⎪çy
βç⎪ç
⎪ç
2⎪+ç
⎪
ε
2⎪≡
βWy+ε
çy3⎪
ç0100⎪çy3⎪çε3⎪
y
ç⎪
⎝4⎭
ç0010⎪çy
⎝⎭⎝
W
⎪ç⎪
ε
4⎭⎝4⎭
其中，矩阵W的次主对角线元素均为1，而其他元素都为0。
矩阵W可视为“时间滞后矩阵”，它之所以呈现出次对角线元素为1而其他元素为0的规律性排列，正是由于时间滞后在方向上的单一性。
对于空间序列，矩阵W则为空间权重矩阵，其元素排列方式表现出多样性（因为空间自相关可以多方向）。
引入以下“空间自回归模型”（SpatialAutoregression，简记SAR）：
y=λWy+ε
其中，W为已知的空间权重矩阵（非随机），而空间依赖性仅由单一参数λ。
λ度量空间滞后Wy对y的影响，称为“空间自回归系数”（spatialautoregressiveparameter）。
此模型也称为“空间滞后模型”（SpatialLagModel）。
相邻地区的被解释变量（比如犯罪率）可能相互依赖，并最终形成一个均衡的结果。
又比如，假设以地区税收为被解释变量，则不同地区的政府出于相互竞争或博弈的考虑（比如，竞相吸引FDI），在制定本地区税收时，会考虑周边地区的税收水平。
假设W为前例的权重矩阵，则方程可写为：
⎛y1⎫
⎛0111⎫⎛
y1⎫⎛ε1⎫
⎛y2+
y3+
y4⎫
⎛ε1⎫
çy⎪
ç1010⎪çy
⎪çε⎪
çy+y
⎪çε⎪
ç2⎪=λç⎪ç
2⎪+ç
2⎪=λç
13⎪+ç2⎪
çy3⎪
ç1101⎪çy3⎪çε3⎪
çy1+y2+
y4⎪çε3⎪
çy⎪
ç1010⎪çy
⎪çε⎪
çy+y
⎪çε⎪
⎝4⎭
⎝⎭⎝
4⎭⎝4⎭
⎝13
⎭⎝4⎭
如果对此联立方程系统进行OLS估计，将导致联立方程偏差
（simultaneitybias）。
ii=1
由于空间依赖性，导致变量{y}n
之间互相影响，产生内生性。
更一般地，可在方程中加入自变量：
y=λWy+Xβ+ε
其中，X为n⨯k数据矩阵，包括k列解释变量；βk⨯1为相应系数。
此方程也称为SAR模型。
如果λ=0，则简化为一般的线性回归模型。
可通过检验原假设“H0:
λ=0”来考察是否存在空间效应。
对于空间自回归模型，常使用MLE估计。
首先，假设扰动项ε~
N（0,σ2I）。
n
其次，方程可写为
Ay
≡（I
-λW）y=
Xβ+ε
其中，A≡（I-λW）。
由于雅可比行列式J≡=
==A'=
A，根据
多维正态密度公式，可写出样本的似然函数：
L（y|λ,σ2,β）=（2πσ2）-n
2（abs
A）exp⎧-
1
2σ2
（Ay-
Xβ）'（Ay-
Xβ）⎫
⎨
⎬
⎩⎭
其中，abs
A表示行列式
A的绝对值。
对数似然函数为：
lnL（y|λ,σ2,β）=-nln2π-nlnσ2+ln（absA）-1（Ay-
Xβ）'（Ay-
Xβ）
222σ2
此最大化问题分两步。
第一步，在给定λ的情况下，选择最优的β,σ2。
第二步，代入第一步的最优β,σ2，选择最优的λ。
在第一步，由于β只出现于最后一项，故等价于使
（Ay-
Xβ）'（Ay-
Xβ）最小，即Ay对X进行回归：
βˆ=（X'X）-1X'Ay
=（X'X）-1X'（I
-
λW）y
β
0
=（X'X）-1X'y-λ（X'X）-1X'Wy≡
ˆ-λβˆL
0
其中，
ˆ≡（X'X）-1X'y
（y对X的回归系数），而
β
βˆL
≡（X'X）-1X'Wy（Wy对X的回归系数）。
只要知道λ，即可计算βˆ。
对σ2求偏导可得σ2的MLE估计：
σˆ2
=e'e=
（MXAy）'（MXAy）
nn
其中，e为Ay对X回归的残差向量，MX
灭矩阵。
≡In
-X（X'X）-1X'为消
由于Ay
=（I
-
λW）y，故
e=MXAy=
MX（I
-λW）y=
MXy-λMXWy
≡e0
-
λeL
其中，e0
≡MX
y（y对X的回归残差），而eL
≡MXWy（Wy对X的
回归残差）。
代入可得：
σˆ2
=e'e=
（e0
-λeL）'（e0
-
λeL）
nn
只要知道λ，即可计算σˆ2。
在第二步，将βˆ（λ）,σˆ2（λ）代入对数似然函数，可得“集中对数
似然函数”（concentratedloglikelihoodfunction），它只是λ的函数。
由于λ出现在行列式A=
I-λW
，给计算带来不便。
可利用等式A
=∏（1-λvi）来计算，其中v1,,vn为矩阵A特征值
n
i=1
（eigenvalues）。
为保证扰动项协方差矩阵为正定，还须限制λ的取值为
1<λ<1，其中v与v分别为矩阵A的最小与最大特征值，
vminvmax
而vmin一定为负数。
min
max
对于MLE估计量的渐近协方差矩阵，通过信息矩阵来估计：
⎪⎧⎡∂2lnL⎤⎫⎪-1
I（θ）-1
≡-⎨E⎢⎥⎬
⎩⎪⎣∂θ∂θ'⎦⎭⎪
其中，θ=（λ,σ2,β）。
对于空间自回归模型y
=λWy+
Xβ+ε，解释变量X对y的边际
效应并非β，因为X对y产生作
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