信号分析与处理——傅里叶变换性质.ppt

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,三、傅立叶变换的基本性质,线性奇偶性对偶性尺度变换特性时移特性,频移特性微分特性积分特性帕斯瓦尔定理卷积定理,傅里叶变换使任一信号可以有两种描述形式：

时域描述和频域描述。

为了进一步了解信号的这两种描述形式之间的相互关系，如:

信号的时域特性在频域中如何对应，在频域中的一些运算在时域中会引起什么效应，等等，必须讨论傅立叶变换的一些重要性质。

另外，很多性质对简化傅立叶变换或反变换的求取也很有用,1、线性（叠加性）,若:

则:

例：

求x（t）的傅立叶变换,已知矩形脉冲信号的傅立叶变换为：

利用线性性质可得：

2、奇偶性,无论x（t）是实函数还是复函数，都有下面结论：

若:

则:

（2-85）的含义为：

（2-85）,时域共轭对应频域共轭并且反摺,证明：

由傅立叶变换定义式,取共轭,以代替,对于x（t）是实函数的特殊情况，则有下面结论：

由于：

再根据（2-85）,可以得：

等价为：

（2-86）,（2-86）的含义为：

实函数的傅立叶变换具有共轭对称性,由傅里叶变换的定义，有,显然：

频谱函数的实部和虚部分别为：

（2-87）,频谱函数的幅度和相位分别为,（2-88）,下面讨论，当为：

1）实函数；2）实偶函数；3）实奇函数的情况下，的奇偶、虚实特性,1）当为实函数的情况下,由：

可知：

可知：

由：

即：

当为实函数，其频谱函数的实部为偶函数其频谱函数的虚部为奇函数,即：

当为实函数，其频谱函数的幅度为偶函数其频谱函数的相位为奇函数,2）当为实偶函数的情况下,由：

可知：

偶,奇,即：

当为实偶函数，其频谱函数为实函数,加上前面关于实函数情况的结论，综合得到：

当为实偶函数，其频谱函数为实偶函数,x（t）,0,t,0,实偶函数,实偶函数,例：

3）当为实奇函数的情况下,由：

可知：

奇,偶,即：

当为实奇函数，其频谱函数为虚函数,加上前面关于实函数情况的结论，综合得到：

当为实奇函数，其频谱函数为虚奇函数,x（t）,0,例：

实奇函数,虚奇函数,3、对偶性,若则,证明：

由傅立叶反变换式,自变量t变成-t,将t和互换,含义：

对进行傅里叶变换，所得频谱函数为,例：

例2-10求取样函数的傅立叶变换,解：

由式（2-62）可知，宽度为，幅度为E的矩形脉冲信号的傅立叶变换为,若取,，则,由对偶性，得：

1/2,0,0,0,0,4、尺度变换特性,若,则,证明略，（p48）,含义：

在时域上将信号压缩到倍，则在频域上其频谱扩展倍，同时幅度相应地减小到倍。

也就是说，信号波形在时域的压缩意味着在频域中信号频带的展宽；反之，信号波形在时域的扩展，意味着频域中信号频带的压缩,时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）,x（t/2）,压缩,扩展,图2-50表示了单位矩形脉冲信号尺度变换（）前后的时域波形及其频谱。

2-50,5、时移特性,若:

则:

信号在时域中沿时间轴右移（或左移）则在频域中，信号的幅度频谱不变，而相位频谱产生（或）的变化。

（2-92）,式（2-92）的含义为：

例2-11求图2-46（a）表示的信号的频谱。

解:

（a）可看成是（b）和（c）所示的信号的组合,（a）（b）（c）,的频谱函数分别为：

由线性和时移特性，有:

例：

求三脉冲信号的频谱,求如下三脉冲信号的频谱函数,为P36页的标准矩形脉冲信号,解：

6、频移特性,若:

则:

证明：

由傅立叶变换定义,同理有,（2-94）,（2-94）的含义为：

在时域将信号乘以因子，对应于在频域将原信号的频谱右移，即往高频段平移,在时域将信号乘以因子，对应于在频域将原信号的频谱左移，即往低频段平移,频谱搬移,这种频谱搬移，就是通信工程中常用的幅度调制技术的理论本质,幅度调制技术简称调幅技术，即：

将被调制信号乘以正弦信号（常称载波信号），得到调制信号：

其频谱函数为：

原频谱一分为二，各向左、右移动，在移动过程中幅度谱的形式保持不变。

举例说明其体现在频谱图上的效果,为什么要对信号进行调制？

7、微分特性,若:

则:

证明：

由傅立叶反变换定义,两边对t求导，有：

以此类推，有：

所以有：

例：

求三角脉冲的频谱,方法一：

代入定义计算,方法二：

利用微分性质计算,微分,根据微分性质:

所以有:

8、积分特性,若:

则:

如果，则有:

证明:

p53自己阅读,例：

求斜平信号的频谱,可以看成矩形脉冲的积分,积分,由标准矩形脉冲信号的频谱和时移性质，可得的频谱为,由积分性质，可得的频谱为,又因为：

所以得：

9、帕斯瓦尔定理,若:

则:

帕斯瓦尔公式表明，对在整个频率范围内积分，可以得到信号的总能量。

式（2-100）为有限能量信号的帕斯瓦尔公式,（2-100）,因此，反映了信号的能量相对于频率的分布，称为能量密度谱，简称能谱，即：

10、卷积定理,

（1）时域卷积定理,若:

则:

时域卷积定理表明，两个信号在时域的卷积积分，对应了频域中该两信号频谱的乘积，由此可以把时域的卷积运算转换为频域的乘法运算，简化了运算过程,例：

求两个矩形脉冲卷积后的频谱,矩形脉冲的表达式为,它们所对应的频谱为,由时域卷积定理有：

两个矩形脉冲卷积后的结果为：

图2-55说明了该例中，各种时域曲线、频谱曲线的对应关系：

（2）频域卷积定理,若:

则:

上式表明:

两信号在时域的相乘对应于在频域中它们频谱的卷积,利用频域卷积定理也可以很容易导出：

以及:

和前面提到的频移特性一致,