新课标必修一示范教案11集合的含义与表示.docx
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新课标必修一示范教案11集合的含义与表示
1.1集合
1.1.1集合的含义与表示
整体设计
三维目标
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.
重点难点
教学重点:
集合的基本概念与表示方法.
教学难点:
选择恰当的方法表示一些简单的集合.
课时安排
1课时
设计方案
（一）
教学过程
导入新课
思路1.军训前学校通知:
8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.
思路2.首先教师提出问题:
在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?
引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与此同时,教师对学生的活动给予评价.接着教师指出:
那么,集合的含义是什么呢?
这就是我们这一堂课所要学习的内容.
推进新课
新知探究
提出问题
①请我们班的全体女生起立！
接下来问:
“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？
”
②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！
他们能不能构成一个集合啊？
③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?
请你给出集合的含义.
④如果用A表示高一（3）班全体学生组成的集合,用a表示高一（3）班的一位同学,b是高一（4）班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?
由此看见元素与集合之间有什么关系？
⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？
⑥世界上的高山能不能构成一个集合？
⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？
⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？
⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？
这说明集合中的元素具有什么性质？
由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？
讨论结果：
①能.
②能.
③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.
④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:
属于和不属于.
⑤能,是珠穆朗玛峰.
⑥不能.
⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.
⑧3个.
⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.
⑩集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:
如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.
提出问题
阅读课本P3中:
数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.
活动：
先让学生阅读课本,教师指定学生展示结果.学生写出常用数集的记号后,教师强调:
通常情况下,大写的英文字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,这是专用集合表示符号,类似于110、119等专用电话号码一样.以后,我们会经常用到这些常见的数集,要求熟练掌握.
讨论结果：
常见数集的专用符号.
N:
非负整数集（或自然数集）（全体非负整数的集合）;
N*或N+:
正整数集（非负整数集N内排除0的集合）;
Z:
整数集（全体整数的集合）;
Q:
有理数集（全体有理数的集合）;
R:
实数集（全体实数的集合）.
提出问题
①前面所说的集合是如何表示的？
②阅读课本中的相关内容,并思考:
除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？
③集合共有几种表示法?
活动：
①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.
②教师可以举例帮助引导:
例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“{}”内,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意：
大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:
从1到100的所有整数组成的集合:
{1,2,3,…,100},自然数集N:
{0,1,2,3,4,…,n,…};区分a与{a}:
{a}表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序;相同的元素不能出现两次.
又例如,不等式x-3>2的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示.可以表示为{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2},这种表示集合的方法是描述法.
③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.
讨论结果：
①方法一（字母表示法）:
大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N、Q,所有的正方形组成的集合记为A等等;
方法二（自然语言）:
用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等.
②列举法:
把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法;
描述法:
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值（或变化）范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:
在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:
所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.
③表示一个集合共有四种方法:
字母表示法、自然语言、列举法、描述法.
应用示例
思路1
1.下列各组对象不能组成集合的是（）
A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数D.函数y=
图象上所有的点
活动：
学生先思考、讨论集合元素的性质,教师指导学生此类选择题要逐项判断.判断一组对象能否构成集合,关键是看是否满足集合元素的确定性.
在选项A、C、D中的元素符合集合的确定性;而选项B中,难题没有标准,不符合集合元素的确定性,不能构成集合.
答案：
B
变式训练
1.下列条件能形成集合的是（）
A.充分小的负数全体B.爱好足球的人
C.中国的富翁D.某公司的全体员工
答案：
D
2.2007浙江宁波高三第一次“十校联考”,理1
在数集{2x,x2-x}中,实数x的取值范围是.
分析:
实数x的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x2-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x的取值范围是{x|x<0或03}.
答案：
{x|x<0或03}
点评：
本题主要考查集合的含义和元素的性质.当所指的对象非常明确时就能构成集合,若元素不明确,没有判断的标准就不能构成集合.
2.用列举法表示下列集合:
（1）小于10的所有自然数组成的集合;
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合;
（3）由1~20以内的所有质数组成的集合.
活动：
学生先思考或讨论列举法的形式,展示解答过程.当学生出现错误时,教师及时加以纠正.利用相关的知识先明确集合中的元素,再把元素写入大括号“{}”内,并用逗号隔开.所给的集合均是用自然语言给出的.
提示学生注意以下方面:
（1）自然数中包含零;
（2）解一元二次方程有公式法和分解因式法,方程x2=x的根是x=0,x=1;
（3）除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数,1~20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.
解：
（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么
A={0,1}.
（3）设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么
C={2,3,5,7,11,13,17,19}.
点评：
本题主要考查集合表示法中的列举法.通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性,以后我们尽量用集合来表示数学内容.
如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;
列举法表示集合的步骤:
（1）用字母表示集合;
（2）明确集合中的元素;（3）把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.
变式训练
用列举法表示下列集合:
（1）所有绝对值等于8的数的集合A;
（2）所有绝对值小于8的整数的集合B.
答案：
（1）A={-8,8};
（2）B={-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.
3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:
（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.
活动：
先让学生回顾列举法表示集合的步骤,思考描述法的形式,再找学生到黑板上书写.当学生出现错误时,教师指导学生书写过程.用描述法表示集合时,要用数学符号表示集合元素的特征.大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10用描述法表示集合时,用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内,在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值（或变化）范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
在
（1）中利用条件中现有元素代表符号x,集合中元素的共同特征就是满足方程x2-2=0.
在
（2）的条件中没有元素代表符号,故要先设出,用一个小写英文字母表示即可;集合中元素的共同特征有两个:
一是大于10小于20（用不等式表示）,二是整数（用元素与集合的关系符号“∈”来表示）.
解：
（1）设方程x2-2=0的实根为x,它满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为
A={x∈R|x2-2=0}.
方程x2-2=0的两个实数根为
因此,用列举法表示为
A={
}.
（2）设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10B={x∈Z|10大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为
B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
描述法表示集合的步骤:
（1）用字母分别表示集合和元素;
（2）用数学符号表达集合元素的共同特征;（3）在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值（或变化）范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={…|…}的形式.描述法适合表示有无数个元素的集合.
注意：
当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示,否则用描述法表示.
思路2
1.
（1）A={1,3},判断元素3,5和集合A的关系,并用符号表示.
（2）所有素质好的人能否表示为集合?
（3）A={2,2,4}表示是否准确?
（4）A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?
活动：
如果学生没有解题思路,让学生思考以下知识:
（1）元素与集合的关系及其符号表示;
（2）集合元素的性质;
（3）两个集合相同的定义.
解：
（1）根据元素与集合的关系有两种:
属于（∈）和不属于（
）,知3属于集合A,即3∈A,5不属于集合A,即5
A.
（2）由于素质好的人标准不可量化,不符合集合元素的确定性,故A不能表示为集合.
（3）表示不准确,不符合集合元素的互异性,应表示为A={2,4}.
（4）因其元素相同,A与B表示同一集合.
变式训练
1.数集{3,x,x2-2x}中,实数x满足什么条件?
解：
集合元素的特征说明{3,x,x2-2x}中元素应满足
即
也就是
即满足x≠-1,0,3.
2.方程ax2+5x+c=0的解集是{
},则a=________,c=_______.
分析:
方程ax2+5x+c=0的解集是{
},那么
、
是方程的两根,
即有
得
那么a=-6,c=-1.
答案：
6-1
3.集合A中的元素由关于x的方程kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中仅有一个元素,求k的值.
解：
由于A中元素是关于x的方程kx2-3x+2=0（k∈R）的解,
若k=0,则x=
知A中有一个元素,符合题设;
若k≠0,则方程为一元二次方程,
当Δ=9-8k=0即k=
时,kx2-3x+2=0有两相等的实数根,此时A中有一个元素.
综上所述k=0或k=
.
4.2006山东高考,理1定义集合运算:
A⊙B={z|z=xy（x+y）,x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为…（）
A.0B.6C.12D.18
分析:
∵x∈A,∴x=0或x=1.
当x=0,y∈B时,总有z=0;
当x=1时,
若x=1,y=2时,有z=6;当x=1,y=3时,有z=12.
综上所得,集合A⊙B的所有元素之和为0+6+12=18.
答案：
D
注意：
①判断元素与此集合的关系时,用列举法表示的集合,只需观察这个元素是否在集合中即可.用符号∈,表示,注意这两个符号的左边写元素,右边写集合,不能互换它们的位置,否则没有意义.
②如果有明确的标准来判断元素在集合中,那么这些元素就能构成集合,否则不能构成集合.
③用列举法表示的集合,直接观察它们的元素是否完全相同,如果完全相同,那么这两个集合就相等,否则不相等.
2.用列举法表示下列集合:
（1）小于5的正奇数组成的集合;
（2）能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;
（3）方程x2-9=0的解组成的集合;
（4）{15以内的质数};
（5）{x|
∈Z,x∈Z}.
活动：
教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元素,写在大括号内即可.
提示学生注意：
（2）中满足条件的数按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;
（4）中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;
（5）中3-x是6的约数,6的约数有±1,±2,±3,±6.
解：
（1）满足题设条件小于5的正奇数有1、3,故用列举法表示为{1,3};
（2）能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12};
（3）方程x2-9=0的解为-3、3,故用列举法表示为{-3,3};
（4）15以内的质数有2、3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13};
（5）满足
∈Z的x有3-x=±1、±2、±3、±6,解之,得x=2、4、1、5、0、6、-3、9,故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,-3,9}.
变式训练
用列举法表示下列集合:
（1）x2-4的一次因式组成的集合;
（2）{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N};
（3）方程x2+6x+9=0的解集;
（4）{20以内的质数};
（5）{（x,y）|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z};
（6）{大于0小于3的整数};
（7）{x∈R|x2+5x-14=0};
（8）{（x,y）|x∈N且1≤x<4,y-2x=0};
（9）{（x,y）|x+y=6,x∈N,y∈N}.
思路分析：
用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序地用“,”隔开放在大括号内.
解：
（1）因x2-4=（x-2）（x+2）,故符合题意的集合为{x-2,x+2};
（2）y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,即y≤4.又y∈N,∴y=0、1、2、3、4,
故{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}={0,1,2,3,4};
（3）由x2+6x+9=0得x1=x2=-3,∴方程x2+6x+9=0的解集为{-3};
（4）{20以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19};
（5）因x∈Z,y∈Z,则x=-1、0、1时,y=0、1、-1,
那么{（x,y）|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}={（-1,0）,（0,1）,（0,-1）,（1,0）};
（6）{大于0小于3的整数}={1,2};
（7）因x2+5x-14=0的解为x1=-7,x2=2,则{x∈R|x2+5x-14=0}={-7,2};
（8）当x∈N且1≤x<4时,x=1、2、3,此时y=2x,即y=2、4、6,
那么{（x,y）|x∈N且1≤x<4,y-2x=0}={（1,2）,（2,4）,（3,6）};
（9）{（x,y）|x+y=6,x∈N,y∈N}={（0,6）（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,（6,0）}.
点评：
本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合:
先明确集合中的元素,再把元素写在大括号内并用逗号隔开,相同的元素写成一个.
3.用描述法分别表示下列集合:
（1）二次函数y=x2图象上的点组成的集合;
（2）数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;
（3）不等式x-7<3的解集.
活动：
让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点？
如何表示数轴上的点？
如何表示不等式的解？
学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生:
（1）集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对（x,y）来表示,其特征是满足y=x2;
（2）集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;
（3）集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x来表示,把不等式化为x解：
（1）二次函数y=x2上的点（x,y）的坐标满足y=x2,则
二次函数y=x2图象上的点组成的集合表示为{（x,y）|y=x2};
（2）数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则
数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|>6};
（3）不等式x-7<3的解是x<10,则
不等式x-7<3的解集表示为{x|x<10}.
点评：
本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.
用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是（x,y）,数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.
变式训练
用描述法表示下列集合:
（1）方程2x+y=5的解集;
（2）小于10的所有非负整数的集合;
（3）方程ax+by=0（ab≠0）的解;
（4）数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;
（5）平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;
（6）方程组
的解的集合;
（7）{1,3,5,7,…};
（8）x轴上所有点的集合;
（9）非负偶数;
（10）能被3整除的整数.
解：
（1）{（x,y）|2x+y=5};
（2）{x|0≤x<10,x∈Z};
（3）{（x,y）|ax+by=0（ab≠0）};
（4）{x||x|>3};
（5）{（x,y）|xy<0};
（6）{（x,y）|
};
（7）{x|x=2k-1,k∈N*};
（8）{（x,y）|x∈R,y=0};
（9）{x|x=2k,k∈N};
（10）{x|x=3k,k∈Z}.
知能训练
课本P5练习1、2.
【补充练习】
1.下列对象能否组成集合:
（1）数组1、3、5、7;
（2）到两定点距离的和等于两定点间距离的点;
（3）满足3x-2>x+3的全体实数;
（4）所有直角三角形;
（5）美国NBA的著名篮球明星;
（6）所有绝对值等于6的数;
（7）所有绝对值小于3的整数;
（8）中国男子足球队中技术很差的队员;
（9）参加2008年奥运会的中国代表团成员.
答案：
（1）
（2）（3）（4）（6）（7）（9）能组成集合,（5）（8）不能组成集合.
2.（口答）说出下面集合中的元素:
（1）{大于3小于11的偶数};
（2）{平方等于1的数};
（3）{15的正约数}.
答案：
（1）其元素为4,6,8,10;
（2）其元素为-1,1;
（3）其元素为1,3,5,15.
3.用符号∈或
填空:
（1）1______N,0______N,-3______N,0.5______N,
______N;
（2）1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,
______Z;
（3）1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,
______Q;
（4）1______R,0______R,-3______R,0.5______R,
______R.
答案：
（1）∈∈
（2）∈∈∈
（3）∈∈∈∈
（4）∈∈∈∈∈
4.判断正误:
（1）所有属于N的元素都属于N*.（）
（2）所有属于N的元素都属于Z.（）
（3）所有不属于N*的数都不属于Z.（）
（4）所有不属于Q的实数都属于R.（）
（5）不属于N的数不能使方程4x=8成立.（）
答案：
（1）×
（2）√（3）×（4）√（5）√
5.分别用列举法、描述法表示方程组
的解集.
解：
因
的解为
用描述法表示该集合为{（x,y）|
};
用列举法表示该集合为{（3,-7）}.
拓展提升
问题:
集合A={x|x=a+
b,a∈Z,b∈Z},判断下列元素x=0、
、
与集合A之间的关系.
活动：
学生先思考元素与集合之间有什么关系,书写过程,将元素x化为a+2b的形式,再判断a、b是否为整数.描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征,那么判断一个元素是否属于集合时,转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可.
解：
由于x=a+b
a∈Z,b∈Z,
∴当a=b=0时,x=0.∴0∈A.
又
=
+1=1+
当a=b=1时,a+b
=1+
∴
∈A.
又
=
+
当a=3,b=1时,a+b
=
+
而3
Z,
∴
A.
∴0∈A,
∈A,
A.
点评：
本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系.
课堂小结
本节学习了:
（1）集合的概念;
（2）集合的表示法;（3）利用列举法和描述法表示集合的步骤.
作业
课本P11习题1.1A组2、3、4.
设计感想
集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和使用数学语言的基础.由于集合的概念较难理解,因此设计时采用渐进式学习,而集合的列举法和描述法的形式比较容易接受,在设计时注重让学生自己学习,重点引导学生学习这两种方法的应用.同时通过解决一系列具体问题,使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点;针对不同问题,能选用合适集合表示法.在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控,对学生不可能解决的问题,如集合常见表示法的写法,常见数集及其记法应直接给出,以避免出现不必要的混乱.对学生
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