大学物理例题.docx
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大学物理例题
例1路灯离地面高度为H,一个身高为h的人,在灯下水平路面上以匀速度
步行。
如图3-4所示。
求当人与灯的水平距离为
时,他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。
解:
建立如右下图所示的坐标,
时刻头顶影子的坐标为
,设头顶影子的坐标为
,则
由图中看出有
则有
所以有
;
例2如右图所示,跨过滑轮C的绳子,一端挂有重物B,另一端A被人拉着沿水平方向匀速运动,其速率
。
A离地高度保持为h,h=1.5m。
运动开始时,重物放在地面B0处,此时绳C在铅直位置绷紧,滑轮离地高度H=10m,滑轮半径忽略不计,求:
(1)重物B上升的运动方程;
(2)重物B在时刻的速率和加速度;
(3)重物B到达C处所需的时间。
解:
(1)物体在B0处时,滑轮左边绳长为l0=H-h,当重物的位移为y时,右边绳长为
因绳长为
由上式可得重物的运动方程为
(SI)
(2)重物B的速度和加速度为
(3)由
知
当
时,
。
此题解题思路是先求运动方程,即位移与时间的函数关系,再通过微分求质点运动的速度和加速度。
例3一质点在xy平面上运动,运动函数为x=2t,y=4t2-8(SI)。
(1)求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线;
(2)求t1=1s和t2=2s时,质点的位置、速度和加速度。
解:
(1)在运动方程中消去t,可得轨道方程为
,
轨道曲线为一抛物线如右图所示。
(2)由
可得:
在t1=1s时,
在t2=2s时,
例4质点由静止开始作直线运动,初始加速度为a0,以后加速度均匀增加,每经过τ秒增加a0,求经过t秒后质点的速度和位移。
解:
本题可以通过积分法由质点运动加速度和初始条件,求解质点的速度和位移。
由题意可知,加速度和时间的关系为:
根据直线运动加速度的定义
因为t=0时,v0=0,故
根据直线运动速度的定义有
因为t=0时,x0=0,则位移为
例5
(1)对于作匀速圆周运动的质点,试求直角坐标和单位矢量i和j表示其位置矢量r,并由此导出速度v和加速度a的矢量表达式。
(2)试证明加速度a的方向指向轨道圆周的中心。
解:
(1)由右图可知
式中,
,
,且根据题意
是常数,所以,有
又因
所以
(2)
由上式可见,a与r方向相反,即a指向轨道圆周中心。
6一张致密光盘(CD)音轨区域的内半径R=2.2cm,外半径为R=5.6cm,如右图所示,径向音轨密度N=650条/mm。
在CD唱机内,光盘每转一圈,激光头沿径向向外移动一条音轨,激光束相对光盘是以
的恒定速度运动的。
这张光盘的全部放音时间是多少?
激光束到达离盘心r=5.0cm处时,光盘转动的角速度和角加速度各是多少?
解:
(1)以r表示激光束打到音轨上的点对光盘中心的径矢,则在dr宽度内的音轨长度为2πrNdr。
激光束划过这样长的音轨所用的时间为dt=2πrNdr/v。
由此得光盘的全部放音时间为
(2)所求角速度为
所求角加速度为
例3两个质量均为m的质点,用一根长为2a、质量可忽略不计的轻杆相联,构成一个简单的质点组。
如图5-4所示,两质点绕固定轴OZ以匀角速度
转动,轴线通过杆的中点O与杆的夹角为
,求质点组对O点的角动量大小及方向。
解:
设两质点A、B在图示的位置,它们对O点的角动量的大小相等、方向相同(与OA和mv组成的平面垂直)。
角动量的大小为
例6如图5-7所示,两物体质量分别为m1和m2,定滑轮的质量为m,半径为r,可视作均匀圆盘。
已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为
,求m1下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少?
设绳子和滑轮间无相对滑动,滑动轴受的摩擦力忽略不计。
解:
对m1,由牛顿第二定律
对m2,由牛顿第二定律
对滑轮,用转动定律
又由运动学关系,设绳在滑轮上不打滑
联立解以上诸方程,可得
例7如图5-8所示。
两个圆轮的半径分别为R1和R2,质量分别为M1和M2。
二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起,可以绕一水平固定轴自由转动。
今在两轮上各绕以细绳,绳端分别挂上质量是m1和m2的两个物体。
求在重力作用下,m2下落时轮的角加速度。
解:
如图示,由牛顿第二定律
对m1:
对m2:
对整个轮,由转动定律
又由运动学关系
联立解以上诸式,即可得
例8固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO′转动,设大小圆柱体的半径分别为R和r,质量分别为M和m,绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和物体m2相连,m1和m2分别挂在圆柱体的两侧,如图5-9(a)所示。
设R=0.20m,r=0.10m,m=4kg,M=10kg,m1=m2=2kg,且
开始时m1、m2离地均为h=2m,求:
(1)柱体转动时的角加速度;
(2)两侧细绳的张力;
(3)m1经多长时间着地?
(4)设m1与地面作完全非弹性碰撞,m1着地后柱体的转速如何变化?
解:
设a1、a2分别为m1、m2的加速度,
为柱体角加速度,方向如图5-9(b)所示。
(1)m1、m2的平动方程和柱体的转动方程如下:
式中:
;
;
;
;
联立
(1)、
(2)、(3)式,解得角加速度为
代入数据后得
(2)由
(1)式得
由
(2)式得
(3)设m1着地时间为t,则
(4)m1着地后静止,这一侧绳子松开。
柱体继续转动,因只受另一侧绳子拉力的阻力矩,柱体转速将减小,m2减速上升。
讨论:
如果只求柱体转动的角加速度,可将柱体、m1、m2选做一个系统,系统受的合外力矩,则加速度
本题第二问还要求两侧细绳的张力,故采用本解法是必要的,即分别讨论柱体的转动、m1和m2的平动。
例9一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮,质量皆为m的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬,如图5-10所示。
(1)二人是否同时达到顶点?
以甲、乙二人为系统,在运动中系统的动量是否守恒?
机械能是否守恒?
系统对滑轮轴的角动量是否守恒?
(2)当甲相对绳的运动速度u是乙相对绳的速度2倍时,甲、乙二人的速度各是多少?
解:
(1)甲、乙二人受力情况相同,皆受绳的张力T,重力mg,二人的运动相同,因为
所以二人的加速度相同,二人的速度为
因初速度v0=0,二人在任一时刻的速度相同,上升的高度相同,所以同时到达顶点。
以二人为系统,因二人是加速上升,所受合外力2(T-mg)>0,故系统的动量不守恒。
以人和地球为系统,张力T对系统做功,因而系统的机械能不守恒。
显然人在上升中机械能在样加。
但
甲、乙二人相对滑轮轴的合外力矩(M=TR-TR+mgR-mgR)等于零,系统对轴的角动量守恒。
(2)设甲的速度
、乙的速度为
,从解
(1)知二人的速度相等,即
,这个结果也可用角动量守恒得到,因
故
设绳子的牵连速度为v0,设滑轮左侧绳子的v0向下,那么滑轮右侧的v0一定向上,根据速度合成定理
所以
则
讨论:
由于人用力上爬时,人对绳子的拉力可能改变,因此绳对人的拉力也可能改变,但甲、乙二人受力情况总是相同,因此同一时刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同,二人总是同时到达顶点。
例12一质量为M,半径为R,并以角速度
旋转着的飞轮,某瞬时有一质量为m的碎片从飞轮飞出。
假设碎片脱离圆盘时的瞬时速度方向正好竖直向上,如图5-11所示。
求余下圆盘的角速度、角动量。
解:
破裂瞬间,系统对转轴的合外力矩为零,系统角动量守恒
得
余下圆盘角速度不变。
余下圆盘的角动量
例13赤道上有一高楼,楼高h(图5-12)。
由于地球自转,楼顶和楼根对地心参考系都有线速度。
(1)证明:
楼顶和楼根的线速度之差为
,其中
为地球自转角速度。
(2)证明:
一物体由楼顶自由下落时,由于地球自转的影响,着地点将在楼根东侧约
处。
这就是落体偏东现象。
计算h=30m时,着地点偏东的距离。
(此结果利用了物体下落时“水平”速度不变这一近似处理。
实际上物体下落时应该是地球对自转轴的角动量保持不变。
利用这一点,并取楼高对地球半径之比的一级近似,则可得更有为准确的结果
。
)
证:
(1)楼顶的线速度为
楼根的线速度为
。
二者之差
。
(2)将楼所在处的地面局部视为向东以速度
平移,则落体下落时间为
而着地时偏东的距离为
以
代入上式可得
例15一个内壁光滑的圆环型细管,正绕竖直光滑固定轴OO′自由转动。
管是刚性的,环半径为R。
一质量为m的小球静止于管内最高点A处,如图5-14所示。
由于微小扰动,小球向下滑动,试判决小球在管内下滑过程中,下列三种说法是否正确,并说明理由。
(a)地球、环管与小球系统的机械能不守恒。
(b)小球的动量不守恒。
(c)小球对OO′轴的角动量守恒。
辨析
(a)不正确。
对小球、环管、地球系统,外力为零,外力的功当然为零,环管与小球间的正压力N和N′是一对非保守内力。
在小球下滑过程中,小球受管壁的压力N(与管壁垂直)始终与小球相对管壁的速度方向(与管壁相切)垂直,所以这一对内力做功之和为零,而且与参考系的选择无关。
系统中只有保守内力(重力)做功,系统的机械能守恒。
(b)正确。
小球在下滑过程中始终受到管壁的压力和重力,而此二力的方向不同,所以合力不为零,使得小球的动量不断变化。
(c)不正确。
小球在下滑过程中受重力和管壁的压力,重力和OO′轴平行,重力的轴向力矩恒为零,但管壁对小球的压力方向不通过OO′轴,对OO′轴有力矩,所以小球对OO′的角动量在变化,角动量不守恒。
例如小球在位置A对OO′轴的角动量为零,在B处小球有垂直于环半径的水平分速度,它对OO′轴的角动量不再是零,到达最低点C时,对OO′轴的角动量又等于零。
例1 一条均匀链条,质量为m,总长为l,成直线状放在桌面上,如图6-8所示,设桌面与链条之间的摩擦系数系数为
。
现已知链条下垂长度为a时链条开始下滑,试计算链条刚好全部离开桌面时的速率。
解:
运用动能定理计算此题,链条下落过程有重力、摩擦力做功,根据动能定理
当链条下垂y再继续下垂
时,重力功
为
全过程重力的功
桌面摩擦力在链条下滑时做的功为
代入动能定理
解出
例2 在质量m、半径R的圆盘形定滑轮上跨一轻绳,在绳一端施一恒力
,另一端系一质量m,边长为L的立方体,开始时立方体上端面正好与密度为
的液面重合,并在绳子拉动下由静止开始上升,如图6-9。
求:
(1)当立方体一半露出液面时,滑轮与立方体间绳张力;
(2)立方体刚离开液面时的速度。
解:
(1)立方体与滑轮受力分别如图6-10、图6-11所示。
当立方体露出一半时浮力
对立方体,由牛顿第二定律
对滑轮,由转动定律
又由角量与线量关系
解得
(2)取立方体、滑轮、绳、地球为系统
做功的外力有
,
无非保守内力做功
设立方体刚离开液面时速度为v,此时滑轮角速度为
,有
由功能原理
解得:
例3 在光滑水平桌面上放着一静止的木块,其质量为M,质量为m的子弹以水平速度
打击木块。
设子弹在木块中钻行时受到恒定阻力
,求子弹在木块中钻行的距离。
解:
碰撞过程中,子弹在木块中钻行,因受阻力而减速,木块则加速直至和子弹的速度相等为止。
系统水平方向不受外力,动量守恒。
取子弹前进方向为正,碰撞结束时子弹和木块的共同速度为v,则有
对于木块这个质点系,在碰撞过程中,它受的外力为
,根据质心运动定理,质心对地的加速度
相对于木块这个非惯性系,研究子弹的运动时,必须添加惯性力。
在该系统中应用动能定理,有
子弹在木块中钻行的距离为
例4 在一辆小车上固定装有光滑弧形轨道,轨道下湍水平,小车质量为m,静止放在光滑水平面上,今有一质量也为m,速度为v的铁球,沿轨道下端水平射入并沿弧形轨道上升某一高度,然后下降离开小车(如图6-12所示)。
(1)铁球离开小车时相对地面的速度多大?
(2)铁球沿弧面上升的最大高度h是多少?
解:
(1)选铁球与车为系统,对铁球以
水平射入这一过程进行考察,因系统水平方向不受外力,故水平方向动量守恒。
设铁球离开小车时对地面的速度为
,小车的速度为
,则有
(1)
在上述过程中,只有重力做功,如果把地球选进系统,系统的机械能守恒,取轨道水平处为势能零点
(2)
由式
(1)、
(2)可得
即铁球离开小车时对地面速度为零。
(2)当铁球上升最大高度h时,它相对于小车的速度为零,因而它对地具有与小车相同的水平速度
,上升过程中铁球、小车与地球系统的机械能守恒,势能零点取轨道水平处。
(3)
同一过程中铁球与小车系统水平方向的动量守恒,于是
(4)
联立(3)、(4)两式可得
例5 劲度系数为k的弹簧,一端固定于墙上,另一端与质量为m1的木块A相接,A与质量为m2的木块B用轻绳相连,整个系统放在光滑水平面上,如图6-13所示,然后以不变的力F向右拉m2,使m2自平衡位置由静止开始运动。
求木块A、B系统所受合外力为零时的速度,以及此过程中绳的拉力T对m1所做的功,恒力F对m2做的功。
解:
设A、B系统合外力为零时的速度为v,弹簧的伸长量为x,则外力
(f为弹簧对A的拉力)
所以
对A、B组成的系统运用动能定理
A内力表示连结A、B的绳张力做的功,因绳不变形,物体A、B的位移相同,故
将
代入上式得
恒力F做功
以A为对象,运用动能定理
解得拉力的功
例6 如图6-14所示,质量为M,长为l的均匀细杆,可绕A端的水平轴自由转动,当杆自由下垂时,有一质量为m的小球,在离杆下端的距离为a处垂直击中细杆,并于碰撞后自由下落,而细杆在碰撞后的最大偏角
,试小球击中细杆前的速度。
解:
球与杆碰撞瞬间,系统所受合外力矩为零,系统碰撞前后角动量守恒
(1)
杆摆动过程机械能守恒
(2)
(3)
联立
(1)、
(2)、(3)式,解得小球碰前速率为
例7 一质量为M,半径为R,并以角速度
旋转着的飞轮,某瞬时有一质量为m的碎片从飞轮飞出。
假设碎片脱离圆盘时的瞬时速度方向正好竖直向上,如图6-15所示。
(1)问碎片能上升多高?
(2)求余下圆盘的角速度、角动量和转动动能。
解:
(1)碎片m的速率
,碎片上升过程机械能守恒
解得
(2)破裂瞬间,系统对转轴的合外力矩为零,系统角动量守恒
得
余下圆盘角速度不变。
余下圆盘的角动量
余下圆盘的转动动能
例8 如图6-16所示,从太阳系外飞入太阳系的一颗流星离太阳最近的距离为
,这时它的速率为
。
若不考虑其他行星的影响,试求这颗流星在进入太阳系之前的速率和它飞向太阳的瞄准距离。
解:
对流星飞经太阳附近的过程,由机械能守恒可得
由此得流星进入太阳系之前的速率为
流星受太阳的引力总指向太阳,流星对太阳的角动量守恒
流星飞向太阳的瞄准距离为
例1 2mol氢气在温度为300K时体积为0.05m3。
经过
(1)等温膨胀;或(3)等压膨胀,最后体积都变为0.25m3。
试分别计算这三种过程中氢气对外做的功并说明它们为什么不同?
在同一p-V图上画出这三个过程的过程曲线。
解:
(1)绝热膨胀:
(2)等温膨胀
(3)等压膨胀
由于各过程的压强不同,所以在体积变化相同的情况下,气体对外做的功也不同,这在p-V图(图20-6)上看得很清楚:
各过程曲线下的面积不同。
例2 使一定质量的理想气体的状态按图20-7中的曲线沿箭头所示的方向发生变化,图线的BC段是以轴和V轴为渐近线的双曲线。
(1)已知气体在状态A时的温度
,求气体在B,C和D状态时的温度。
(2)从A到D气体对外做的功总共是多少?
解:
(1)AB为等压过程:
,
BC为等温过程:
;
CD为等压过程:
。
(2)
例3 分别通过下列准静态过程把标准状态下0.014kg氮气压缩为原体积的一半。
(1)等温过程;
(2)绝热过程;(3)等压过程。
求:
在这些过程中,气体内能的改变,传递的热量和外界对气体所做的功。
分析 依题意氮气可视为理想气体,且
。
等值、绝热过程的功、热量及内能增量的计算。
解:
已知,
(1)等温过程
(放热)
(2)绝热过程
由
得
(3)等压过程
所以
所以
(放热)
例4 汽缸内有一种刚性双原子分子的理想气体,若使其绝热膨胀后气体的压强减少一半,求变化前后气体的内能之比。
解:
理想气体的状态方程和内能公式
可得
变化前
变化后
由绝热过程方程
即
按题设
,有
,或
对刚性双原子分子
所以
例5 图20-9为一循环过程的T-V曲线。
该循环的工质为
的理想气体,其中
和
均已知且为常量。
已知a点的温度为
,体积为V1,b点的体积为V2,ca为绝热过程。
求:
(1)c点的温度;
(2)循环的效率。
解:
(1)ca为绝热过程,
(2)ab为等温过程,工质吸热
bc为等容过程,工质放热为
循环过程的效率
例7 一台冰箱工作时,其冷冻室中的温度为-10℃,室温为15℃。
若按理想卡诺致冷循环计算,则此致冷机每消耗
的功,可以从冷冻室中吸出多少热量?
解:
由于
所以
J
例1人体一天大约向周围环境散发
热量,试估算由此产生的熵。
设人体温度为
,忽略人进食时带进体内的熵,环境温度取为237K。
解:
将人和环境视为一个孤立系统,人体向周围环境散热可以设计为一个等温过程,环境吸热也可以设计为一个等温过程,于是两个过程的总熵为
例2已知在
时,1mol的冰溶解为1mol的水需要吸收6000J的热量,求
(1)在
时这些水化为冰的熵变;
(2)在
时水的微观状态数与冰的微观状态数之比。
解:
(1)
的冰化为
的水为不可逆过程,为了计算其熵变,可设一可逆的等温过程,于是熵变为
(2)由玻尔兹曼熵公式
可知,熵S与微观状态数有关,若已知两状态的熵变,就可求得微观状态数之比。
由于
所以
1.对于一个系统的熵变,有下面两种说法,判断其正误。
(1)任一绝热过程,熵变
;
(2)任一可逆过程,熵变
。
解答:
(1)说法错误。
由克劳修斯熵公式可知,对可逆绝热过程,熵变
,但对不可逆绝热过程
,即
,熵增加。
(2)说法同样不正确。
可逆的绝热过程系统熵不变。
但对非绝热的可逆过程,吸热时
,放热时
。
2.一杯热水放在空气中,最终杯中水的温度与空气完全相同,结果杯中水的熵减少,这是否与熵增加原理矛盾?
解答:
不矛盾。
熵增加原理只对孤立绝热系统成立。
而杯中的水不是孤立的,也不是绝热系统,因而其熵是可以减少的。
若将杯中的水可、和空气作为一个孤立系统,则系统达到平衡态时,总熵一定是增加的。
3.若一系统从某一初态分别沿可逆过程和不可逆过程到达同一终态,则不可逆过程的熵变大于可逆过程的熵变。
解答:
这种说法不对。
因为熵是态函数,只要初、末状态一定,熵的增量就一定,与过程无关。
难点辨析
1.怎样理解熵是态函数
从可逆卡诺循环出发,对图21-1所示的任一可逆循环过程有
所以必有
仿照保守力做功与路径无关引入了一个态函数那样,可以引入一个态函数
,即熵S是热力学系统的状态函数。
2.熵与内能的比较
熵和内能虽然都是态函数,却是两个不同的概念,它们描述系统的不同性质,具有不同的物理意义。
例如,理想气体向真空膨胀的过程中,系统的内能不变,但熵却要增加,我们还是根据熵的变化来判断过程自发进行的方向的。
另一方面,内能的变化是从量的方面显示过程中的能量转换,而熵的变化则是从质的方面显示能量转换的不可逆行。
3.怎样计算不可逆过程的熵变
对可逆过程,可以利用克劳修斯熵公式计算熵变,即
对不可