中考数学复习专题汇编第六讲 第1课时 几何图形中的动点问题.docx
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中考数学复习专题汇编第六讲第1课时几何图形中的动点问题
第六讲运动型问题
第1课时 几何图形中的动点问题
(58分)
一、选择题(每题6分,共18分)
1.[2017·安徽]如图6-1-1,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,动点P满足S△PAB=S矩形ABCD,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为( D )
A.B.C.5D.
图6-1-1 第1题答图
【解析】令点P到AB的距离为h,由S△PAB=S矩形ABCD,得×5h=×5×3,解得h=2,动点P在EF上运动,如答图,作点B关于EF的对称点B′,BB′=4,连结AB′交EF于点P,此时PA+PB最小,根据勾股定理求得最小值为=,选D.
图6-1-2
2.如图6-1-2,在矩形ABCD中,AB=2a,AD=a,矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动.设点P经过的路径长为x,PD2=y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是( D )
【解析】①当0≤x≤2a时,∵PD2=AD2+AP2,AP=x,∴y=x2+a2;②当2a<x≤3a时,CP=2a+a-x=3a-x,∵PD2=CD2+CP2,∴y=(3a-x)2+(2a)2=x2-6ax+13a2;③当3a<x≤5a时,PD=2a+a+2a-x=5a-x,
∴PD2=y=(5a-x)2,y=∴能大致反映y与x的函数关系的图象是选项D中的图象.
图6-1-3
3.如图6-1-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=8,以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上,且点D与点A重合,现将正方形DEFG沿AB的方向以每秒1个单位的速度匀速运动,当点D与点B重合时停止,则在这个运动过程中,正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是( A )
【解析】首先根据在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=8,分别求出AC,BC,以及AB边上的高线各是多少;然后根据图示,分三种情况:
①当0≤t≤2时;②当2<t≤6时;③当6<t≤8时,分别求出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S的表达式,进而判断出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可.
S=
二、解答题(共20分)
4.(20分)[2017·无锡]如图6-1-4,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=m,动点P从点D出发,在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动,连结CP,作点D关于直线PC的对称点E.设点P的运动时间为t(s).
(1)若m=6,求当P,E,B三点在同一直线上时对应的t的值.
(2)已知m满足:
在动点P从点D到点A的整个过程中,有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3.求所有这样的m的取值范围.
图6-1-4
【解析】
(1)如答图①,P,E,B三点在同一直线上,连结EC.①在Rt△BEC中,计算BE的值;②在Rt△ABP中,利用勾股定理列出关于t的方程,解出t值即可求;
(2)如图②,P,E,B三点在同一直线上,连结EC,过点E作EF⊥BC于F.①在Rt△EFC中,利用勾股定理求出CF;②利用相似三角形的判定与性质求得BF;③根据m=BC=BF+CF计算m的值.
解:
(1)如答图①,P,E,B三点在同一直线上,连结EC.
第4题答图①
∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC.
∵PD=t,m=6,∴PA=6-t.
∵点D,点E关于直线PC对称.
∴PE=t,EC=DC=AB=4,∠CEP=∠CDP=90°.
在Rt△BCE中,∵BC=6,CE=4,
∴BE===2.
在Rt△ABP中,∵AB2+AP2=BP2,即42+(6-t)2=(2+t)2,
解得t=6-2.
(2)如答图②,当点P与A重合时,点E在BC的下方,点E到BC的距离为3.
作EQ⊥BC于Q,EM⊥DC于M.则EQ=3,CE=DC=4.易证四边形EMCQ是矩形,∴CM=EQ=3,∠M=90°,
∴EM==,
∵∠DAC=∠EDM,∠ADC=∠M,
∴△ADC∽△DME,∴=,即=,
∴AD=4.
第4题答图② 第4题答图③
如答图③,当点P与A重合时,点E在BC的上方,点E到BC的距离为3.
作EQ⊥BC于Q,延长QE交AD于M.则EQ=3,CE=DC=4.
在Rt△ECQ中,QC=DM==,由△DME∽△CDA,
∴=,即=,∴AD=,
综上所述,在动点P从点D到点A的整个运动过程中,有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3,这样的m的取值范围是≤m<4.
5.(20分)[2017·丽水]如图6-1-5,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连结BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部.连结AF,BF,EF,过点F作GF⊥AF交AD于点G,设=n.
图6-1-5
(1)求证:
AE=GE;
(2)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示的值;
(3)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值.
【解析】设AE=a,则AD=na.
(1)由轴对称性质得到AE=FE,结合“等边对等角”得到∠EAF=∠EFA.由垂直得到两个角的互余关系,根据“等角的余角相等”可得到结论;
(2)由对称性质得BE⊥AF,先证∠ABE=∠DAC,进而证得△ABE∽△DAC,根据相似三角形的对应边成比例建立关系式,通过适当变形求解;
(3)由特例点F落在线段BC上,确定n=4,根据条件点F落在矩形内部得到n>4,判断出∠FCG<90°.然后分∠CFG=90°和∠CGF=90°两种情况,由
(2)的结论和相似三角形的性质分别建立关于n的等式,求得n的值.
解:
设AE=a,则AD=na.
(1)证明:
由对称得AE=FE,∴∠EAF=∠EFA.
∵GF⊥AF,∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°.
∴∠FGA=∠EFG,∴FG=EF,∴AE=GE.
第5题答图①
(2)当点F落在AC上时(如答图①),由对称得BE⊥AF,
∴∠ABE+∠BAC=90°,
∵∠DAC+∠BAC=90°,
∴∠ABE=∠DAC.
又∵∠BAE=∠D=90°,
∴△ABE∽△DAC,∴=.
∵AB=DC,∴AB2=AD·AE=na·a=na2.
∵AB>0,∴AB=a,∴==.
(3)若AD=4AB,则AB=a.当点F落在线段BC上时(如答图②),EF=AE=AB=a.此时a=a,
∴n=4.∴当点F落在矩形内部时,n>4.
∵点F落在矩形的内部,点G在AD上,
∴∠FCG<∠BCD,∴∠FCG<90°.
第5题答图② 第5题答图③
①若∠CFG=90°,则点F落在AC上,由
(2)得=,∴n=16.
②若∠CGF=90°(如答图③),
则∠CGD+∠AGF=90°.
∵∠FAG+∠AGF=90°,
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE,
∵∠BAE=∠D=90°,
∴△ABE∽△DGC.∴=,
∴AB·DC=DG·AE,即=(n-2)a·a,
解得n1=8+4,n2=8-4<4(不合题意,舍去).∴当n=16或8+4时,以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形.
(20分)
6.(20分)[2017·菏泽]如图6-1-6,正方形ABCD的边长为6cm,点E,M分别是线段BD,AD上的动点,连结AE并延长,交边BC于F,过M作MN⊥AF,垂足为H,交边AB于点N.
(1)如图①,若点M与点D重合,求证:
AF=MN;
(2)如图②,若点M从点D出发,以1cm/s的速度沿DA向点A运动,同时点E从点B出发,以cm/s的速度沿BD向点D运动,设运动时间为ts.
①设BF=ycm,求y关于t的函数表达式;
②当BN=2AN时,连结FN,求FN的长.
图6-1-6
【解析】
(1)由正方形性质和垂直的性质就可以得出∠ADN=∠BAF,利用“AAS”可以得出△ADN≌△BAF就可以得到结论AF=MN;
(2)①由AD∥BF可得△ADE∽△FBE,利用=可以构造y关于t的函数表达式;②由
(1)可知△MAN∽△ABF,∴=,又∵BN=2AN,∴=,用含t的代数式表示BF,结合①中的关系式,可以构造关于t的方程求出t的值,从而求出BF,最后利用勾股定理求FN的长.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC=AB=BC,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.
∵MN⊥AF,∴∠DHA=∠NHA=90°,
∴∠ADH+∠HAD=90°,∠NAH+∠HAD=90°,
∴∠ADH=∠NAH.在△ADN与△BAF中,
∴△ADN≌△BAF,
∴AF=DN,即AF=MN.
(2)①∵正方形的边长为6cm,∴BD==AD=6cm,
∵设运动时间为ts,根据题意,得BE=tcm,
∴DE=BD-BE=(6-t)cm,
∵AD∥BF,∴△ADE∽△FBE,∴=,
∵BF=ycm,∴=,即y=,
∴y关于t的函数表达式为y=.
②∵BN=2AN,AB=6cm,∴AN=2cm,BN=4cm,由
(1)得△MAN∽△ABF,又∵DM=tcm,AM=(6-t)cm,
∴=,即=,∴BF=,
又∵y=,∴,=解得t=2,
当t=2时,BF=y==3cm,在Rt△NBF中,FN===5,
∴当BN=2AN时,FN的长为5cm.
(22分)
7.(22分)[2017·温州]如图6-1-7,已知线段AB=2,MN⊥AB于点M,且AM=BM,P是射线MN上一动点,E,D分别是PA,PB的中点,过点A,M,D的圆与BP的另一交点为C(点C在线段BD上),连结AC,DE.
(1)当∠APB=28°时,求∠B和的度数;
(2)求证:
AC=AB;
(3)在点P的运动过程中.
①当MP=4时,取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三角形,且Q为锐角顶点,求所有满足条件的MQ的值;
②记AP与圆的另一个交点为F,将点F绕点D旋转90°得点G,若点G恰好落在MN上,连结AG,CG,DG,EG,直接写出△ACG与△DEG的面积比.
图6-1-7
【解析】
(1)由垂直平分线的性质得到等腰△PAB,由三线合一得∠APM=∠BPM=∠APB=14°,∠B=90°-∠BPM=90°-14°=76°,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得∠MDB=∠BAC=2∠DPM=28°,以此求得弧CD的度数为2∠MDB=56°;
(2)由同角的余角相等,得∠ACB=∠B,AC=AB;
(3)由垂直分线的性质,分类讨论符合条件的点Q的个数,利用相似和勾股定理分别求出MQ的长度;利用旋转的性质,平行四边形的性质,锐角三角比求出各边的长度,用面积公式求出比值.
解:
(1)如答图①,连结MD.
∵AB⊥MN,AM=BM,
∴PM垂直平分线段AB,∴PA=PB,
在等腰三角形PAB中,∵∠APB=28°,∴∠APM=∠BPM=∠APB=14°,
∴∠B=90°-∠BPM=90°-14°=76°,
在Rt△MPB中,点D为斜边BP的中点,
∴DM=DP,∴∠MPD=∠DMP=14°,
∴∠MDB=∠BAC=2∠DPM=28°,
∴的度数=2∠MDB=56°;
(2)证明:
由
(1)可得
∠B=90°-∠BPM=90°-∠BAC,
在△ABC中,∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-(90°-∠BAC)-∠BAC=90°-∠BAC,
∴∠ACB=∠B,∴AC=AB.
第7题答图① 第7题答图②
(3)①若要满足题意,则点Q必为过点A,C,E,D的垂线与线段MN的交点,分析图形可得只有过点C,E,D的垂线与线段MN的交点满足题意.
(Ⅰ)若CQ⊥CP(如答图②点Q1),AM=BM=1,MP=4,由勾股定理,得BP==,由
(1)
(2)可得∠BAC=∠APB,
又∵∠B=∠B,
∴△ABC∽△PBA,
∴=,得BC=,
∴CP=.
由△PCQ1∽△PMB,得=,解得PQ1=,
∴MQ1=4-PQ1=.
(Ⅱ)若QD⊥BP,由EP=DP可知△EPQ2≌△DPQ2(如答图②点Q2),∴EQ2⊥EP.(即过点E,D的垂线与线段MN的交点重合)
∵点D为线段BP的中点,且Q2D⊥BP,
∴Q2D垂直平分线段BP,则Q2P=Q2B,
设Q2M=x,则Q2B=Q2P=4-x,由勾股定理,得BM2+M2Q2=B2Q2,12+x2=(4-x)2,解得x=.
(Ⅲ)若AC⊥CQ(如答图②点Q3),
∵∠ACQ3=90°,∴Q3A为该圆的直径,
∴点Q3为MP与圆的交点,
∵∠MAC=∠MQ3C=2∠MPC,∠MQ3C=∠MPC+∠Q3CP,∴PQ3=CQ3,
设MQ3=x,则PQ3=4-x,AC=AB=2,
∵A3Q2=AM2+M3Q2=AC2+C3Q2,
∴12+x2=22+(4-x)2,解得x=.
综上所述,MQ的值为或或.
第7题答图③
②如答图③,过点E作AP的中垂线,交MP于点K.过点C作CJ⊥AB于点J,连结AK,KE,DM.
∵点M,D分别为AB,BP的中点,∴MD为△ABP的中位线,
∴MD∥AP,AM=DF.
又∵AM∥ED,∴四边形MAED为平行四边形,
∴AM=DE,∠MDE=∠MAP,∴DE=DF,
∵△GHE≌△GHD,∴GE=GD,
∴GE=GD=DE=DF,则△GDE为正三角形,∠GDE=60°.
∵∠EDF=90°-60°-30°,∴∠DEF=(180°-∠EDF)=75°,
∴∠APM=15°,则∠AKM=2∠APM=30°,
∴MK=,AK=KP=2,tan75°=tan∠MAP===2+,
∴tan∠MAP=tan∠HEP=tan75°=2+,
∵EH为△AMP的中位线,∴EH=,GH=,
∴tan∠HEP==2+,HP=(2+),∴MG=1,
∵∠MAC=2∠MPA=30°,AM=1,CJ=AC=AB=1,
∴MI=,IG=1-,AJ=,
∴S△ACG=IG·AJ=××=,S△EDG=ED·GH=×1×=,
∴==.