数学专业英语课后部分.docx

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数学专业英语课后部分

数学专业英语课后部分习题答案

数学专业英语课后部分习题答案

2.1数学、方程与比例

（1）数学来源于人类的社会实践，包括工农业的劳动，商业、军事和科学技术研究等活动。

Mathematicscomesfromman’ssocialpractice,forexample,industrialandagriculturalproduction,commercialactivities,militaryoperationsandscientificandtechnologicalresearches.

（2）如果没有运用数学，任何一个科学技术分支都不可能正常地发展。

Nomodernscientificandtechnologicalbranchescouldberegularlydevelopedwithouttheapplicationofmathematics.

（3）符号在数学中起着非常重要的作用，它常用于表示概念和命题。

Notationsareaspecialandpowerfultoolofmathematicsandareusedtoexpressconceptionsandpropositionsveryoften.

（4）17世纪之前，人们局限于初等数学，即几何、三角和代数，那时只考虑常数。

Before17thcentury,manconfinedhimselftotheelementarymathematics,i.e.,geometry,trigonometryandalgebra,inwhichonlytheconstantswereconsidered.

（5）方程与算数的等式不同在于它含有可以参加运算的未知量。

Equationisdifferentfromarithmeticidentityinthatitcontainsunknownquantitywhichcanjoinoperations.

（6）方程又称为条件等式，因为其中的未知量通常只允许取某些特定的值。

Equipmentiscalledanequationofconditioninthatitistrueonlyforcertainvaluesofunknownquantitiesinit.

（7）方程很有用，可以用它来解决许多实际应用问题。

Equationsareofverygreatuse.Wecanuseequationsinmanymathematicalproblems.

（8）解方程时要进行一系列移项和同解变形，最后求出它的根，即未知量的值。

Tosolvetheequationmeanstomoveandchangethetermsaboutwithoutmakingtheequationuntrue,untiltherootoftheequationisobtained,whichisthevalueofunknownterm.

2.2几何与三角

（1）许多专家都认为数学是学习其他科学技术的必备基础和先决条件。

Manyexpertsrecognizethatmathematicsisthenecessaryfoundationandprerequisiteofstudyingothersciencetechnology.

（2）西方国家的专家认为几何起源于巴比伦和埃及人的土地测量技术，其实中国古代的数学家对几何做了许多出色的研究。

ThewesternexpertsthinkthatgeometryhaditsorigininthemeasurementsbytheBabyloniansandEgyptiansoftheirlands.Infect,theancientChinesemathematiciansmademuchremarkablestudyforgeometry.

（3）几何的学习使学生在思考问题时更周密和审慎，他们将不会盲目接受任何结论。

Instudyinggeometry,thestudentistaughttothinkclearlyandcriticallyandheisledawayfromthepracticeofblindacceptanceofanyconclusions.

（4）数学培养学生的分析问题的能力，使他们能应用毅力、创造性和逻辑推理来解决问题。

Studyingmathematicscandevelopthestudents’abilitytoanalyzeproblemsandutilizingperseverance,originality,andlogicalreasoninginsolvingtheproblem.

（5）几何主要不是研究数，而是形，例如三角形，平行四边形和圆，虽然它也与数有关。

Geometrymainlystudieshotnumbersbutfiguressuchastriangles,parallelogramsandcircles,thoughitisrelatedwithnumbers.

（6）一个立体（图形）有长、宽和高；面（曲面或平面）有长和宽，但没有厚度；线（直线或曲线）有长度，但既没有宽度，也没有厚度；点只有位置，却没有大小。

Asolid（figure）haslength,widthandheight.Asurface（curvedsurfaceorplanesurface）haslengthandwidth,butnothickness.Aline（straightlineorcurvedline）haslength,butnowidthandthickness.Apointhasposition,butnodimension.

（7）射线从某个点出发无限延伸；两条从同一点出发的射线构成了角。

这两条射线称为这个角的两边，当这两边位于同一直线上且方向相反时，所得的角是平角。

Araystartsfromapointandextendsinfinitelyfar.Tworaysstartingfromonepointformanangle,whicharecalledtwoedgesoftheangle.Whentwoedgeslieinthesamelineandhaveoppositedirectionnamedplaneangle.

（8）平面上的闭曲线当其中每一点到一个固定点的距离均相等时叫做圆。

这个固定点称为圆心，经过圆心且其两个端点在圆周上的线段称为这个圆的直径，直径的一半叫做半径，这条曲线的长度叫做周长。

Acircleisaclosedcurvelyinginoneplane,allpointsofwhichareequidistantfromafixedpoint.Thefixedpointcalledthecenter.Adiameterofacircleisalinesegmentthroughthecenterofthecirclewithendpointsonthecircle.Halfofthediameteriscalledradius.Thelengthofthecircleiscalledcircumference.

2.3集合论的基本概念

（1）由小于10且能被3整除的正整数组成的集是整数集的子集。

Thesetconsistingofthosepositiveintegerslessthan10whicharedivisibleby3isasubsetofthesetofallintegers.

（2）如果方便，我们通过在括号中列举元素的办法来表示集。

Whenconvenient,weshalldesignatesetsbydisplayingtheelementsinbraces.

（3）用符号

表示集的包含关系，也就是说，式子A

B表示A包含于B。

Therelation

isreferredtoassetinclusion;A

BmeansthatAiscontainedinB.

（4）命题A

B并不排除B

A的可能性。

ThestatementA

BdoesnotruleoutthepossibilitythatB

A.

（5）基础集可根据使用场合不同而改变。

Theunderlyingsetmayvaryfromoneapplicationtoanotheraccordingtousingoccasions.

（6）为了避免逻辑上的困难，我们必须把元素x与仅含有元素x的集{x}区别开来。

Toavoidlogicaldifficulties,wemustdistinguishbetweentheelementxandtheset{x}whoseonlyelementisx.

（7）图解法有助于将集合之间的关系形象化。

Diagramsoftenhelpusingvisualizerelationshipbetweensets.

（8）定理的证明仅仅依赖于概念和已知的结论，而不依赖于图形。

Theproofsoftheoremsrelyonlyonthedefinitionsoftheconceptsandknownresult,notonthediagrams.

2.4整数、有理数与实数整数

（1）严格说，这样描述整数是不完整的，因为我们并没有说明“依此类推”或“反复加1”的含义是什么。

Strictlyspeaking,thisdescriptionofthepositiveintegersisnotentirelycompletebecausewehavenotexplainedindetailwhatwemeanbytheexpressions“andsoon”,or“repeatedadditionof1”.

（2）两个整数的和、差或积是一个整数，但是两个整数的商未必是一个整数。

Thesum,difference,orproductoftwointegersisaninteger,butthequotientoftwointegersneednotbeaninteger.

（3）这种用几何来表示实数的办法对于帮助我们更好地发现与理解实数的性质是非常有价值的。

Thisdeviceforrepresentingrealnumbersgeometricallyisaveryworthwhileaidthathelpsustodiscoverandunderstandbettercertainpropertiesofrealnumbers.

（4）几何经常为一些特定的定理提供证明思路（建议），而且，有时几何的论证比纯分析的（完全依赖于实数公理的）证明更清晰。

Thegeometryoftensuggeststhemethodofproofofaparticulartheorem,andsometimesageometricargumentismoreilluminatingthanapurelyanalyticproof（onedependingentirelyontheaxiomsfortherealnumbers）.

（5）一个由实数组成的集若满足如下条件则称为开区间（openinterval）。

Ifasetconsistingofrealnumberssatisfiesthefollowingconditionswecallitanopeninterval.

（6）实数a是-a的相反数，它们的绝对值相等，且当a≠0时，其符号不同。

Therealnumberaisthenegativenumberof–aandtheirabsolutevaluesareequal.Whena≠0,theirnotationsaredifferent.

（7）每个实数刚好对应着实轴上的一点，反之，对实轴上的每一点，有且只有一个实数与之对应。

Eachrealnumbercorrespondstoexactlyonepointonthislineand,conversely,eachpointonthelinecorrespondstooneandonlyonerealnumber.

（8）在几何上，实数之间的次序关系可以在数轴上清楚地表示出来。

Ingeometry,theorderingrelationamongtherealnumberscanbeexpressedclearlyinrealaxis.

2.5笛卡儿几何学的基本概念

（1）计算图形的面积是积分的一种重要应用。

Thecalculationoffigureareaistheimportantapplicationoftheintegral.

（2）在x-轴上O点右边选定一个适当的点，并把它到O点的距离称为单位长度。

Onthex-axisaconvenientpointischosentotherightofOanditsdistancefromOiscalledtheunitdistance.

（3）对xy-平面上的每一个点都指定了一个数对，称为它的坐标。

Eachpointinthexy-planeisassignedapairofnumbers,calleditscoordinates.

（4）选取两条互相垂直的直线，其中一条是水平的，另一条是竖立的，把它们的交点记作O，称为原点。

Twoperpendicularreferencelinesarechosen,onehorizontal,theothervertical.Theirpointofintersection,denotedbyO,iscalledtheorigin.

（5）当我们用一对数（a,b）来表示平面的点时，商定要把横坐标写在第一个位置上。

Whenwewriteapairofnumberssuchas（a,b）torepresentapoint,weagreethattheabscissaorx-coordinate,a,iswrittenfirst.

（6）微积分与解析几何在它们的发展史上已经互相融合在一起了。

Throughouttheirhistoricaldevelopment,calculusandanalyticgeometryhavebeenintimatelyintertwined.

（7）如果想拓展微积分的范围与应用，需要进一步研究解析几何，而这种研究需用到向量的方法。

Adeeperstudyofanalyticgeometryisneededtoextendthescopeandapplicationsofcalculus,andthisstudywillbecarriedoutusingvectormethods.

（8）今后我们要对三维解析几何做详细研究，但目前只限于考虑平面解析几何。

Weshalldiscussthree-dimensionalCartesiangeometryinmoredetaillateron;forthepresentweconfineourattentiontoplaneanalyticgeometry.

2.6函数的概念与函数思想

（1）常用英语字母和希腊字母来表示函数。

LettersoftheEnglishandGreekalphabetsareoftenusedtodenotefunctions.

（2）若f是一个给定的函数，x是定义域里的一个元素，那么记号f（x）用来表示由f确定的对应于x的值。

Iffisagivenfunctionandifxisanobjectofitsdomain,thenotationf（x）isusedtodesignatethatobjectintherangewhichisassociatedtoxbythefunctionf.

（3）该射线将两个坐标轴的夹角分成两个相等的角。

Theraymakesequalangleswiththecoordinatesaxes.

（4）可以用许多方式给出函数思想的图解说明。

Thefunctionideamaybeillustratedschematicallyinmanyways.

（5）容易证明，绝对值函数满足三角不等式。

Itiseasytoproofthattheabsolute-valuefunctionsatisfiesthetriangleinequality.

（6）对于实数x>0，函数g（x）表示不超过x的素数的个数。

Foragivenrealnumberx>0,thefunctiong（x）isdefinedbythenumberofprimeslessthanorequaltox.

（7）函数是一种对应，它未必可以表示成一个简单的代数公式。

Afunctionisacorrespondence.Itisnotnecessarytobeexpressedbyasimplealgebraicformula.

（8）在函数的定义中，关于定义域和值域中的对象，没对其性质做出任何限制。

ThefunctionideaplacesnorestrictiononthenatureoftheobjectsinthedomainXandintherangeY.

2.7序列及其极限序列及其极限

（1）序列各项对n的相关性常利用下标来表示，写成如下形式：

an,xn等。

Thedependenceofeveryteamofsequenceonnisdenotedbyusingsubscript,andwewritean,xnandsoon.

（2）以正整数集为定义域的函数称为序列。

Afunctionwhosedomainisthesetofallpositiveintegersiscalledaninfinitesequence.

（3）一个复值序列收敛当且仅当它的实部和虚部分别收敛。

Acomplex-valuedsequenceconvergesifandonlyifboththerealpartandtheimaginarypartconvergeseparately.

（4）一个序列{an}若满足：

对任意正数ε，存在另一个正数N（N可能与ε有关）使得an-L<ε对所有n≥N成立，就称{an}收敛于L。

Asequence{an}issaidtohavealimitLif,foreverypositivenumberε,thereisanotherpositivenumberN（whichmaydependonε）suchthatInthiscase,wesaythesequence{an}convergestoL.an?

L<εforalln≥N.

（5）重要的是，该集的每一个成员都用一个正整数标上记号。

这样一来，就可以谈论第一项、第二项和一般项，即第n项。

Theimportantthingisthateachmemberofthesethasbeenlabeledwithanintegersothatwemayspeakofthefirstterm,thesecondtermandingeneral,thenthterm.

（6）若无另加申明，本章研究的序列都假定具有实的项或复的项。

Unlessotherwisespecified,allsequencesinthischapterareassumedtohaverealorcomplexterms.

（7）作为日常用语，sequence和series是同义词；但作为数学术语，它们表示不同的概念。

IneverydayusageoftheEnglishlanguage,thewords“sequence”and“series”aresynonyms,butinmathematicsthesewordshavespecialtechnicalmeanings.

（8）术语“收敛序列”指的是具有有限极限的序列，因此，极限为无限的序列不是收敛的，而是发散的。

Thephrase“convergentsequence”isusedonlyforasequence