离散型随机变量之频率分布直方图.docx
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离散型随机变量之频率分布直方图
专题离散型随机变量之频率分布直方
1-某班主任对本班40名同学每天参加课外活动的时间（分钟）进行了详细统计，并绘制成频率分布直方
图，如图所示：
（1）求实数a的值以及参加课外活动时间在［10,20）中的人数;
（2）从每天参加活动不少于40分钟的人中任选3人，用X表示参加课外活动不少于50分钟的人数，
求X的分布列和数学期望.
2.为快速控制新冠病毒的传播，全球多家公司进行新冠疫苗的研发•某生物技术公司研制出一种新冠灭活疫苗，为了检测其质量指标，从中抽取了100支该疫苗样本，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求所抽取的样本平均数1（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）将频率视为概率，若某家庭购买4支该疫苗，记这4支疫苗的质量指标值位于（10,30］内的支数为X,求X的分布列和数学期望.
3.某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8・0米以上的进入决赛，把所得的成绩进行整理后，分成6组
画出频率分布直方图的一部分（如图），已知第6组的频数是7.
（1）求进入决赛的人数；
（2）用样本的频率代替概率，记X表示两人中进入决赛的人数,求X得分布列及数学期望.
4.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本.检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间［20,40）内的产品视为||
质量
指标
[15,20）
[20,25）
[25,30）
[30.35）
[35,40）
[40,45）
频数
2
18
48
14
16
2
合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.
62
0303
a仅
152025303540标伉
（1）求图中实数d的值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间［25,30）内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间［20,25）或［30,35）内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率•若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为X（单位：
元），求X的分布列和数学期望.
5.某小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超
市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调査，得到了以下频率分布直方图（如图），现从小区超市
某天购买甲类物资的居民户中任意选取5户•
（0）若将频率视为概率，求至少有两户购买童在［3,4）的概率;
（0）若抽取的5户中购买量在［3,6］（单位：
kg）的户数为2户,从这5户中选出3户进行生活情况调査，记3户中需求量在［3,6］（单位：
kg）的户数为&求§的分布列和期望.
6・某单位食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售，如果当天卖不完,
矮MS距
剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂，根据调査，得到食堂每天面包销售量X（单位：
个）的频率分布直方图（如图所示），将频率视为概率，同一组数据用该区间的中点值作为代表.
（1）求面包的日销售量X（单位：
个）的分布列和均值；
（2）若食堂每天购买的面包数量相同，该食堂有以下两种购买方案：
方案一：
按平均数购买；方案二：
按中位数购买，请你以利润期望值为决策依据选择更合理的方案.
7.某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域的空r质量指数与空气质量等级对应关系,
如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：
空气质量指数
（0,50]
（50J00J
（100,150]
（150,200]
（200,250]
（250,300]
空气质量等级
1级优
2级良
3级轻度污染
4级中度污染
5级重度污染
6级严重污染
该社团将该校区在2019年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布宜方图如图所示，把该宜方图所得频率估计为概率.
（1）请估算2019年（以365天计算）全年空气质量优、良的天数（未满一天按一天计算）；
（2）该校2019年某三天举行了一场运动会，若这三天中某天
出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记
这三天净化空气总费用为X元，求X的分布列.
8.某中学有教师400人，其中高中教师240人.为了了解该校教师每天课外锻炼时间，现利用分层抽样的方法从该校教师中随机抽取了100名教师进行调査，统计其每天课外锻炼时间（所有教师每天课外锻炼时间均在［0,60］分钟内），将统计数据按［0,10）,［10,20）,［20,30）,［50,60］分成6组，制成频率
分布直方图如下：
假设每位教师每天课外锻炼时间相互独立，并称每天锻炼时间小于20分钟为缺乏锻炼.
初中教师高中教师
（1）试估计本校教师中缺乏锻炼的人数；
（2）从全市高中教师中随机抽取3人，若X表示每天课外锻炼时间少于10分钟的人数，以这60名高中教师每天课外锻炼时间的频率代替每名高中教师每天课外锻炼时间发生的概率，求随机变量X的分布列与数学期望.
专题离散型随机变■之频率分布直方图参考答案
1.【详解】
（1）因为所有小矩形面积之和等于1,
所以可得方程10d+0.02xl0+0.0375xl0+0.0175xl0+10a=l,解得d=0.0125,
由于参加课外活动时间在［10,20）内的频率等于0.0125x10=0.125,
因此参加课外活动时间在［10,20）中的人数为40x0.125=5.
（2）依题意，参加课外活动时间在［40,50）,［50,60）的人数分别为7人和5人，
随机变量X的取值可能为0,1,2,3.
因为P（X=0）=寻洛，P（XT）=警越P（X=2）=箸=£,吃=3）=菁哙
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
7
44
21
44
7
22
1
22
771715
v7444422224
2•解：
（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：
（0,10］的频率为：
0.010x10=0.1：
（0,20］的频率为：
0.020x10=0.2；
（20,30］的频率为：
0.030x10=0.3；（30,40］的频率：
0.025x10=0.25；
（40,50］的频率为：
0.015x10=0.15,或=5x0.1+15x0.2+25x0.3+35x0.25+45x0」5=26.5•
（2）根据题意得每支灭活疫苗的质量指标值位于（10,30］内的概率为0.2+0.3=0.5,
所以X~B（4,£,X的可能取值为：
0,1,2,3,4,p（x=0）=C岀=占，
1丫
2>
P（X=l）=C'［lj4=i,P（X=2）=C;（1
1
=—,
16
的分布列为:
X
0
1
2
3
4
P
1
16
1
4
3
8
1
4
1
16
□E（X）=Ox—+lxl+2x-+3xl+4x—=2・
1648416
3•【详解】
（1）第6小组的频率为1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14,二总人数为—=50（A）.二第4,5,6组成绩均进入决赛，人数为（0.28+0.30+0.14）x50=36（人力即进入决赛的人数为36.
（2）由題意可知X的可能取值为0丄2,进入决赛的概率为二=孚，
5025
磊叫…唱詈吩2）Y（野喘,
所求分布列为••
X
0
1
2
P
49
252
324
625
625
=学，两人中进入决赛的人数的数学期望为兽.
4•解：
（1）据题意，得0.008x5+0.032x5+5«+0.024x5+0.036x5+0.020x5=1所以“=0.080
（2）据表I分析知’从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为黑'右
随机变量X的所有取值为240,300,360,420,480.
p（X=240）=ixl=—=300）=Clxlxl=l
'丿6636''・369
P（X=360）=C；xD+m=2P（X=420）=C：
x丄xl=lP（X=480）=丄x》=丄
''-263318、>・233、丿224
随机变量X的分布列为
X
240
300
360
420
480
P
1
36
1
9
5
18
1
亍
1
4
所以E（X）=240x^-+300x^+360x^+420x|+480x^=400（元）
5•【详解】
（1）将频率视为概率，用户购买量在［3,4）（单位：
kg）的概率为土，则至少有两户购买量在［3,4）（单位：
kg啲概率为卩=1_（計_第列打=吾;
（2）由题意得：
纟的可能值为61,2,
P@=0）=等嗚;临=]）=等哈呢=2）=等=希§的分布列为
0
Z）
3
I）
I]
§的数学期望为£（^）=0xl+lx±+2x-l=|.
6•解：
（1）由频率分布直方图可知，X所有的可能取值为65,75,85,95,105,
且P（X=65）=0.025X10=0.25,P（X=75）=0.015x10=0.15,
P（X=85）=0.02x10=0.2,P（X=95）=0.025x10=0.25,P（X=105）=0.015x10=0.15.因此X的分布列为：
X
65
75
85
95
105
P
0.25
0.15
0.2
0.25
0.15
E（X）=65x0.25+75x0.15+85x0.2+95x0.25+105x0.15=84.
（2）由
（1）知平均数为84,由频率分布直方图可知中位数为80+#右=85.
假设食堂一天所获利润为Y元，若选择方案一，即一天买入84个面包，
当X=65时，X=65x2-（84-65）x2=92；当X=75时，K=75x2-（84-75）x2=132.
当X285时，『=84x2=168,此时E（Y）=92x0.25+132x0.15+168x0.6=143.6.
若选择方案二，即一天买入85个面包，当X=65时，Y=65x2—（85—65）x2=90；
当X=75时，r=75x2-（85-75）x2=130；当X>85时，y=85x2=170,
此时E（y）=90x0.25+130x0.15+170x0.6=144.0为143.6V144,所以选择方案二
7.【详解】
（1）由频率分布直方图可估算2019年（以365天计算）全年空气质量优、良的天数为（0.002x50+0.004x50）x365=0.3x365=109.5〜110.
（2）由题意知，X的所有可能取值为0,10000,20000930000,40000,50000,60000,
由频率分布直方图知空气质量指数为（0,200]的概率为斗，
空气质量指数为（200.250］的概率为命，空气质量指数为（250,300］的概率为补，
则P（x=o）=闊唱，P（X=10000）=c：
xlx^j=^,P（X=20000）=C；彳胡x£+c；x討扌唱
P（X=30000）=1丄丨+C；x-LxCix—x£=JL,P（X=4OOOO）=C；X；—•x-L+C：
xf—jx-=—,
110丿310210510003lio丿103（10丿51000
P（X=50000）=C；xl丄jx—=—,P（X=60000）=1丄|=丄・
3lio丿101000110丿1000
所以X的分布列为
X
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
P
64
125
24
125
27
125
49
1000
27
1000
3
1000
1
1000
8•解：
（1）由题意可得样本中初中教师缺乏锻炼的频率为（0.015+0.020）x10=0.35,
样本中高中教师缺乏锻炼的频率为（0.010+0.040）x10=0.5,
估计该校教师中缺乏锻炼的人数为160x0.35+240x0.5=56+120=176・
（2）由题意可知高中教师每天课外锻炼时间少于10分钟的频率为0.010x10=0.1,所以高中教师每天课外锻炼时间少于10分钟的概率为鶴•
X的可能取值为0,1,2,3,且X~43.1|,
则P（X=0）=C?
xf2|=2?
l,P（X=.）=C-x丄竺，
1（10丿KXX）'310uoj1000
P（X=2）=C制丄IX—=—,P（X=3）=C^x|丄|.
'7（10丿101000'1（10丿1000
故E"0x空+lx竺+2x旦+3x丄」
100010001000100010
9.【详解】（I）依题意，培训时间在［90,95）小时的人数为200x0.06x5=60,
在［95,100）小时的人数为200x0.02x5=20,故满足题意的概率估计为P=畤泸=|
（2）依题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,p（x=o）Y（沪磊，P（x=i）=c；G）（沪冷
2173
36
125
则随机变量X的分布列为
0E（X）=3x-=->D（X）=3x-x-=—.I5丿'555525
P（X
2
2318
5525
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