菱形证明专题训练.docx
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菱形证明专题训练
菱形证明专题训练
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乐学教育菱形证明专题训练
1.已知:
如图，在四边形ABCD中,AB//CD,E,F为对角线AC上两点，且AE=CF,DF//BE,AC平分
/BAD.求证：
四边形ABCD为菱形.
【答案】AB//CD,
・•・/BAE=ZDCF.
•/DF//BE,
・•・/BEF=ZDFE,・•・/AEB=ZCFD.
又•・•AE=CF,
・•・△AEBCFD,
・•・AB=CD.
•・•AB//CD,
•••四边形ABCD是平行四边形.
•・•AC平分ZBAD,
•ZBAE=ZDAF.又ZBAE=ZDCF,
•ZDAF=ZDCF,
…AD=CD,
・•・四边形ABCD是菱形.
2.如图，矩形ABCD中，点0为AC的中点，过点0的直线分别与AB,CD交于点E,F，连接
BF交AC于点M,连接DE，B0.若
/COB=60°FO=FC.
求证：
⑴四边形EBFD是菱形；
【答案】连接0D.・・•点0为矩形ABCD的对角线AC的中点，
・•・B,D,0三点共线且BD=DO=CO=A0.在矩形ABCD
中,AB//DC,AB=DC,「・/FC0=ZEA0.在厶CF0和厶AE0中，
/.△CF0AE0,二F0=E0.
又•B0=D0,「.四边形BEFD是平行四边形.
•・•B0=C0,ZC0B=60°
・•・△C0B是等边三角形.・•・/0CB=60°.
・•・/FC0=ZDCB-/0CB=30°.
•・•F0=FC,・・・/F0C=ZFC0=30°.
:
丄FOB=/FOC+ZCOB=90°
・•・EF丄BD.・••平行四边形EBFD是菱形.
⑵MB:
OE=3:
2.
【答案】•・•BO=BC,・・・点B在线段OC的垂直平分线上.
•FO=FC，•点F在线段OC的垂直平分线上.•••BF是线段0C的垂直平分线.
•ZFMO=ZOMB=90°
•ZOBM=30°・•・OF=BF.
•ZFOC=30°・•・FM=OF.
・•・BM=BF-MF=2OF-OF=OF.
即FO=EO,•BM:
OE=3:
2.
3.如图,在△ABC中,ZABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE丄BD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证：
四边形BGFD是菱
【答案】•・•FGIIBD,BD=FG,・・・四边形BGFD是平行四边形.
•/CF丄BD,AGIIBD,・・・CF丄AG.又ABC=90°点D是AC的中点，・•・BD=DF=AC,
•••平行四边形BGFD是菱形.
4.如图，点O是菱形ABCD对角线的交
点,DEIIAC,CEIIBD,连接OE.
求证:
OE=BC.
【答案】•DEIIAC,CEIIBD,
•四边形OCED是平行四边形.••四边形ABCD是菱形,
・•・AC丄BD,OB=OD,
・•・/BOC=ZCOD=90°,
•四边形OCED是矩形,
・•・/ODE=90°,・・・OB=OD,ZBOC=ZODE=90°第5页共32页
:
.BC=,OE=,
•・・DE=OC.
・•・OE=BC.
5.[2015兰州中考,25]（9分）如图,四边形ABCD中,AB//CD,AB毛D,BD=AC.
⑴求证:
AD=BC;
【答案】作BM//AC,BM交DC的延长线于点M，则
/ACD=/BMD.1分
•・•AB//CD,BM//AC,
•••四边形ABMC为平行四边形.
・•・AC=BM.
•BD=AC,二BM=BD.
・•・/BDM=/BMD.
・•・/BDC=ZACD.
在厶BDC和厶ACD中，
/.△BDC^AACD.4分
・•・BC=AD.5分
⑵若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:
线段EF与线段GH互相垂直平分.
【答案】连接EG,GF,FH,HE.6分
•・•E,H为AB,BD的中点，二EH=AD.
同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.
•・•BC=AD,二EG=FG=FH=EH.8分
•••四边形EGFH为菱形，
•••EF与GH互相垂直平分.9分
6.[2015长春中考,18]（7分）如图,CE是厶ABC外角
/ACD的平分线,AFIICD交CE于点F,FGIIAC
交CD于点G,求证：
四边形ACGF是菱形.
【答案】因为AFIICD,FGIIAC,所以四边形ACGF是平行四边形①,
又因为/ACE=/ECG,/ECG=/AFC,所以/ACE=/AFC,所以AC=AF②,由①②得四边形ACGF是菱形.
7.[2010上海中考，23]已知梯形ABCD中，ADIIBC,AB=AD（如图所示），/BAD的
⑴在图中，用尺规作/BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；
•・•/BAE=/DAE,
/DAE=/BEA,
・•・/BAE=/BEA,AB=BE=AD,
ADIBE,・・・四边形ABED的平行四边形，又
AB=AD,
・•・四边形ABED为菱形⑵/ABC=60°EC=2BE，求证：
ED丄DC.
【答案】过D作DFIIAE，贝VDF=CF=1,
:
丄C=30°而/DEC=60°
:
丄EDC=90°二ED丄DC.
8.[2010沈阳中考，19]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O,点E，F分别为边
AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：
四边形AEOF是菱形.
R0~~D
C
【答案】t点E，F分别为AB，AD的中点
・•・AE=AB，AF=AD（2分）
又•・•四边形ABCD是菱形
・•・AB=AD
・•・AE=AF（4分）
又••菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O
•••O为BD的中点
・•・OE,OF是厶ABD的中位线（6分）
・•・OE//AD,OFIIAB
•四边形AEOF是平行四边形（8分）
•・•AE=AF
・•・四边形AEOF是菱形（10分）
9.[2010安徽中考，20]如图，ADIIFE，点B,C在AD上，/1=22,BF=BC.
⑴求证：
四边形BCEF是菱形；
【答案】•.AD//FE,・•・/FEB=22.
•・•/1=22,・・・2FEB=21.
・•・BF=EF
•・•BF=BC,・・・BC=EF.
•••四边形BCEF是平行四边形
•・•BF=BC,
•••四边形BCEF是菱形（5分）
⑵若AB=BC=CD，求证：
△ACFBDE.
【答案】•EF=BC,AB=BC=CD,AD//FE,
•••四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边
形，・•・AF=BE,FC=ED.（8分）
又•・•AC=2BC=BD,（9分）
/.△ACFBABDE.（10分）
10.[2013长沙中考，24]如图，在?
ABCD
中，M,N分别是AD,BC的中
点，/AND=90°连接CM交DN于点O.
⑴求证：
△ABN^ACDM;
【答案】/ABN=ZCDM,AB=CD,BN=BC=AD=DM,
・•・△ABN^ACDM（SAS）.
⑵过点C作CE丄MN于点E，交DN于点P,若PE=1,Z1=Z2,求AN的长.
【答案】IM,O分别为AD,ND的中点，
・•・AN//MO且AN=2MO,
・•・/MOD=ZAND=90°即平行四边形CDMN是菱形
在Rt△MOD与Rt△NEC中，
•・•/1=Z2,MD=NC,・・・Rt△MOD也Rt△NEC,
・•・MO=NE.
根据菱形的性质可
知，/MND=ZCND，/1=ZCND，所以
/MND=ZCND=Z2=30°所以在Rt△ENP中NE=PE谥an30°=,
即AN=2.
11.如图,在△ABC中,/A=90°,AH丄BC于点H,ZB的平分线交AC于点D,交AH于点E,DF丄BC于点F,求证：
四边形AEFD是菱形.
【答案】
•・•/ABD=/FBD,BD=BD,ZBAD=/DFB=90°/.△ABD^AFBD,二AD=DF,AB=FB.
又/ABE=/FBE,BE=BE,
・•・△ABEBAFBE.
・•・/BAE=/BFE.
又/BAE=90°/ABC=ZC,
・•・/BFE=/C,二EFIIAD.
•/DF丄BC,AH丄BC,・•・AEIIDF.
•••四边形AEFD是平行四边形.
又AD=DF,「.四边形AEFD是菱形.
12.[2012南宁中考，25]如图,已知矩形纸片
ABCD,AD=2,AB=4,将纸片折叠，使顶点A与边
CD上的点E重合折痕FG分别与AB,CD交于点
G,F,AE与FG交于点0.
zIFfcf
图1图2
⑴如图1,求证：
A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；
【答案】证法一：
证明：
在矩形ABCD中,CDIIAB
・•・/1=Z3（1分）
由折叠可知：
AG=EG,/1=Z22=/3
・•・EF=EG（2分）
・•・EF=AG
・•・四边形AGEF是菱形（3分）
证法二：
证明：
连接AF,由折叠可知
OA=OE,AG=EG（1分）在矩形ABCD中,AB//CD:
丄AEF=ZEAG•・•/AOG=ZEOF
・•・△AOG^AEOF（ASA）（2分）
・•・AG=EF
•••四边形AGEF是菱形（3分）
⑵如图2,当厶AED的外接圆与BC相切于点N时,求证，点N是线段BC的中点；
【答案】证明：
连接0N,0是Rt△ADE外接圆圆心.
•
OO与BC相切于点N
・•・ON丄BC（4分）
在矩形ABCD中,DC丄BC,AB丄BC
・•・CD//ON//AB
•=（5分）
•・•OA=OE・・・CN=NB即N为BC的中点（6分）
⑶如图2,在第2问的条件下，求折痕FG的长.
【答案】解法一：
过点0作0M丄AB于点M,则四边形OMBN是矩形
:
设O0半径为x,则0A=OE=ON=x（7分）•AB=4,AD=2・•・AM=4—x
.由第2问得,NB=OM=1
.在Rt△AOM中,OA2=AM2+OM2x2=（4—x）2+12/.x=（8分）
0AM=4—=
•・•/FEO=ZOAM
.又I/FOE=ZOMA=90°
・•・Rt△EFOsRt△AOM
・•・=・•・=（9分）
o・•・四边形ABNM是矩形
・・・AM=BN=AD=1
:
IO为Rt△ADE外接圆圆心
・・・OA=OE=ON
.设ON为x,则OM=4—x（7分）
.在Rt△AMO中,AM2+OM2=OA2
即12+（4—x）2=x2
.x=（8分）
o
・•・OM=4—=
•・•FG丄AE,MNIIDC:
丄FEO=ZMOA./AMO=ZEOF=90°o・•・△EOFOMA
・•・=・•・=（9分）
・・・OF=FG=2OF=（10分）
13.[2013葫芦岛中考,20]（本小题满分8分）
如图,四边形ABCD
中,AD//BC,BA丄AD,BC=DC,BE丄CD于点E.
（i）求证:
△ABDEBD;
【答案】如图，
•・•AD//BC,
・•・/仁/DBC.
•・•BC=DC,Z2=ZDBC.
・•・/1=Z2.2分
又•・•/BAD=/BED=90°
BD=BD，二△ABD^AEBD.4分
⑵过点E作EF//DA,交BD于点F,连接AF.求证:
四边形AFED是菱形.
【答案】由第1问得,AD=ED,/仁/2.
•・•EFIIDA,「・/1=Z3,a/2=Z3.
・•・EF=ED.5分
aEF=AD.6分
•••四边形AFED是平行四边形.
又•・•AD=ED.
A四边形AFED是菱形.8分
14.[2013贵阳中考，20]
已知：
如图，在菱形ABCD中，F为BC上的任
⑴求证：
AE=EC;
【答案】
。
证明：
连接AC.
:
•••BD是菱形ABCD的对角线，
・•・BD垂直平分AC.
・•・AE=EC.
.
（2）当/ABC=60°ZCEF=60时点F在线段
:
BC上的什么位置？
说明理由.
.【答案】点F是线段BC的中点.
:
理由：
•・•菱形ABCD中，AB=BC,
o又•・•/ABC=60°
・•・△ABC是等边三角形，ZBAC=60°
•・•AE=EC,ZCEF=60°:
丄EAC=30°
.•••AF是厶ABC的角平分线.
•・•AF交BC于点F,
・•・AF是厶ABC的BC边上的中线.
•••点F是线段BC的中点.
15.[2012上海中考，23]已知：
如图，在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上，/BAF=ZDAE,AE与BD交于点G.
A辰D
⑴求证：
BE=DF;
【答案】•.•四边形ABCD为菱形,
・・・AB=ad=bc=cd,
/ABD=ZADB=ZCBD=ZCDB,
/ABE=ZADF
•・•/BAF=ZDAE,
且/BAF=ZBAE+ZEAF,
/DAE=ZDAF+ZEAF
・•・/BAE=ZDAF.
・•・△ABEBAADF（ASA）.
・•・BE=DF.
⑵当=时,求证：
四边形BEFG是平行四边形.
【答案】在菱形ABCD中,ADBC,
:
丄DAE=ZBEA,/ADB=ZEBD.・•・△AGDs^egb.
又•・•=,BE=DF,
GFIIBE.
/DGF=/DBC./DBC=ZCDB,/DGF=/GDF,GF=DF,BE=GF.
BEGF,
・•・四边形BEFG是平行四边形.
16.[2013乌鲁木齐中考,19]如图,在厶ABC
中，/ACB=90°,CD丄AB于D,AE平分/BAC,分别与BC,CD交于E,F,EH丄AB于H,连接FH.求
证：
四边形CFHE是菱形.
【答案】•・AE平分/BAC,・・・/CAE=ZEAH,而
/ACB=90°,CD丄AB,
:
丄CEA+ZCAE=ZAFD+ZEAH=90°/APD=ZCFE,
:
丄CFE=ZCEF,「・CF=CE.
又:
AE平分
/BAC,ZACB=90°.EH丄AB,二CE=EH,
・・・CF=EH=CE,TCD丄AB,EH丄AB,aCFIIEH,
・•・四边形CFHE是菱形.
17•如图所示,在菱形ABCD中,CE丄AB于点
E,CF丄AD于点F,求证:
AE=AF.
【答案】证法1如图所示，连接AC,
•・•四边形ABCD是菱形,
・•・AC平分/BAD,即/BAC=ZDAC.
在厶ACE和厶ACF中,
/AEC=/AFC=90°ZBAC=ZDAC,AC=AC,・•・△ACEACF（AAS）,・•・AE=AF.
证法2：
・.•四边形ABCD是菱形，
・•・BC=DC=AD=AB,ZB=/D.
又••在△BCE和△DCF中,ZBEC=ZDFC=90°・•・△BCEBADCF（AAS）,/.BE=DF，二AE=AF.
18.[2013南宁中考，23]如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E,F分别是边BC,AD的中占
I八\、■
（i）求证：
△ABE^ACDF;
【答案】在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA（或AB=CD,BC=DA）.
/B=ZD.
•••点E,F分别是边BC,AD的中点，
・•・BE=DF.
/.△ABECDF.
⑵若/B=60°AB=4,求线段AE的长.
【答案】解法一：
•・•AB=BC,ZB=60°
•••△ABC是等边三角形.
••点E是BC边的中点.
・•・AE丄BC.
在Rt△ABE中，sinB=.
•-AE=ABsinB=4x=.
解法二：
•・•AB=BC,/B=60°
•△ABC是等边三角形.
••点E是BC边的中点，・•・AE丄BC.
・•・/BAE=30°
在Rt△ABE中，BE=AB=2.
二AE===
19.[2012温州中考,19]（本题8分）
如图,△ABC中，/B=90°,AB=6cm,BC=8cm将
△ABC沿射线BC方向平移10cm得到
△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证：
四边形ACFD是菱形.
【答案】法—：
B=90°,AB=6cm,BC=8cm.
:
.AC=10cm.
由平移变换的性质得CF=AD=10cmDF=AC,
・・・AD=CF=AC=DF,
•••四边形ACFD是菱形.
法二：
由平移变换的性质得AD//CF,
AD=CF=10cm,
•四边形ACFD是平行四边形，
T/B=90°,AB=6cm,BC=8cm,
•AC=10cm,
・•・AC=CF,
・•・?
ACFD是菱形.
20.[20114兰州中考，27]（本小题满分12分）
已知：
如图仃所示的一张矩形纸片
ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F.分别连接AF和CE.
（图】了〉
（i）求证：
四边形AFCE是菱形；
【答案】由题意可知OA=OC，EF丄AO.
•（■第站迦答图）
•・•ADIIBC，・・・/AEO=ZCFO，/EAO=o/FCO，
・•・△AOECOF，二AE=CF，又
.第27页共32页
AEIICF,
•••四边形AECF是平行四边形（2分）
•••AC丄EF，•四边形AECF是菱形.（4分）
⑵若AE=10cm,AABF的面积为24cm2,求
△ABF的周长；
【答案】•••四边形AECF是菱形，
•AF=AE=10cm.设AB=a,BF=b,
•••△ABF的面积为
24cm2,a2+b2=100,ab=48（6分）
（a+b）2=佃6,a+b=14或a+b=—14（不合题意，舍去）（7分）
△ABF的周长为a+b+10=24cm（8分）
⑶在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=ACAP?
若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P,点P就是符合条件的点（9分）
证
明：
•••/AEP=ZAOE=90°ZEAO=/EAP
・•・△AOEAEP,・・・=,
第28页共32页
・•・AE2=AOAP（11分）
•••四边形AECF是菱形，
・•・AO=AC,・・・AE2=ACAP,
:
.2AE2=ACAP.（12分）
21.[2013营口中考,19]如图,△ABC中,AB=AC,AD是厶ABC一个外角的平分线，且/BAC=ZACD.
:
（1）求证：
△ABC^ACDA;
【答案】IAB=AC,：
ZB=ZACB
:
又I/FAC是厶ABC的一个外角，
:
FAC=/B+/ACB
o
FAC=2/ACB2分
:
又IAD是/FAC的角平分线，•：
/FAC=2/CAD,
ACB=/CAD3分
:
又•・•AC=CA,/BAC=/DCAo：
△ABC^ACDA4分
⑵若/ACB=60°,求证：
四边形ABCD是菱形.
【答案】T/BAC=ZACD
・•・AB//CD5分
又•・•/ACB=ZCAD,
・•・AD//BC.
•••四边形ABCD是平行四边形.6分
•・•AB=AC,ZACB=60°
•等腰三角形ABC是等边三角形.7分
・•・AB=BC.
•四边形ABCD是菱形.8分
22.[2011?
?
波中考，23]（本小题满分8分）
如图13,在ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,BD是对角线，过A点作AG//DB交CB的延长线于点G.
【答案】在ABCD中,AB//CD,AB=CD
•••E,F分别为边AB,CD的中点
・•・DF=DC,BE=AB
・•・DF//BE,DF=BE（2分）
0二四边形DEBF为平行四边形（3分）
・•・DE//BF（4分）
:
⑵若/G=90°求证：
四边形DEBF是菱形.
【答案】•/AG//BD
・•・/G=ZDBC=90°
・•・△DBC为直角三角形（5分）
又•・•F为边CD的中点・・・BF=DC=DF.（7分）
:
又••四边形DEBF为平行四边形
:
•••四边形DEBF是菱形（8分）
.【答案】四边形ABCD是菱形，
0・•・OD=OB，ZCOD=90°•/DH丄AB于H，•
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