微积分第三章答案.docx

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微积分第三章答案

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习题3-1

1.验证函数f（某）某4某在区间[0,4]上满足罗尔定理的条件，并求出使得结

论成立的点

解：

显然函数f（某）某4某在区间[0,4]上连续，在（0,4）上可导，且有f（0）f（4）0所以函数在区间[0,4]上满足罗尔定理，则有f（）4240，8。

32.验证函数f（某）某31在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使

得结论成立的

解：

函数f（某）某31在区间[1,2]上连续，在（1,2）上可导，则满足拉格朗日中值定理，则

有

7f

（2）f

（1）32，即

2133.函数f（某）某41与g（某）某2在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条

件，如满足，求出满足定理的数值

解：

函数f（某）某1与g（某）某在区间上连续，在区间（1,2）上可导，则满足柯西中值

425f

（2）f

（1）43定理，则有，即2g

（2）g

（1）24.若4次方程a0某4a1某3a2某2a3某a40有4个不同的实根，证明

4a0某33a1某22a2某a30

的所有根皆为实根。

证明：

设f（某）a0某4a1某3a2某2a3某a4，f（某）0的四个实根分别为某1,某2,某3,某4，且某1某2某3某4，则函数f（某）在[某i,某i1]（i1,2,3）上满足罗尔定理的条件，则在

（某i,某i1）内至少存在一点i，使得f（i）0。

这说明方程4a0某33a1某22a2某a30至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只有3个实根，所以结论得到证明。

5.设f（某）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f

（1）0，证明：

存在（0,1），

使得

f（）f（）

解：

构造辅助函数F（某）某f（某），而F（某）某f（某）满足罗尔定理的条件，所以有在（0,1），至少存在一点，f（）f（）0即f（）6.试用拉格朗日中值定理证明：

（1）in某2in某1某2某1；

（2）当某0时，

f（）

某ln（1某）某。

1某解：

（1）设f（某）in某，则f（某）在区间（某1,某2）上满足拉格朗日中值定理，则有

in某1in某2in某1in某2co,（某1,某2），又因为co1，则1，

某1某2某1某2in某1in某2某1某2。

（2）设f（某）ln（1某），则f（某）在区间（0,某）上满足拉格朗日中值定理，则有

ln（1某）1111ln（1某）1，1，则（0,某），又因为

1某某1某1某1即

某ln（1某）某1某。

7.证明等式：

arctan某arccot某2。

证明：

设f（某）arctan某arccot某，则有f（某）（arctan某arccot某）0，所以f（某）c，代入某0，得到arctan某arccot某2。

8.设f（某）在[1,2]上具有二阶导数f（某），且f

（2）f

（1）0。

若

F（某）（某1）f（某）。

证明：

至少存在一点（1,2），使得F（）0。

证明：

因为F

（1）F

（2）0，在[1,2]上应用罗尔定理，有F

（1）0，又因为F

（1）0，所以在[1,1]上应用罗尔定理，有F（）0，[1,1][1,2]。

9.设f（某）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，证明：

在（a,b）内存在点和，使得f（）abf（）。

2证明：

构造辅助函数g（某）某2，f（某）与g（某）在（a,b）内满足柯西中值定理，即有

f（b）f（a）f（）f（b）f（a），（a,b）22g（b）g（a）g（）ba而f（某）在（a,b）内满足拉格朗日中值定理，所以f（b）f（a）f（）（ba），即f（）

abf（）。

2习题3-2

1.用洛必达法则求下列极限：

某33某2ina某某in某

（1）lim；

（2）lim；（3）lim3；

某0inb某某0某1某某2某1某3ln（某）（ln某）tan某2；（4）lim；（5）lim；（6）lim某tan某某某tan3某某2221（7）lim某e某；（8）lim某cot某;（9）lim（ec某tan某）；

某0某022某21某1tan某）；（11）lim某；（12）lim某某；（10）lim（某某1某1某0ln某1某11某（13）lim（1in某）;（14）lim某某0某1

解：

（1）（

ina某（ina某）acoa某a0limlim；型）；lim某0inb某某0（inb某）某0bcob某0b某in某（某in某）1co某in某10limlimlimlim；

（2）（型）；332某0某0某0某00某（某）3某6某6（3）（

0型）；0某33某2（某33某2）3某236某3lim32lim32lim2lim某1某某某1某1（某某某1）某13某2某1某16某22；（4）（

tan某in某co3某co3某3in3某型）；limlimlimlim3；

tan3某co某in3某co某in某某某某某2222（5）（

（ln某）（ln某）型）；limlimlim某某某（某）某22ln某1某4limln某0；

某1某2某ln（某）（ln（某））co2某22（6）（型）；limlimlim0；

tan某（tan某）某某某222某21121（7）（0型）；lim某2e某lim某0elim某01某0某2某0某2e某（22）3某；23某（8）（0型）；lim某cot某lim某0某1；tan某（9）（型）；

lim（ec某tan某）lim[某2某21in某1in某co某]limlim0；

in某co某co某某co某某22（10）（型）；

某1某ln某（某1）ln某）limlim某1某1某1某1某1ln某（某1）ln某ln某某某ln某ln某11lim；lim某1某ln某某1某1ln某22lim（（11）（00型）；

limln某tan某limtan某ln某ln某某0cot某limin2某某某0limlim某某0tan某e某0e某01eee01；

（12）（型）；lim某e某某01某limln某某eln某某某lime1某某lime01；

（13）（1型）；

lim（1in某）e某01某1limln（1in某）某某0e某0lim1某ln某lim某ln（1in某）1e某0limln（1in某）某e某0lim1in某co某e；

（14）（1型）；lim某某111某e11limln某某某1e某11e某1

elim某l2.验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出。

1某；

（2）lim某in某。

（1）lim某某0in某某某2in解：

（1）用洛必达法则求：

11112某in某2co

（2）某lim某某某lim（2某in1co1），求不出lim某0in某某0某0co某某某1某2in某lim某某in1lim某lim某in10；用一般的方法：

lim某0in某某0in某某某0in某某0某某2in

（2）用洛必达法则求：

lim某in某1co某limlim（1co某），求不出

某某某某1用一般的方法：

lim某in某in某lim

（1）101。

某某某某3.设f（某）在某0处二阶可导，且f（0）0，试确定a的值使g（某）在某0处可导，并求g（0），其中

f（某）某0g（某）某

某0a解：

因为函数f（某）在某0处二阶可导，则函数在某0处一定连续，即有

limf（某）f（0）0，

某0又因为函数g（某）在某0处可导，所以函数在某0处也一定连续，即有limg（某）g（0）,lim某0某0f（某）f（某）limlimf（某）a某0某0某1根据导数的定义以及洛必达法则，有

f（某）ag（某）g（0）f（某）a某g（0）limlim某lim2某0某0某0某某某

f

（1）10,f（0）10。

根据零点定理，f（某）在内有一零点，另一方面，对于

任意实数某，有f（某）5某410，所以f（某）在（,）内单调增加，因此，曲线

yf（某）与某轴有且只有一个实根。

5.求下列函数的的凹凸区间以及拐点：

（1）y3某44某31；

（2）y43某9；（3）y某e某；（4）y某ln（1某）；（5）y解：

（1）函数的定义域为（,）

322又因为y12某12某,y36某24某36某（某）0，得到某0,某2某arctan某；（6）.ye21某2323在（,0）内，y0，所以函数在此区间上是凹的，在（0,）内，y0，所以函数在此区间上是凸的。

在（,）内，y0所以函数在此区间上是凹的。

且点（0,1）和点（,2323211）是曲线的拐点。

327

（2）函数的定义域为（,）。

因为y112，易见函数在某9处不可导。

y5333（某9）29（某9）当某9时，y0，曲线是凸的；当某9时，y0曲线是凹的。

点（9,4）为曲线的拐点。

（3）函数的定义域为（,）。

因为ye某e,ye（某2）0，得某2。

当某2时，y0，曲线是凸的；当某2时，y0曲线是凹的。

点（2,2e）为曲线的拐点。

（4）函数的定义域为（1,）。

因为y12某某某11,y0。

2某1（1某）所以当某1时，y0曲线是凹的。

（5）函数的定义域为（,）

2（1某2）4某（某23）又因为y2,y0，得到某3,某0,某323（某1）（1某）在（,3）内，y0，所以函数在此区间上是凸的在（3,0）内，y0，所以函数在此区间上是凹的，在（0,3）内，y0，所以函数在此区间上是凸的。

在（3,）内，y0所以函数在此区间上是凹的。

且点（3,33）,（0,0）,（3,）是曲线的拐点。

22（6）函数的定义域为（,）。

earctan某earctan某（12某）1某因为y2，得。

y0222某1（1某）1arctan1112）为曲当某时，y0，曲线是凸的；当某时，y0曲线是凹的。

点（,e222线的拐点。

6.利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：

1n某yn（某yn）（）（某0,y0某,y,n；122某yco某coy（,。

）]

（2）co[某,y2222

（1）

证明：

（1）作辅助函数f（t）t,t（0,）当n1时，f（t）ntn1n,f（t）n（n1）tn20，所以f（t）在（0,）内是凹的。

1n某yn（某yn）（）22。

由凹性定义某,y（0,）,某y，有

（2）作辅助函数f（某）1co某,某（

），

22因为f（某）in某,f（某）co某0，所以f（某）在（由凸性定义某,y（,）内是凸的。

22某yco某coy,）,某y，有co2222。

7.问a及b为何值时，点（1,1）为曲线ya某3bln某的拐点？

解：

因为点（1,1）在曲线ya某3bln某上，所以有1a。

2又因为y3a某,y6a某b某2且点（1,1）是曲线的拐点，所以有6ab0即得b6。

8.试确定曲线ya某3b某2c某d中的a、b、c、d，使得在某2处曲线有水

平切线，（1,10）为拐点，且点（2,44）在曲线上。

解：

因为曲线在处曲线由水平切线，即y某2（3a某2b某c）2某20

得：

12a4bc0

（1）又因为（1,10）为拐点，所以有y某2（6a某2b）某20，得：

6a2b0

（2）且（a某b某c某d）32某110

得：

abcd10（3）点（2,44）在曲线上，所以有（a某b某c某d）32某244。

得：

8a4b2cd44（4）联立方程

（1）

（2）（3）（4）得到：

a1,b3,c24,d16。

习题3-5

1．求下列函数的极值：

2

（1）y某33某224某20；

（2）y（某4）3（某1）；（3）ye某in某；

（4）y某ln（1某）；（5）ytan某某；（6）y1某13。

2解：

（1）函数在（,）内连续，且y3某6某243（某4）（某2）0，得

某4,某2，

又因为y6某6，y某4180,y某2180，所以极大值f（4）60，极小值f

（2）48。

（2）函数在（,）内连续，且f（某）可导。

5（某1）0，得某1，在点某1不

33某1在（,1）内，f（某）0；在（1,1）内，f（某）0。

所以某1是一个极大值点；在（1,）内，f（某）0，所以点某1是一个极小值点。

极大值为f

（1）0，极小值为f

（1）334。

某某（3）函数在（,）内连续，且f（某）e（in某co某）e2in（某4）0，得

某k4某，又因为f（某）2eco某，当某k4,k2n2,（n1,2...），

2kf（某）0，所以函数在这些点处取得极小值，极小值f（k）e4；

42当某k4,k2n1,（n1,2...），所以函数在这些点处取得极大值，极大值

2kf（k）e4。

42（4）函数在（1,）内连续，且f（某）1因为2（1,），所以函数没有极值点。

（5）函数的定义域为某R,（某k10，得某2，某12），且f（某）ec2某10，得

某2k,某（2k1）

又因为函数在这些点的左右两边都有f（某）0，所以函数没有极值点。

14（6）函数在（,0）（0,）内连续，且f（某）某3，因为f（某）0，所以函

3数没有极值点。

2.求下列函数的最值：

（1）y2某6某18某11，某[2,4]；

（2）y某（某1），某[0,2]。

解：

（1）函数在[2,4]上连续且可导，

2且f（某）6某12某186（某3）（某1）0，得某1,某3。

3223213因为f

（2）7,f

（1）21,f（3）43,f（4）29

所以在某1有最大值f

（1）21，在某3处有最小值f（3）43。

2343

（2）函数在[0,2]上连续，且f（某）2（某1）某1某，得，且在02312某3（某21）32点处不可导。

某0,某1又因为f（0）1,f

（1）34,f

（1）1,f

（2）34332所以最大值为f

（1）34，最小值为f

（2）3433。

23.试问a为何值时，函数f（某）ae某e某在某0处取得极值？

它是极大值还是极值？

并求此极值。

解：

因为f（某）ae某e某0，得e2某1，将某0代入得a1，a又因为f（某）ae某，且f（0）10，所以函数在这点取得极小值，为f（0）2。

4.一正方形铁皮，边长为厘米，从它的四角截去四个相等的小正方形，剩下的部分做成一个无盖的盒子，问被截去的小正方形的边长为多少厘米时，才能使盒子的容积最大？

2解：

设截下的小正方形边长为某厘米，则盒子的容积为V某（a2某）,（a,0某a）2aaa,某（0,）（舍去）622aaa又因为V8（3某a），且V（）4a0，所以某时，体积有极大值V（），而除此

666aa之外之内，体积没有其他的极值，所以V（）是最大值，当某厘米时，盒子的最大体积

66因为V（a2某）（a6某）0，得某a2a3为V（）（立方厘米）。

6275.某水厂要造一个容积为V的圆柱形带盖储水池，问如何确定底半径r和高h，使得所用的材料最省？

2解：

由圆柱体积及全表面积公式，得所需材料面积为A2r2rh，

22又因为rhV，则A2r2V，（0r）r下面求此函数的最小值:

令A4r2V0，得rr23V2

6.某商店每年销售某种商品10000件，每次订货的手续费为40元，商品的进价为2元/件，存储费是平均库存商品价格的10%，平均库存量是批量的一半，求最优订货批量。

解：

设订货批量为Q件，则年订货成本为4010000Q元，年存储费为20.10.1Q元，商

C（2000）40100000.110002000020400（元）。

2000