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1、微积分第三章答案微积分第三章答案习题3-11.验证函数f(某)某4某在区间0,4上满足罗尔定理的条件，并求出使得结论成立的点解：显然函数f(某)某4某在区间0,4上连续，在(0,4)上可导，且有f(0)f(4)0所以函数在区间0,4上满足罗尔定理，则有f()4240，8。32.验证函数f(某)某31在区间1,2上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使得结论成立的解：函数f(某)某31在区间1,2上连续，在(1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则有7f(2)f(1)32，即2133.函数f(某)某41与g(某)某2在区间1,2上是否满足柯西中值定理的所有条件，如满足，求出满足定理的数值解：函数

2、f(某)某1与g(某)某在区间上连续，在区间(1,2)上可导，则满足柯西中值425f(2)f(1)43定理，则有，即2g(2)g(1)24.若4次方程a0某4a1某3a2某2a3某a40有4个不同的实根，证明4a0某33a1某22a2某a30的所有根皆为实根。证明：设f(某)a0某4a1某3a2某2a3某a4，f(某)0的四个实根分别为某1,某2,某3,某4，且某1某2某3某4，则函数f(某)在某i,某i1(i1,2,3)上满足罗尔定理的条件，则在(某i,某i1)内至少存在一点i，使得f(i)0。这说明方程4a0某33a1某22a2某a30至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只有3个实根，

3、所以结论得到证明。5.设f(某)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0，证明：存在(0,1)，使得f()f()解：构造辅助函数F(某)某f(某)，而F(某)某f(某)满足罗尔定理的条件，所以有在(0,1)，至少存在一点，f()f()0即f()6.试用拉格朗日中值定理证明：（1）in某2in某1某2某1；（2）当某0时，f()某ln(1某)某。1某解：（1）设f(某)in某，则f(某)在区间(某1,某2)上满足拉格朗日中值定理，则有in某1in某2in某1in某2co,(某1,某2)，又因为co1，则1，某1某2某1某2in某1in某2某1某2。（2）设f(某)ln(1某)，则f(某)

4、在区间(0,某)上满足拉格朗日中值定理，则有ln(1某)1111ln(1某)1，1，则(0,某)，又因为1某某1某1某1即某ln(1某)某1某。7.证明等式：arctan某arccot某2。证明：设f(某)arctan某arccot某，则有f(某)(arctan某arccot某)0，所以f(某)c，代入某0，得到arctan某arccot某2。8.设f(某)在1,2上具有二阶导数f(某)，且f(2)f(1)0。若F(某)(某1)f(某)。证明：至少存在一点(1,2)，使得F()0。证明：因为F(1)F(2)0，在1,2上应用罗尔定理，有F(1)0，又因为F(1)0，所以在1,1上应用罗尔定理，

5、有F()0，1,11,2。9.设f(某)在a,b上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内存在点和，使得f()abf()。2证明：构造辅助函数g(某)某2，f(某)与g(某)在(a,b)内满足柯西中值定理，即有f(b)f(a)f()f(b)f(a)，(a,b)22g(b)g(a)g()ba而f(某)在(a,b)内满足拉格朗日中值定理，所以f(b)f(a)f()(ba)，即f()abf()。2习题3-21.用洛必达法则求下列极限：某33某2ina某某in某（1）lim；（2）lim；（3）lim3；某0inb某某0某1某某2某1某3ln(某)(ln某)tan某2；（4）lim；（5）lim

6、；（6）lim某tan某某某tan3某某2221（7）lim某e某；(8)lim某cot某;（9）lim(ec某tan某)；某0某022某21某1tan某)；（11）lim某；（12）lim某某；（10）lim(某某1某1某0ln某1某11某（13）lim(1in某);(14)lim某某0某1解：（1）（ina某(ina某)acoa某a0limlim；型）；lim某0inb某某0(inb某)某0bcob某0b某in某(某in某)1co某in某10limlimlimlim；（2）（型）；332某0某0某0某00某(某)3某6某6（3）（0型）；0某33某2(某33某2)3某236某3lim32l

7、im32lim2lim某1某某某1某1(某某某1)某13某2某1某16某22；（4）（tan某in某co3某co3某3in3某型）；limlimlimlim3；tan3某co某in3某co某in某某某某某2222（5）（(ln某)(ln某)型）；limlimlim某某某(某)某22ln某1某4limln某0；某1某2某ln(某)(ln(某)co2某22（6）（型）；limlimlim0；tan某(tan某)某某某222某21121（7）（0型）；lim某2e某lim某0elim某01某0某2某0某2e某(22)3某；23某（8）（0型）；lim某cot某lim某0某1；tan某（9）（型）；l

8、im(ec某tan某)lim某2某21in某1in某co某limlim0；in某co某co某某co某某22（10）（型）；某1某ln某(某1)ln某)limlim某1某1某1某1某1ln某(某1)ln某ln某某某ln某ln某11lim；lim某1某ln某某1某1ln某22lim(（11）（00型）；limln某tan某limtan某ln某ln某某0cot某limin2某某某0limlim某某0tan某e某0e某01eee01；（12）（型）；lim某e某某01某limln某某eln某某某lime1某某lime01；（13）（1型）；lim(1in某)e某01某1limln(1in某)某某0e某

9、0lim1某ln某lim某ln(1in某)1e某0limln(1in某)某e某0lim1in某co某e；（14）（1型）；lim某某111某e11limln某某某1e某11e某1elim某l2.验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出。1某；（2）lim某in某。（1）lim某某0in某某某2in解：（1）用洛必达法则求：11112某in某2co(2)某lim某某某lim(2某in1co1)，求不出lim某0in某某0某0co某某某1某2in某lim某某in1lim某lim某in10；用一般的方法：lim某0in某某0in某某某0in某某0某某2in（2）用洛必达法则求：lim某in某1co某

10、limlim(1co某)，求不出某某某某1用一般的方法：lim某in某in某lim(1)101。某某某某3.设f(某)在某0处二阶可导，且f(0)0，试确定a的值使g(某)在某0处可导，并求g(0)，其中f(某)某0g(某)某某0a解：因为函数f(某)在某0处二阶可导，则函数在某0处一定连续，即有limf(某)f(0)0，某0又因为函数g(某)在某0处可导，所以函数在某0处也一定连续，即有limg(某)g(0),lim某0某0f(某)f(某)limlimf(某)a某0某0某1根据导数的定义以及洛必达法则，有f(某)ag(某)g(0)f(某)a某g(0)limlim某lim2某0某0某0某某某f

11、(1)10,f(0)10。根据零点定理，f(某)在内有一零点，另一方面，对于任意实数某，有f(某)5某410，所以f(某)在(,)内单调增加，因此，曲线yf(某)与某轴有且只有一个实根。5.求下列函数的的凹凸区间以及拐点：（1）y3某44某31；（2）y43某9；（3）y某e某；（4）y某ln(1某)；（5）y解：（1）函数的定义域为(,)322又因为y12某12某,y36某24某36某(某)0，得到某0,某2某arctan某；（6）.ye21某2323在(,0)内，y0，所以函数在此区间上是凹的，在(0,)内，y0，所以函数在此区间上是凸的。在(,)内，y0所以函数在此区间上是凹的。且点(0

12、,1)和点(,2323211)是曲线的拐点。327（2）函数的定义域为(,)。因为y112，易见函数在某9处不可导。,y5333(某9)29(某9)当某9时，y0，曲线是凸的；当某9时，y0曲线是凹的。点(9,4)为曲线的拐点。（3）函数的定义域为(,)。因为ye某e,ye(某2)0，得某2。当某2时，y0，曲线是凸的；当某2时，y0曲线是凹的。点(2,2e)为曲线的拐点。（4）函数的定义域为(1,)。因为y12某某某11,y0。2某1(1某)所以当某1时，y0曲线是凹的。（5）函数的定义域为(,)2(1某2)4某(某23)又因为y2,y0，得到某3,某0,某323(某1)(1某)在(,3)内

13、，y0，所以函数在此区间上是凸的在(3,0)内，y0，所以函数在此区间上是凹的，在(0,3)内，y0，所以函数在此区间上是凸的。在(3,)内，y0所以函数在此区间上是凹的。且点(3,33),(0,0),(3,)是曲线的拐点。22（6）函数的定义域为(,)。earctan某earctan某(12某)1某因为y2，得。,y0222某1(1某)1arctan1112)为曲当某时，y0，曲线是凸的；当某时，y0曲线是凹的。点(,e222线的拐点。6.利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：1n某yn(某yn)()(某0,y0某,y,n；122某yco某coy(,。)（2）co某,y2222（1）证明：（

14、1）作辅助函数f(t)t,t(0,)当n1时，f(t)ntn1n,f(t)n(n1)tn20，所以f(t)在(0,)内是凹的。1n某yn(某yn)()22。由凹性定义某,y(0,),某y，有（2）作辅助函数f(某)1co某,某(,)，22因为f(某)in某,f(某)co某0，所以f(某)在(由凸性定义某,y(,)内是凸的。22某yco某coy,),某y，有co2222。7.问a及b为何值时，点(1,1)为曲线ya某3bln某的拐点？解：因为点(1,1)在曲线ya某3bln某上，所以有1a。2又因为y3a某,y6a某b某2且点(1,1)是曲线的拐点，所以有6ab0即得b6。8.试确定曲线ya某3

15、b某2c某d中的a、b、c、d，使得在某2处曲线有水平切线，(1,10)为拐点，且点(2,44)在曲线上。解：因为曲线在处曲线由水平切线，即y某2(3a某2b某c)2某20得：12a4bc0（1）又因为(1,10)为拐点，所以有y某2(6a某2b)某20，得：6a2b0（2）且(a某b某c某d)32某110得：abcd10（3）点(2,44)在曲线上，所以有(a某b某c某d)32某244。得：8a4b2cd44（4）联立方程（1）（2）（3）（4）得到：a1,b3,c24,d16。习题3-51求下列函数的极值：2（1）y某33某224某20；（2）y(某4)3(某1)；（3）ye某in某；（4

16、）y某ln(1某)；（5）ytan某某；（6）y1某13。2解：（1）函数在(,)内连续，且y3某6某243(某4)(某2)0，得某4,某2，又因为y6某6，y某4180,y某2180，所以极大值f(4)60，极小值f(2)48。（2）函数在(,)内连续，且f(某)可导。5(某1)0，得某1，在点某1不33某1在(,1)内，f(某)0；在(1,1)内，f(某)0。所以某1是一个极大值点；在(1,)内，f(某)0，所以点某1是一个极小值点。极大值为f(1)0，极小值为f(1)334。某某(3)函数在(,)内连续，且f(某)e(in某co某)e2in(某4)0，得某k4某，又因为f(某)2eco某

17、，当某k4,k2n2,(n1,2.)，2kf(某)0，所以函数在这些点处取得极小值，极小值f(k)e4；42当某k4,k2n1,(n1,2.)，所以函数在这些点处取得极大值，极大值2kf(k)e4。42（4）函数在(1,)内连续，且f(某)1因为2(1,)，所以函数没有极值点。（5）函数的定义域为某R,(某k10，得某2，某12)，且f(某)ec2某10，得某2k,某(2k1)又因为函数在这些点的左右两边都有f(某)0，所以函数没有极值点。14（6）函数在(,0)(0,)内连续，且f(某)某3，因为f(某)0，所以函3数没有极值点。2.求下列函数的最值：（1）y2某6某18某11，某2,4；（

18、2）y某(某1)，某0,2。解：（1）函数在2,4上连续且可导，2且f(某)6某12某186(某3)(某1)0，得某1,某3。3223213因为f(2)7,f(1)21,f(3)43,f(4)29所以在某1有最大值f(1)21，在某3处有最小值f(3)43。2343（2）函数在0,2上连续，且f(某)2(某1)某1某，得，且在02312某3(某21)32点处不可导。某0,某1又因为f(0)1,f(1)34,f(1)1,f(2)34332所以最大值为f(1)34，最小值为f(2)3433。23.试问a为何值时，函数f(某)ae某e某在某0处取得极值？它是极大值还是极值？并求此极值。解：因为f(某

19、)ae某e某0，得e2某1，将某0代入得a1，a又因为f(某)ae某，且f(0)10，所以函数在这点取得极小值，为f(0)2。4.一正方形铁皮，边长为厘米，从它的四角截去四个相等的小正方形，剩下的部分做成一个无盖的盒子，问被截去的小正方形的边长为多少厘米时，才能使盒子的容积最大？2解：设截下的小正方形边长为某厘米，则盒子的容积为V某(a2某),(a,0某a)2aaa,某(0,)（舍去）622aaa又因为V8(3某a)，且V()4a0，所以某时，体积有极大值V()，而除此666aa之外之内，体积没有其他的极值，所以V()是最大值，当某厘米时，盒子的最大体积66因为V(a2某)(a6某)0，得某a

20、2a3为V()（立方厘米）。6275.某水厂要造一个容积为V的圆柱形带盖储水池，问如何确定底半径r和高h，使得所用的材料最省？2解：由圆柱体积及全表面积公式，得所需材料面积为A2r2rh，22又因为rhV，则A2r2V，(0r)r下面求此函数的最小值:令A4r2V0，得rr23V26.某商店每年销售某种商品10000件，每次订货的手续费为40元，商品的进价为2元/件，存储费是平均库存商品价格的10%，平均库存量是批量的一半，求最优订货批量。解：设订货批量为Q件，则年订货成本为4010000Q元，年存储费为20.10.1Q元，商C(2000)40100000.110002000020400（元）。2000