1、微积分第三章答案微积分第三章答案习题3-11.验证函数f(某)某4某在区间0,4上满足罗尔定理的条件,并求出使得结论成立的点解:显然函数f(某)某4某在区间0,4上连续,在(0,4)上可导,且有f(0)f(4)0所以函数在区间0,4上满足罗尔定理,则有f()4240,8。32.验证函数f(某)某31在区间1,2上满足拉格朗日中值定理的条件,并求出使得结论成立的解:函数f(某)某31在区间1,2上连续,在(1,2)上可导,则满足拉格朗日中值定理,则有7f(2)f(1)32,即2133.函数f(某)某41与g(某)某2在区间1,2上是否满足柯西中值定理的所有条件,如满足,求出满足定理的数值解:函数
2、f(某)某1与g(某)某在区间上连续,在区间(1,2)上可导,则满足柯西中值425f(2)f(1)43定理,则有,即2g(2)g(1)24.若4次方程a0某4a1某3a2某2a3某a40有4个不同的实根,证明4a0某33a1某22a2某a30的所有根皆为实根。证明:设f(某)a0某4a1某3a2某2a3某a4,f(某)0的四个实根分别为某1,某2,某3,某4,且某1某2某3某4,则函数f(某)在某i,某i1(i1,2,3)上满足罗尔定理的条件,则在(某i,某i1)内至少存在一点i,使得f(i)0。这说明方程4a0某33a1某22a2某a30至少有3个实根,而方程为3次方,则最多也只有3个实根,
3、所以结论得到证明。5.设f(某)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(1)0,证明:存在(0,1),使得f()f()解:构造辅助函数F(某)某f(某),而F(某)某f(某)满足罗尔定理的条件,所以有在(0,1),至少存在一点,f()f()0即f()6.试用拉格朗日中值定理证明:(1)in某2in某1某2某1;(2)当某0时,f()某ln(1某)某。1某解:(1)设f(某)in某,则f(某)在区间(某1,某2)上满足拉格朗日中值定理,则有in某1in某2in某1in某2co,(某1,某2),又因为co1,则1,某1某2某1某2in某1in某2某1某2。(2)设f(某)ln(1某),则f(某)
4、在区间(0,某)上满足拉格朗日中值定理,则有ln(1某)1111ln(1某)1,1,则(0,某),又因为1某某1某1某1即某ln(1某)某1某。7.证明等式:arctan某arccot某2。证明:设f(某)arctan某arccot某,则有f(某)(arctan某arccot某)0,所以f(某)c,代入某0,得到arctan某arccot某2。8.设f(某)在1,2上具有二阶导数f(某),且f(2)f(1)0。若F(某)(某1)f(某)。证明:至少存在一点(1,2),使得F()0。证明:因为F(1)F(2)0,在1,2上应用罗尔定理,有F(1)0,又因为F(1)0,所以在1,1上应用罗尔定理,
5、有F()0,1,11,2。9.设f(某)在a,b上连续,在(a,b)内可导,证明:在(a,b)内存在点和,使得f()abf()。2证明:构造辅助函数g(某)某2,f(某)与g(某)在(a,b)内满足柯西中值定理,即有f(b)f(a)f()f(b)f(a),(a,b)22g(b)g(a)g()ba而f(某)在(a,b)内满足拉格朗日中值定理,所以f(b)f(a)f()(ba),即f()abf()。2习题3-21.用洛必达法则求下列极限:某33某2ina某某in某(1)lim;(2)lim;(3)lim3;某0inb某某0某1某某2某1某3ln(某)(ln某)tan某2;(4)lim;(5)lim
6、;(6)lim某tan某某某tan3某某2221(7)lim某e某;(8)lim某cot某;(9)lim(ec某tan某);某0某022某21某1tan某);(11)lim某;(12)lim某某;(10)lim(某某1某1某0ln某1某11某(13)lim(1in某);(14)lim某某0某1解:(1)(ina某(ina某)acoa某a0limlim;型);lim某0inb某某0(inb某)某0bcob某0b某in某(某in某)1co某in某10limlimlimlim;(2)(型);332某0某0某0某00某(某)3某6某6(3)(0型);0某33某2(某33某2)3某236某3lim32l
7、im32lim2lim某1某某某1某1(某某某1)某13某2某1某16某22;(4)(tan某in某co3某co3某3in3某型);limlimlimlim3;tan3某co某in3某co某in某某某某某2222(5)((ln某)(ln某)型);limlimlim某某某(某)某22ln某1某4limln某0;某1某2某ln(某)(ln(某)co2某22(6)(型);limlimlim0;tan某(tan某)某某某222某21121(7)(0型);lim某2e某lim某0elim某01某0某2某0某2e某(22)3某;23某(8)(0型);lim某cot某lim某0某1;tan某(9)(型);l
8、im(ec某tan某)lim某2某21in某1in某co某limlim0;in某co某co某某co某某22(10)(型);某1某ln某(某1)ln某)limlim某1某1某1某1某1ln某(某1)ln某ln某某某ln某ln某11lim;lim某1某ln某某1某1ln某22lim((11)(00型);limln某tan某limtan某ln某ln某某0cot某limin2某某某0limlim某某0tan某e某0e某01eee01;(12)(型);lim某e某某01某limln某某eln某某某lime1某某lime01;(13)(1型);lim(1in某)e某01某1limln(1in某)某某0e某
9、0lim1某ln某lim某ln(1in某)1e某0limln(1in某)某e某0lim1in某co某e;(14)(1型);lim某某111某e11limln某某某1e某11e某1elim某l2.验证下列极限存在,但不能用洛必达法则求出。1某;(2)lim某in某。(1)lim某某0in某某某2in解:(1)用洛必达法则求:11112某in某2co(2)某lim某某某lim(2某in1co1),求不出lim某0in某某0某0co某某某1某2in某lim某某in1lim某lim某in10;用一般的方法:lim某0in某某0in某某某0in某某0某某2in(2)用洛必达法则求:lim某in某1co某
10、limlim(1co某),求不出某某某某1用一般的方法:lim某in某in某lim(1)101。某某某某3.设f(某)在某0处二阶可导,且f(0)0,试确定a的值使g(某)在某0处可导,并求g(0),其中f(某)某0g(某)某某0a解:因为函数f(某)在某0处二阶可导,则函数在某0处一定连续,即有limf(某)f(0)0,某0又因为函数g(某)在某0处可导,所以函数在某0处也一定连续,即有limg(某)g(0),lim某0某0f(某)f(某)limlimf(某)a某0某0某1根据导数的定义以及洛必达法则,有f(某)ag(某)g(0)f(某)a某g(0)limlim某lim2某0某0某0某某某f
11、(1)10,f(0)10。根据零点定理,f(某)在内有一零点,另一方面,对于任意实数某,有f(某)5某410,所以f(某)在(,)内单调增加,因此,曲线yf(某)与某轴有且只有一个实根。5.求下列函数的的凹凸区间以及拐点:(1)y3某44某31;(2)y43某9;(3)y某e某;(4)y某ln(1某);(5)y解:(1)函数的定义域为(,)322又因为y12某12某,y36某24某36某(某)0,得到某0,某2某arctan某;(6).ye21某2323在(,0)内,y0,所以函数在此区间上是凹的,在(0,)内,y0,所以函数在此区间上是凸的。在(,)内,y0所以函数在此区间上是凹的。且点(0
12、,1)和点(,2323211)是曲线的拐点。327(2)函数的定义域为(,)。因为y112,易见函数在某9处不可导。,y5333(某9)29(某9)当某9时,y0,曲线是凸的;当某9时,y0曲线是凹的。点(9,4)为曲线的拐点。(3)函数的定义域为(,)。因为ye某e,ye(某2)0,得某2。当某2时,y0,曲线是凸的;当某2时,y0曲线是凹的。点(2,2e)为曲线的拐点。(4)函数的定义域为(1,)。因为y12某某某11,y0。2某1(1某)所以当某1时,y0曲线是凹的。(5)函数的定义域为(,)2(1某2)4某(某23)又因为y2,y0,得到某3,某0,某323(某1)(1某)在(,3)内
13、,y0,所以函数在此区间上是凸的在(3,0)内,y0,所以函数在此区间上是凹的,在(0,3)内,y0,所以函数在此区间上是凸的。在(3,)内,y0所以函数在此区间上是凹的。且点(3,33),(0,0),(3,)是曲线的拐点。22(6)函数的定义域为(,)。earctan某earctan某(12某)1某因为y2,得。,y0222某1(1某)1arctan1112)为曲当某时,y0,曲线是凸的;当某时,y0曲线是凹的。点(,e222线的拐点。6.利用函数图形的凹凸性,证明下列不等式:1n某yn(某yn)()(某0,y0某,y,n;122某yco某coy(,。)(2)co某,y2222(1)证明:(
14、1)作辅助函数f(t)t,t(0,)当n1时,f(t)ntn1n,f(t)n(n1)tn20,所以f(t)在(0,)内是凹的。1n某yn(某yn)()22。由凹性定义某,y(0,),某y,有(2)作辅助函数f(某)1co某,某(,),22因为f(某)in某,f(某)co某0,所以f(某)在(由凸性定义某,y(,)内是凸的。22某yco某coy,),某y,有co2222。7.问a及b为何值时,点(1,1)为曲线ya某3bln某的拐点?解:因为点(1,1)在曲线ya某3bln某上,所以有1a。2又因为y3a某,y6a某b某2且点(1,1)是曲线的拐点,所以有6ab0即得b6。8.试确定曲线ya某3
15、b某2c某d中的a、b、c、d,使得在某2处曲线有水平切线,(1,10)为拐点,且点(2,44)在曲线上。解:因为曲线在处曲线由水平切线,即y某2(3a某2b某c)2某20得:12a4bc0(1)又因为(1,10)为拐点,所以有y某2(6a某2b)某20,得:6a2b0(2)且(a某b某c某d)32某110得:abcd10(3)点(2,44)在曲线上,所以有(a某b某c某d)32某244。得:8a4b2cd44(4)联立方程(1)(2)(3)(4)得到:a1,b3,c24,d16。习题3-51求下列函数的极值:2(1)y某33某224某20;(2)y(某4)3(某1);(3)ye某in某;(4
16、)y某ln(1某);(5)ytan某某;(6)y1某13。2解:(1)函数在(,)内连续,且y3某6某243(某4)(某2)0,得某4,某2,又因为y6某6,y某4180,y某2180,所以极大值f(4)60,极小值f(2)48。(2)函数在(,)内连续,且f(某)可导。5(某1)0,得某1,在点某1不33某1在(,1)内,f(某)0;在(1,1)内,f(某)0。所以某1是一个极大值点;在(1,)内,f(某)0,所以点某1是一个极小值点。极大值为f(1)0,极小值为f(1)334。某某(3)函数在(,)内连续,且f(某)e(in某co某)e2in(某4)0,得某k4某,又因为f(某)2eco某
17、,当某k4,k2n2,(n1,2.),2kf(某)0,所以函数在这些点处取得极小值,极小值f(k)e4;42当某k4,k2n1,(n1,2.),所以函数在这些点处取得极大值,极大值2kf(k)e4。42(4)函数在(1,)内连续,且f(某)1因为2(1,),所以函数没有极值点。(5)函数的定义域为某R,(某k10,得某2,某12),且f(某)ec2某10,得某2k,某(2k1)又因为函数在这些点的左右两边都有f(某)0,所以函数没有极值点。14(6)函数在(,0)(0,)内连续,且f(某)某3,因为f(某)0,所以函3数没有极值点。2.求下列函数的最值:(1)y2某6某18某11,某2,4;(
18、2)y某(某1),某0,2。解:(1)函数在2,4上连续且可导,2且f(某)6某12某186(某3)(某1)0,得某1,某3。3223213因为f(2)7,f(1)21,f(3)43,f(4)29所以在某1有最大值f(1)21,在某3处有最小值f(3)43。2343(2)函数在0,2上连续,且f(某)2(某1)某1某,得,且在02312某3(某21)32点处不可导。某0,某1又因为f(0)1,f(1)34,f(1)1,f(2)34332所以最大值为f(1)34,最小值为f(2)3433。23.试问a为何值时,函数f(某)ae某e某在某0处取得极值?它是极大值还是极值?并求此极值。解:因为f(某
19、)ae某e某0,得e2某1,将某0代入得a1,a又因为f(某)ae某,且f(0)10,所以函数在这点取得极小值,为f(0)2。4.一正方形铁皮,边长为厘米,从它的四角截去四个相等的小正方形,剩下的部分做成一个无盖的盒子,问被截去的小正方形的边长为多少厘米时,才能使盒子的容积最大?2解:设截下的小正方形边长为某厘米,则盒子的容积为V某(a2某),(a,0某a)2aaa,某(0,)(舍去)622aaa又因为V8(3某a),且V()4a0,所以某时,体积有极大值V(),而除此666aa之外之内,体积没有其他的极值,所以V()是最大值,当某厘米时,盒子的最大体积66因为V(a2某)(a6某)0,得某a
20、2a3为V()(立方厘米)。6275.某水厂要造一个容积为V的圆柱形带盖储水池,问如何确定底半径r和高h,使得所用的材料最省?2解:由圆柱体积及全表面积公式,得所需材料面积为A2r2rh,22又因为rhV,则A2r2V,(0r)r下面求此函数的最小值:令A4r2V0,得rr23V26.某商店每年销售某种商品10000件,每次订货的手续费为40元,商品的进价为2元/件,存储费是平均库存商品价格的10%,平均库存量是批量的一半,求最优订货批量。解:设订货批量为Q件,则年订货成本为4010000Q元,年存储费为20.10.1Q元,商C(2000)40100000.110002000020400(元)。2000
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