李庆扬数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析.docx
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李庆扬数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析
第5章
复习与思考题
1用高斯消去法为什么要选主兀?
哪些方程组可以不选主兀?
答:
使用咼斯消去法时,在消元过程中可能出现akk=°的情况,这时消去法无法进行;即
时主兀素akk^°,但相对很小时,用其做除数,会导致其它元素数量级的严重增长和舍入
误差的扩散,最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主兀,以保证计算的进行和计
算的准确性。
当主对角元素明显占优(远大于同行或同列的元素)时,可以不用选择主元。
计算时一般选
择列主元消去法。
2、咼斯消去法与LU分解有什么关系?
用它们解线性方程组Ax=b有何不同?
A要满足什
么条件?
答:
高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解,其中一个
为上二角矩阵U,—个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算,减少计算量,提高计算精度。
A需要满足的条件是,顺序主子式(1,2,…,n-1)不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比,有什么优点?
楚列斯基分解是LU分解的一种,当限疋下三角矩阵L的对角兀素为正时,楚列斯基分解具
有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解?
为什么说平方根法计算稳定?
具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中兀素的数量级不会增长,切对角兀素恒为正数,因此,是一个稳定的
算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定?
对角占优的三对角方程组
6、何谓向量范数?
给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53,符合3个运算法则。
正定性
齐次性
三角不等式
设X为向量,则三种常用的向量范数为:
(第3章p53,第5章p165)
n
l|x||i=2:
|Xi|
n1
||x||2=(》Xi2)2
i=1
||x|&=max|Xi|
1«
7、何谓矩阵范数?
何谓矩阵的算子范数?
给出矩阵A=(aj)的三种范数||A||1,||A||2,
IIA||「IIAl1与IIAll2哪个更容易计算?
为什么?
向量范数定义见p162,需要满足四个条件。
正定条件
齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有
IIAIIi
IIAII2
IIAIL:
从定义可知,IIAI1更容易计算。
8、什么是矩阵的条件数?
如何判断线性方程组是病态的?
答:
设A为非奇异阵,称数cond(A)v=||aFJ|a||v(v=1,2严)为矩阵A的条件数当cond(A)[J1时,方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异?
(1)矩阵行列式的值很小。
(2)矩阵的范数小。
(3)矩阵的范数大。
(4)矩阵的条件数小。
(5)矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
(1)、
(2)注:
矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小,不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确:
(1)只要矩阵A非奇异,则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。
答:
错误,主元位置可能为0,导致无法计算结果。
(2)对称正定的线性方程组总是良态的。
答:
正确。
(3)一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
答:
正确。
(4)如果A非奇异,则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。
答:
正确。
解释:
若A|b与A的秩相同,贝UA有唯一解。
若不同,则A无解。
(5)如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素,则矩阵必奇异。
(6)范数为零的矩阵一定是零矩阵。
答:
正确。
(7)奇异矩阵的范数--定是零。
答:
错误,IITL可以不为°。
(8)如果矩阵对称,则||A||1=IIA||…
答:
根据范数的定义,正确。
(9)如果线性方程组是良态的,则高斯消去法可以不选主元。
答:
错误,不选主元时,可能除数为°。
(1°)在求解非奇异性线性方程组时,即使系数矩阵病态,用列主元消去法产生的误差也很
小。
答:
错误。
对于病态方程组,选主元对误差的降低没有影响。
(11)IIA||i=||AT|「。
答:
根据范数的定义,正确。
(12)若A是nn的非奇异矩阵,则
cond(A)二cond(A)。
答:
正确。
A是nn的非奇异矩阵,贝UA存在逆矩阵。
cond(A)=|A||“A」||
根据条件数的定义有:
cond(A」)=卜」卜=卜」卜|A=||A卜|A
aT1
A2
习题
"a
i、设A是对称阵且aii=0,经过高斯消去法一步后,A约化为ii
卫
称矩阵。
证明:
设对称矩阵
aii
aii
ai2-
ain丨
ai2
a22-
an2
_ain
a2n-
ann
ai2
a
,则经过1次高斯校区法后,有
an2
冃2
a22-ai2
aii
n1
ain_
ai2
aii
aii
a22
a”^
aii
ai2
ann
ai2
ai2ai2Ci
ain
耳2
aii
1
an2
ain
ai2-ain
aii
aCna
an2-ai2
aii
a日巾a
ann一6n
aii
所以aT
二[ai2
寺2】
;22-
ai2
—ai2
aii
an2
ai2
—ainaii
ain
.an2—ai2
-Qi
所以A2为对称矩阵。
ann
-ainainaii
2、设A是对称正定矩阵,经过高斯消去法一步后,A约化为A=(aj)n,其中A=(ajj)n,
步后
A2-(aij))n4;
证明:
(1)A的对角元素ai0(i=1,2,IH,n);
(2)A2是对称正定矩阵;
(i)依次取Xi=(0,0,…,0,i,0,…,0)T,i=i,2/,n,则因为A是对称正定矩阵,i
所以有aii二xTAx0。
(2)A2中的元素满足a(2>=aq—旦1",(i,j=2,3,…,n),又因为A是对称正定
aii
矩阵,满足aq呵,
i,j=1,2,,n,所以a『二aj
aiIaij
aii
二aji
aiia
ai
ji
a(i2)
即A是对称矩阵。
i
Lk=
3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵(除第k列对角元以下元素外,Lk和单位阵I相同),
i
mk+,ki
mn,ki
求证当i,j-k时,Lk=lijLklj也是一个指标为k的初等下三角矩阵,其中Ij为初等置换
矩阵。
4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式,其中L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵。
本题不推导。
参见书上例题。
P147页。
5、设Ux=d,其中U为三角矩阵。
(1)就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式,并写出算法
(2)计算解三角方程组UX二d的乘除法次数
(3)设U为非奇异矩阵,试推导求U」的计算公式
本题考查求解公式的一般方法,可从第n个元素开始,逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。
解法,略。
6、证明:
(1)如果A是对称正定矩阵,则A'也是对称正定矩阵
(2)如果A是对称正定矩阵,则A可以唯一地写成A二LTL,其中L是具有正对角元的下
三角矩阵
均是对称正定矩阵的性质。
应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
12捲-3x23x3=15
三—18x「3x2-x3二-15
x-ix2x3=6
并求出系数矩阵A的行列式的值
12£3
A=-183-1
111
12-3315
A|b=-183-1-15
1116
使用列主元消去法,有
-
「12
-3
3
151
A|b=
-18
3
-1
-15
1
1
1
6J
-18
3
-1
-15]
—
12
-3
3
15
1
1
1
6一
■
1
-18
3
-1
-15
7
=
0
-1
5
3
7
17
31
0
—
—
6
18
6一
■
-18
3
-1
-15
7
17
31
=
0
―
—
6
18
6
0
-1
7
5
-
3
-
1
-18
3
-1
-15
7
17
31
—
0
6
18
6
0
0
66
66
-
21
7一
A的行列式为
-66
方程组的解为
X1=1,x2=2,x3=3
8、用直接三角分解(Doolittle分解)求线性方程组的解
111
X1+—x?
+-■X3=9456
111c
X<|:
—X2—X3=8
345
1
亍旨+x2+2x3=8
本题考查
解:
LU分解。
'I
4
1
3
1
:
2
11
6
1
5
-
|1
1
5
11
60
1
6
13
90
957
540
二b,其中
-12-100
0
0-12-10
,b=
0
00-12-1
0
000-12
0一
9、用追赶法解三对角方程组
Ax
-1
0
0
0
A二
O
解:
追赶法实际为LU分解的特殊形式。
设U为、单位上三角矩阵。
有
(1)计算<的递推公式
'■I=Ci/b^=-1/2=-0.5
■2=c2/(b2-a2冷)=-1/(2-(-1)(-0.5))=-2/3
乜弋/(鸟"3扮一1/(2-(-1)(-2/3))一3/4
■4-C4/(b4-34订)=—1/(2-(-1)(_3/4))=—4/5
(2)解Ly=f
Yi=f"=1/2y2二厲-a?
%)/®?
-a?
+)=(0-(-1)(1/2))/(2-(-1)(-0.5))=1/3
Y3二亿-3^2)/©"彳①=(0-(-1)(1/3))/(2-(-1)(-2/3))“/4
Y4=(f4七4丫3)/©-34飞)=(0-(-1)(1/4))/(2-(-1)(-3/4))=1/5
Y5二厲-35丫4)/他-35.)=(0-(-1)(1/5))/(2-(-1)(-4/5))=1/6
(3)解UX=y
X5二y5T/6
&=y4一I4X5=1/5-(-4/5)1/6=1/3
x3二y3-:
3x4=1/4-(-3/4)1/3=1/2
X2二y2-:
2怡=1/3-(-2/3)1/2=2/3
为-[x2=2-(-1/2)2/3=5/6
10、用改进的平方根法解方程组
2
—1
本题明确要求使用平方根法进行求解。
实际考查的LDU分解。
见P157
10723
Y=■Y=■V=
123
999
11、下列矩阵能否分解为LU(其中L为单位下三角阵,U为上三角阵)?
若能分解,那么分解是否唯一。
123111126
A=
241
,B=
221
,°=
2515
467
1
331_
1
61546一
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。
如果要求其中的L矩阵(或
U矩阵)为单位三角矩阵,那么分解是唯一的。
同理可知,矩阵的LDU可分解条件也相同,
并且总是唯一的。
即使矩阵不可逆,LU仍然可能存在。
实际上,如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式
不为零,那么它就可以进行LU分解,但反之则不然。
解:
因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,-10,所以A不能直接分解为三角阵的乘积,但换行后可以。
因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,0,所以B不能分解为三角阵的乘积。
因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1,5,1,所以C能够分解为三角阵的乘积,并且分解是唯一的。
12、设
0.60.5_A=
p.10.3
计算A的行范数,
列范数,2-范数及F-范数。
本题考查的是矩阵范数的疋义及求法
行范数0.6+0.5=1.1
列范数0.5+0.3=0.8
2-范数的计算需要用到特征值,特征值的计算可以使用幕法进行计算,也可以直接求。
AA的最大特征值为0.3690
所以2-范数为0.6074
F-范数0.8426
13、求证:
(a)IML-WL-nxj
(b)命lAHM咖F。
根据定义求证。
x/i^lxi斗All;;
nnig
HA2=*-max(AT
n
兰』1=送Xi兰nmaxlxi^nxL。
\=1
2
aij
A)
14、设pwRn>n且非奇异,又设IIXI为Rn上一向量范数,定义x||p=||pX。
试证明Mp是
Rn上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明:
要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质。
显然llx||p=||Px||H0,|cx||p=|Pcx||=|c|||Px||=|c||x|p、
X1X2p=P(X1X2
)||=||PX1+PX2||M|PXl[+||PX2||=||Xl||p+||x2||p,从而||xp是
Rn
上向量的一种范数。
15、设ARnn为对称正定,定义
1
xL=(Ax,x)2,
试证明|xA是Rn上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明:
要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质。
1
显然xA=(Ax,x)2二一xtAx0
CX
11
A=(Acx,cx)2=Jc2(xTAx)=c(Ax,x)2
1
A=(A(X1+X2),(X1+X2))2=J(X1*X2)tA(X1*X2)
X1X2I
-\x1TAx「x2tAx2=
Xi
L+|IX2
16、设A为非奇异矩阵,求证
1.——,二min
jAy
n
因为a'=maox
A4x
A4x
IIxII
AA’x
iiyii
咤両_i|iAy,
min
y”
1
A4
=min
yL
所以得证
"2^、八
-2企
17、矩阵第一行乘以一数,成为A=1
,证明当扎一土时,cond(A)3t有取小值。
:
11一
3
本题考查条件数的计算
cond(A)o0=
aIIa仁
首先计算A的逆阵
:
:
曲
1
I
1
I
J
AVI
|3*2_2
A———
13九A2,当3,取得最小值为
A亠=丄+2|扎|
00I却,当取值越大,则最小值为2
从而cond(A)閃=|A」网|仁=(丄+2)max{3|k|,2},°°&
2
又当|[:
:
3时,
cond(A)凶=(丄+2)max®?
i|,2b(3+2)2=7。
丸2
2当因話时,
1r
cond(A)比=(丁+2)max:
3丸,2
+2)3&
22
综上所述,cond(A)閃=7时最小,这时九|=—,即h=士一
33
100991
18设心9998J,计算A的条件数cond(A)v(V®)
由A」。
|(99
99
98
可知,A—「98"1
]99-100一
,从而
(A4)T(AJ)
-9899-9899_19405-19602
〔99-10^99-100」一]-1960219801」
由U-(AfA,)
-1940519602
19602人―19801
=2-392061=0,
ATA=;009;9;00
9919
98_
)801
19602
19602
19405
-392061=0,
由加-心「一19801一19602
—19602九—19405
可得lAb=
cond(A)2=
卜廿199
(A"
,p
’=J19603+J384277608,从
|2A2=2603+J384277608
A=199,从而cond(A)o0=
'而
七39206。
A」|丿Al沪=199099=39601。
19、证明:
如果A是正交矩阵,则cond(A)2-1
若A是正交阵,则Aa=At,从而AtA=I,(A,)TA,=AA,=1,故A2=卜*2i,cond(A)2=A」|2||A|2=1。
20、设A,B^Rn>°,且•)为R叹上矩阵的算子范数,证明:
cond(AB)兰cond(A)cond(B)
cond(AB)=
=1A1IIAI)(
[(AB),|AB|=B」A」AB|WB」B」|b)=cond(A)cond(B)
|闰|||州冋|
21、设Ax=b,其中A为非奇异矩阵,证明:
(1)ATA为对称正定矩阵;
(2)cond(ATA)=(cond(A)2)2
x(ATA)x=(Ax)TAx=b2>0,所以AtA为对称正定矩阵。
「“、、2九max(ATA)
(cond(Ab)—_.tx
九min(AA)
由于ata为对称正定矩阵,所以ata=aat
cond(ATA)2=|ATA|2||(ATA)电
■max((ATA)T(ATA))\■min((AtA)(AtA)t)
■max((AAT)T(ATA))\■min((AAt)(AtA)t)
■max(ATAATA)\■min(AAtAAt)
卜max(ATA)2yXmin(AAt)2
■max(ATA)
■min(AAt)
2
-(cond(A)2)
第7章
复习与思考题
1•什么是方程的有根区间?
它与求根有何关系?
P213,若f(x)C[a,b]且f(a)f(b):
:
:
0,根据连续函数性质可知f(x)=O在[a,b]内至
少有一个实根,这时称[a,b]为f(x)=0的有根区间。
2•什么是二分法?
用二分法求f(x)=O的根,f要满足什么条件?
P213
一般地,对于函数f(x)=0如果存在实数c,当x=c时,若f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)=0的零点。
解方程即要求f(x)=0的所有零点。
假定f(x)=0在区间(x,y)上连续,
先找到a、b属于区间(x,y),使f(a)f(b)c0,说明在区间(a,b)内一定有零点,然后求
f((ab)/2),现在假设f(a):
:
0,f(b)0,a:
b
1果f((a•b)/2)=0,该点就是零点,如果f((a•b)/2):
:
:
0,则在区间[(ab)/2),b]内
有零点,从①开始继续使用中点函数值判断。
2如果f((ab)/2)0,则在区间[a,(a-b)/2)]内有零点,从①开始继续使用中点函数
值判断。
3这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法,使区间
的两个端点逐步迫近函数的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法。
4从以上可以看出,每次运算后,区间长度减少一半,是线形收敛。
3•什么是函数「(x)=0的不动点?
如何确定(x)使它的不动点等价于f(x)的零点
P215.
将方程f(x)=0改写成等价的形式x=:
:
(x),若要求x*满足f(x*)=0,贝yx^(x*);反之亦然,称x*为函数(x)的一个不动点。
4•什么是不动点迭代法?
:
(x)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
(x)的不动点
P215
求f(x)=0的零点就等价于求(x)的不动点,选择一个初始近似值x0,将它代入X二:
(x)
的右端,可求得
X1h卩(X0),如此反复迭代有
Xk1二(Xk),k=0,1,2,...,
(X)称为迭代函数,如果对任何x0•[a,b],由xk(xk),^0,1,2,...得到的序列
〈Xk1有极限
X
-
KHk
则称迭代方程收敛,且X*=申(X*)为®(X)的不动点故称
兀q二(Xk),k=0,1,2,...为不动点迭代法。
5.什么是迭代法的收敛阶?
如何衡量迭代法收敛的快慢?
如何确定
Xk1二(Xk)(k=0,1,2,...)的收敛阶
P219
设迭代过程Xk(Xk)收敛于(X)的根X*,如果当k>:
:
时,迭代误差
ek=xk-X*满足渐近关系式
e^P7■C,C=const=0
e/
则称该迭代过程是p阶收敛的,特别点,当p=1时称为线性收敛,P>1时称为超线性收敛,
p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6.什么是求解f(x)=0的牛顿法?
它是否总是收敛的?
若f(x*)=0,x*是单根,f是光滑,证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法:
f(Xk)
Xk1=Xk—
f(Xk)
当|f(xk)卜J时收敛。
7.什么是弦截法?
试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。
就是弦截法。
收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2
计算量弦截法<牛顿法(减少了倒数的计算量)
8•什么是解方程的抛物线法?
在求多项式全部零点中是否优于牛顿法?
P229
设已知方程f(x)=O的三个近似根,Xk,Xkj,Xk^,以这三点为节点构造二次插值多项式p
(x),并适当选取p2(x)的一个零点兀书作为新近似根,这样确定的迭代过程称为抛物线
法。
抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618,小于牛顿法2
可用于所想是的实根和复根的求解。
9•什么是方程的重根?
重根对牛顿法收敛阶有何影响?
试给出具有二阶收敛的计算重根方
法。
10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法?
它每步迭代要调用多少次标量函数(计算偏导数与计算函数值相当)
11.判断下列命题是否正确:
(1)非线性方程(或方程组)的解通常不唯一(正确)
(2)牛顿法是不动点迭代的一个特例(正确)
(3)不