李庆扬数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析.docx
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李庆扬数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析
第5章
复习与思考题
1用高斯消去法为什么要选主兀？
哪些方程组可以不选主兀？
答：
使用咼斯消去法时，在消元过程中可能出现akk=°的情况，这时消去法无法进行；即
时主兀素akk^°，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入
误差的扩散，最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主兀，以保证计算的进行和计
算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。
计算时一般选
择列主元消去法。
2、咼斯消去法与LU分解有什么关系？
用它们解线性方程组Ax=b有何不同？
A要满足什
么条件？
答：
高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个
为上二角矩阵U,—个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，…，n-1）不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？
楚列斯基分解是LU分解的一种，当限疋下三角矩阵L的对角兀素为正时，楚列斯基分解具
有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？
为什么说平方根法计算稳定？
具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中兀素的数量级不会增长，切对角兀素恒为正数，因此，是一个稳定的
算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？
对角占优的三对角方程组
6、何谓向量范数？
给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53,符合3个运算法则。
正定性
齐次性
三角不等式
设X为向量，则三种常用的向量范数为：
（第3章p53,第5章p165）
n
l|x||i=2：
|Xi|
n1
||x||2=（》Xi2）2
i=1
||x|&=max|Xi|
1«
7、何谓矩阵范数？
何谓矩阵的算子范数？
给出矩阵A=（aj）的三种范数||A||1,||A||2,
IIA||「IIAl1与IIAll2哪个更容易计算？
为什么？
向量范数定义见p162,需要满足四个条件。
正定条件
齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有
IIAIIi
IIAII2
IIAIL：
从定义可知，IIAI1更容易计算。
8、什么是矩阵的条件数？
如何判断线性方程组是病态的？
答：
设A为非奇异阵，称数cond（A）v=||aFJ|a||v（v=1,2严）为矩阵A的条件数当cond（A）[J1时，方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？
（1）矩阵行列式的值很小。
（2）矩阵的范数小。
（3）矩阵的范数大。
（4）矩阵的条件数小。
（5）矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
（1）、
（2）注：
矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确：
（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。
答：
错误，主元位置可能为0,导致无法计算结果。
（2）对称正定的线性方程组总是良态的。
答：
正确。
（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
答：
正确。
（4）如果A非奇异，则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。
答：
正确。
解释：
若A|b与A的秩相同，贝UA有唯一解。
若不同，则A无解。
（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。
（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。
答：
正确。
（7）奇异矩阵的范数--定是零。
答：
错误，IITL可以不为°。
（8）如果矩阵对称，则||A||1=IIA||…
答：
根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：
错误，不选主元时，可能除数为°。
（1°）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很
小。
答：
错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）IIA||i=||AT|「。
答：
根据范数的定义，正确。
（12）若A是nn的非奇异矩阵，则
cond（A）二cond（A）。
答：
正确。
A是nn的非奇异矩阵，贝UA存在逆矩阵。
cond（A）=|A||“A」||
根据条件数的定义有：
cond（A」）=卜」卜=卜」卜|A=||A卜|A
aT1
A2
习题
"a
i、设A是对称阵且aii=0，经过高斯消去法一步后，A约化为ii
卫
称矩阵。
证明：
设对称矩阵
aii
aii
ai2-
ain丨
ai2
a22-
an2
_ain
a2n-
ann
ai2
a
，则经过1次高斯校区法后，有
an2
冃2
a22-ai2
aii
n1
ain_
ai2
aii
aii
a22
a”^
aii
ai2
ann
ai2
ai2ai2Ci
ain
耳2
aii
1
an2
ain
ai2-ain
aii
aCna
an2-ai2
aii
a日巾a
ann一6n
aii
所以aT
二［ai2
寺2】
；22-
ai2
—ai2
aii
an2
ai2
—ainaii
ain
.an2—ai2
-Qi
所以A2为对称矩阵。
ann
-ainainaii
2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为A=（aj）n，其中A=（ajj）n,
步后
A2-（aij））n4；
证明：
（1）A的对角元素ai0（i=1,2,IH,n）；
（2）A2是对称正定矩阵;
（i）依次取Xi=（0,0，…，0,i,0，…,0）T,i=i,2/,n，则因为A是对称正定矩阵,i
所以有aii二xTAx0。
（2）A2中的元素满足a（2>=aq—旦1",（i,j=2,3,…，n），又因为A是对称正定
aii
矩阵，满足aq呵,
i,j=1,2,,n，所以a『二aj
aiIaij
aii
二aji
aiia
ai
ji
a（i2）
即A是对称矩阵。
i
Lk=
3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，Lk和单位阵I相同），
i
mk+,ki
mn,ki
求证当i,j-k时，Lk=lijLklj也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Ij为初等置换
矩阵。
4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。
本题不推导。
参见书上例题。
P147页。
5、设Ux=d，其中U为三角矩阵。
（1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法
（2）计算解三角方程组UX二d的乘除法次数
（3）设U为非奇异矩阵，试推导求U」的计算公式
本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。
解法，略。
6、证明:
（1）如果A是对称正定矩阵，则A'也是对称正定矩阵
（2）如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成A二LTL，其中L是具有正对角元的下
三角矩阵
均是对称正定矩阵的性质。
应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
12捲-3x23x3=15
三—18x「3x2-x3二-15
x-ix2x3=6
并求出系数矩阵A的行列式的值
12£3
A=-183-1
111
12-3315
A|b=-183-1-15
1116
使用列主元消去法，有
-
「12
-3
3
151
A|b=
-18
3
-1
-15
1
1
1
6J
-18
3
-1
-15]
—
12
-3
3
15
1
1
1
6一
■
1
-18
3
-1
-15
7
=
0
-1
5
3
7
17
31
0
—
—
6
18
6一
■
-18
3
-1
-15
7
17
31
=
0
―
—
6
18
6
0
-1
7
5
-
3
-
1
-18
3
-1
-15
7
17
31
—
0
6
18
6
0
0
66
66
-
21
7一
A的行列式为
-66
方程组的解为
X1=1,x2=2,x3=3
8、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解
111
X1+—x?
+-■X3=9456
111c
X<|：
—X2—X3=8
345
1
亍旨+x2+2x3=8
本题考查
解：
LU分解。
'I
4
1
3
1
：
2
11
6
1
5
-
|1
1
5
11
60
1
6
13
90
957
540
二b，其中
-12-100
0
0-12-10
，b=
0
00-12-1
0
000-12
0一
9、用追赶法解三对角方程组
Ax
-1
0
0
0
A二
O
解：
追赶法实际为LU分解的特殊形式。
设U为、单位上三角矩阵。
有
（1）计算<的递推公式
'■I=Ci/b^=-1/2=-0.5
■2=c2/（b2-a2冷）=-1/（2-（-1）（-0.5））=-2/3
乜弋/（鸟"3扮一1/（2-（-1）（-2/3））一3/4
■4-C4/（b4-34订）=—1/（2-（-1）（_3/4））=—4/5
（2）解Ly=f
Yi=f"=1/2y2二厲-a?
%）/®?
-a?
+）=（0-（-1）（1/2））/（2-（-1）（-0.5））=1/3
Y3二亿-3^2）/©"彳①=（0-（-1）（1/3））/（2-（-1）（-2/3））“/4
Y4=（f4七4丫3）/©-34飞）=（0-（-1）（1/4））/（2-（-1）（-3/4））=1/5
Y5二厲-35丫4）/他-35.）=（0-（-1）（1/5））/（2-（-1）（-4/5））=1/6
（3）解UX=y
X5二y5T/6
&=y4一I4X5=1/5-（-4/5）1/6=1/3
x3二y3-：
3x4=1/4-（-3/4）1/3=1/2
X2二y2-：
2怡=1/3-（-2/3）1/2=2/3
为-[x2=2-（-1/2）2/3=5/6
10、用改进的平方根法解方程组
2
—1
本题明确要求使用平方根法进行求解。
实际考查的LDU分解。
见P157
10723
Y=■Y=■V=
123
999
11、下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？
若能分解，那么分解是否唯一。
123111126
A=
241
，B=
221
，°=
2515
467
1
331_
1
61546一
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。
如果要求其中的L矩阵（或
U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。
同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，
并且总是唯一的。
即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。
实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式
不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。
解：
因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0，-10,所以A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。
因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,0,所以B不能分解为三角阵的乘积。
因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1,5,1,所以C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。
12、设
0.60.5_A=
p.10.3
计算A的行范数,
列范数，2-范数及F-范数。
本题考查的是矩阵范数的疋义及求法
行范数0.6+0.5=1.1
列范数0.5+0.3=0.8
2-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幕法进行计算，也可以直接求。
AA的最大特征值为0.3690
所以2-范数为0.6074
F-范数0.8426
13、求证：
（a）IML-WL-nxj
（b）命lAHM咖F。
根据定义求证。
x/i^lxi斗All；；
nnig
HA2=*-max（AT
n
兰』1=送Xi兰nmaxlxi^nxL。
\=1
2
aij
A）
14、设pwRn>n且非奇异，又设IIXI为Rn上一向量范数，定义x||p=||pX。
试证明Mp是
Rn上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明：
要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。
显然llx||p=||Px||H0，|cx||p=|Pcx||=|c|||Px||=|c||x|p、
X1X2p=P（X1X2
）||=||PX1+PX2||M|PXl[+||PX2||=||Xl||p+||x2||p，从而||xp是
Rn
上向量的一种范数。
15、设ARnn为对称正定，定义
1
xL=（Ax,x）2，
试证明|xA是Rn上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明：
要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。
1
显然xA=（Ax,x）2二一xtAx0
CX
11
A=（Acx,cx）2=Jc2（xTAx）=c（Ax,x）2
1
A=（A（X1+X2）,（X1+X2））2=J（X1*X2）tA（X1*X2）
X1X2I
-\x1TAx「x2tAx2=
Xi
L+|IX2
16、设A为非奇异矩阵，求证
1.——,二min
jAy
n
因为a'=maox
A4x
A4x
IIxII
AA’x
iiyii
咤両_i|iAy，
min
y”
1
A4
=min
yL
所以得证
"2^、八
-2企
17、矩阵第一行乘以一数，成为A=1
，证明当扎一土时，cond（A）3t有取小值。
:
11一
3
本题考查条件数的计算
cond（A）o0=
aIIa仁
首先计算A的逆阵
:
:
曲
1
I
1
I
J
AVI
|3*2_2
A———
13九A2，当3，取得最小值为
A亠=丄+2|扎|
00I却，当取值越大，则最小值为2
从而cond（A）閃=|A」网|仁=（丄+2）max{3|k|,2},°°&
2
又当|[：
：
3时，
cond（A）凶=（丄+2）max®?
i|,2b（3+2）2=7。
丸2
2当因話时,
1r
cond（A）比=（丁+2）max：
3丸，2
+2）3&
22
综上所述，cond（A）閃=7时最小，这时九|=—,即h=士一
33
100991
18设心9998J，计算A的条件数cond（A）v（V®）
由A」。
|（99
99
98
可知，A—「98"1
]99-100一
，从而
（A4）T（AJ）
-9899-9899_19405-19602
〔99-10^99-100」一]-1960219801」
由U-（AfA，）
-1940519602
19602人―19801
=2-392061=0，
ATA=；009；9；00
9919
98_
）801
19602
19602
19405
-392061=0,
由加-心「一19801一19602
—19602九—19405
可得lAb=
cond（A）2=
卜廿199
（A"
，p
’=J19603+J384277608，从
|2A2=2603+J384277608
A=199，从而cond（A）o0=
'而
七39206。
A」|丿Al沪=199099=39601。
19、证明：
如果A是正交矩阵，则cond（A）2-1
若A是正交阵，则Aa=At,从而AtA=I,（A，）TA，=AA，=1,故A2=卜*2i，cond（A）2=A」|2||A|2=1。
20、设A,B^Rn>°，且•）为R叹上矩阵的算子范数，证明：
cond（AB）兰cond（A）cond（B）
cond（AB）=
=1A1IIAI）（
[（AB），|AB|=B」A」AB|WB」B」|b）=cond（A）cond（B）
|闰|||州冋|
21、设Ax=b，其中A为非奇异矩阵，证明：
（1）ATA为对称正定矩阵；
（2）cond（ATA）=（cond（A）2）2
x（ATA）x=（Ax）TAx=b2>0，所以AtA为对称正定矩阵。
「“、、2九max（ATA）
（cond（Ab）—_.tx
九min（AA）
由于ata为对称正定矩阵，所以ata=aat
cond（ATA）2=|ATA|2||（ATA）电
■max（（ATA）T（ATA））\■min（（AtA）（AtA）t）
■max（（AAT）T（ATA））\■min（（AAt）（AtA）t）
■max（ATAATA）\■min（AAtAAt）
卜max（ATA）2yXmin（AAt）2
■max（ATA）
■min（AAt）
2
-（cond（A）2）
第7章
复习与思考题
1•什么是方程的有根区间？
它与求根有何关系？
P213，若f（x）C［a,b］且f（a）f（b）：
：
：
0，根据连续函数性质可知f（x）=O在［a,b］内至
少有一个实根，这时称［a,b］为f（x）=0的有根区间。
2•什么是二分法？
用二分法求f（x）=O的根，f要满足什么条件？
P213
一般地，对于函数f（x）=0如果存在实数c,当x=c时，若f（c）=0,那么把x=c叫做函数f（x）=0的零点。
解方程即要求f（x）=0的所有零点。
假定f（x）=0在区间（x,y）上连续，
先找到a、b属于区间（x，y），使f（a）f（b）c0，说明在区间（a,b）内一定有零点，然后求
f（（ab）/2）,现在假设f（a）:
:
0,f（b）0,a：
b
1果f（（a•b）/2）=0，该点就是零点，如果f（（a•b）/2）：
：
：
0,则在区间［（ab）/2）,b］内
有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
2如果f（（ab）/2）0，则在区间［a,（a-b）/2）］内有零点，从①开始继续使用中点函数
值判断。
3这样就可以不断接近零点。
通过每次把f（x）的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间
的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
4从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。
3•什么是函数「（x）=0的不动点？
如何确定（x）使它的不动点等价于f（x）的零点
P215.
将方程f（x）=0改写成等价的形式x=：
：
（x），若要求x*满足f（x*）=0，贝yx^（x*）；反之亦然，称x*为函数（x）的一个不动点。
4•什么是不动点迭代法？
：
（x）满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
（x）的不动点
P215
求f（x）=0的零点就等价于求（x）的不动点，选择一个初始近似值x0，将它代入X二:
（x）
的右端，可求得
X1h卩（X0），如此反复迭代有
Xk1二（Xk）,k=0,1,2,...，
（X）称为迭代函数，如果对任何x0•[a,b]，由xk（xk）,^0,1,2,...得到的序列
〈Xk1有极限
X
-
KHk
则称迭代方程收敛，且X*=申（X*）为®（X）的不动点故称
兀q二（Xk）,k=0,1,2,...为不动点迭代法。
5.什么是迭代法的收敛阶？
如何衡量迭代法收敛的快慢？
如何确定
Xk1二（Xk）（k=0,1,2,...）的收敛阶
P219
设迭代过程Xk（Xk）收敛于（X）的根X*，如果当k>:
:
时，迭代误差
ek=xk-X*满足渐近关系式
e^P7■C,C=const=0
e/
则称该迭代过程是p阶收敛的，特别点，当p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛，
p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6.什么是求解f（x）=0的牛顿法？
它是否总是收敛的？
若f（x*）=0,x*是单根，f是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法：
f（Xk）
Xk1=Xk—
f（Xk）
当|f（xk）卜J时收敛。
7.什么是弦截法？
试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。
就是弦截法。
收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2
计算量弦截法<牛顿法（减少了倒数的计算量）
8•什么是解方程的抛物线法？
在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？
P229
设已知方程f（x）=O的三个近似根，Xk，Xkj，Xk^，以这三点为节点构造二次插值多项式p
（x），并适当选取p2（x）的一个零点兀书作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线
法。
抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618，小于牛顿法2
可用于所想是的实根和复根的求解。
9•什么是方程的重根？
重根对牛顿法收敛阶有何影响？
试给出具有二阶收敛的计算重根方
法。
10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？
它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）
11.判断下列命题是否正确：
（1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）
（2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）
（3）不
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