李庆扬数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析.docx

1、李庆扬数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析第5章复习与思考题1用高斯消去法为什么要选主兀？哪些方程组可以不选主兀？答：使用咼斯消去法时，在消元过程中可能出现 akk=的情况，这时消去法无法进行；即时主兀素akk，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。 因此高斯消去法需要选主兀， 以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时， 可以不用选择主元。 计算时一般选择列主元消去法。2、咼斯消去法与 LU分解有什么关系？用它们解线性方程组 Ax = b有何不同？ A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了

2、一个将 A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上二角矩阵U, 个为下三角矩阵 L。用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与 LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是 LU分解的一种，当限疋下三角矩阵 L的对角兀素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中兀素的数量级不会增长， 切对角兀素恒为正数， 因此，是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计

3、算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见p53,符合3个运算法则。正定性齐次性三角不等式设X为向量，则三种常用的向量范数为： （第3章p53,第5章p165）nl|x|i=2： |Xi|n 1|x|2 = （Xi2）2i=1|x|&=max |Xi |17、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵 A = （a j ）的三种范数| A| 1, | A| 2,II A|II Al 1与II All 2哪个更容易计算？为什么？ 向量范数定义见p162,需要满足四个条件。正定条件齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有IIAIIiIIAII2I

4、IAIL：从定义可知，IIA I1更容易计算。8、 什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设A为非奇异阵，称数cond（A）v =|aFJ|a|v （ v=1,2严）为矩阵A的条件数 当cond（A） J 1时，方程是病态的。9、 满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1 ）矩阵行列式的值很小。（2 ）矩阵的范数小。（3 ）矩阵的范数大。（4）矩阵的条件数小。（5 ）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵的有（1）、（2） 注：矩阵的条件数小说明 A是良态矩阵。矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。10、 判断下列命题是否正确：（1 ）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接 LU分

5、解可求得线性方程组 Ax = b的解。答：错误，主元位置可能为 0,导致无法计算结果。（2 ）对称正定的线性方程组总是良态的。答：正确。（3） 一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。答：正确。（4） 如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量 b的决定的。答：正确。解释：若 A|b与A的秩相同，贝U A有唯一解。若不同，则 A无解。（5） 如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。（6） 范数为零的矩阵一定是零矩阵。答：正确。（7） 奇异矩阵的范数- -定是零。答：错误，IITL可以不为。(8) 如果矩阵对称，则| A| 1 = II A|答：根据范数的定义，正确。(9)

6、如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。答：错误，不选主元时，可能除数为 。(1)在求解非奇异性线性方程组时， 即使系数矩阵病态， 用列主元消去法产生的误差也很小。答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。(11) II A | i = | AT |。答：根据范数的定义，正确。(12 )若A是n n的非奇异矩阵，则cond(A)二 cond(A )。答：正确。A是n n的非奇异矩阵，贝U A存在逆矩阵。con d(A) =| A|“A|根据条件数的定义有： co nd(A)=卜卜=卜卜|A =|A卜|AaT 1A2习题ai、设A是对称阵且aii =0，经过高斯消去法一步后

7、， A约化为ii卫称矩阵。证明：设对称矩阵aiiaiiai2 -ai n丨ai2a22 -an 2_aina2n -annai2a，则经过1次高斯校区法后，有an2冃2a22 - ai2aiin 1ain _ai2aiiaiia22a”aiiai2annai2ai2 ai2 Ciain 耳2aii1an2ainai2 -ai naiia C n aan2 - ai2aiia 日巾aann 一 6 naii所以aT二ai2寺2】；22 -ai2ai2aiian2ai2ain aiiain.an2 ai2- Qi所以A2为对称矩阵。ann-ainain aii2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法

8、一步后， A约化为A=(aj)n，其中A = (ajj)n,步后A2 - (aij) n 4 ；证明：(1)A的对角元素ai 0 (i=1,2,IH,n) ； (2)A2是对称正定矩阵;(i)依次取Xi =(0,0，0,i,0，,0)T, i =i,2/ ,n，则因为A是对称正定矩阵, i所以有 aii 二 xT Ax 0。(2) A2中的元素满足a(2 = aq 旦1 , (i,j=2,3,，n)，又因为A是对称正定aii矩阵，满足aq呵,i, j =1,2, ,n，所以 a二 ajai Iaijaii二 ajiaiiaaijia(i2)即A是对称矩阵。iLk =3、设Lk为指标为k的初等下

9、三角矩阵(除第k列对角元以下元素外，Lk和单位阵I相同)，imk+,k imn,k i求证当i,j -k时，Lk=lijLklj也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Ij为初等置换矩阵。4、 试推导矩阵 A的Crout分解A=LU的计算公式，其中 L为下三角矩阵，U为单位上三角 矩阵。本题不推导。参见书上例题。 P147页。5、 设Ux =d ，其中U为三角矩阵。(1 )就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法(2)计算解三角方程组 UX二d的乘除法次数(3)设U为非奇异矩阵，试推导求 U的计算公式本题考查求解公式的一般方法， 可从第n个元素开始，逐步计算n-1,1时对应的求解公式。

10、解法，略。6、 证明:(1)如果A是对称正定矩阵，则 A也是对称正定矩阵(2)如果A是对称正定矩阵，则 A可以唯一地写成 A二LTL，其中L是具有正对角元的下三角矩阵均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。7、用列主元消去法解线性方程组12捲-3x2 3x3 =15三18x3x2 -x3 二-15x-i x2 x3 = 6并求出系数矩阵A的行列式的值12 3A= -18 3 -11 1112 -3 3 15A|b= -18 3 -1 -151 1 1 6使用列主元消去法，有-12-3315 1A|b =-183-1-151116 J-183-1-1512-33151116 一1-183-1-157

11、=0-1537173106186 一-183-1-1571731=061860-175-3-1-183-1-157173106186006666-217 一A的行列式为-66方程组的解为X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解(Doolittle 分解)求线性方程组的解11 1X1 + x? + - X3 = 9 4 5 6111cX| ： X2 X3 =83 4 51亍旨 +x2 +2x3 =8本题考查解：LU分解。I4131：211615-|1151160161390957540二b，其中-12-10000-12-10，b =00 0-12-100 0 0-12 0 一9、用追赶法解

12、三对角方程组Ax-1000A 二O解：追赶法实际为 LU分解的特殊形式。设 U为、单位上三角矩阵。有(1)计算 n且非奇异，又设IIXI为Rn上一向量范数，定义 x|p =|pX。试证明Mp是Rn上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。显然 llx|p =|Px|H0，|cx|p =|Pcx| =|c|Px| =|c|x|p、X1 X2 p = P(X1 X2)|=|PX1 +PX2|M|PXl+|PX2|=|Xl|p +|x2|p，从而 | xp 是Rn上向量的一种范数。15、设 A Rn n为对称正定，定义1xL =(Ax,x)2，试证明|x

13、A是Rn上向量的一种范数。根据向量范数的定义来证明：要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。1 显然 x A = (Ax,x)2 二一 xtAx 0CX1 1A =(Acx,cx)2 = Jc2(xTAx) =c(Ax,x)21 A =(A(X1 +X2),(X1 +X2)2 = J(X1*X2)t A(X1*X2)X1 X2I- x1T Axx2t Ax2 =XiL +|IX216、设A为非奇异矩阵，求证1 . ,二 minjAyn因为 a =maoxA4xA4xIIxIIAAxiiyii咤両_ i|iAy，miny”1A4=minyL所以得证2 、八- 2 企17、矩阵第一行乘以一数，成

14、为 A = 1，证明当扎一土 时，cond(A)3t有取小值。:1 1 一3本题考查条件数的计算con d (A)o0 =aIIa 仁首先计算A的逆阵:曲1I1IJAVI|3*2 _ 2A 13九A 2，当 3，取得最小值为A亠=丄+2 |扎|00 I却 ，当 取值越大，则最小值为2从而 cond(A)閃= |A网|仁=(丄 +2) max3|k|,2, &2又当|： 3时，cond(A)凶=(丄 +2) max?i|,2b(3+2) 2 = 7。丸 22 当因話时,1 rcond (A)比=(丁+2) max：3丸，2+ 2) 3 &2 2综上所述，cond(A)閃=7时最小，这时九| =,

15、即h = 士一33100 99118设心99 98 J，计算A的条件数cond(A)v(V)由A。|(999998可知，A98 199 -100一，从而(A4)T(AJ)-98 99 -98 99 _ 19405 -1960299 -1099 -100一 -19602 19801由 U -(AfA，)-19405 1960219602 人19801=2 - 39206 1 = 0，ATA=；00 9；9；0099 1998 _)801196021960219405-39206 1 = 0 ,由加-心一19801 一1960219602 九19405可得lAb =con d(A)2 =卜廿199

16、(A，p =J19603 + J384277608，从|2 A2 =2603 +J384277608A =199，从而 cond(A)o0 =而七 39206。A|丿 Al沪= 199 099 =39601。19、证明：如果 A是正交矩阵，则cond(A)2-1若 A 是正交阵，则 Aa = At ,从而 AtA= I , (A，)TA，= AA，= 1 ,故 A 2 =卜*2 i， cond(A)2 = A|2|A|2 =1。20、设A,BRn，且)为R叹上矩阵的算子范数，证明：con d (AB)兰 co nd (A)co nd( B)con d(AB)= 1A1IIAI)(AB)，|AB

17、| = BAAB|W B B|b ) =cond(A)cond(B)|闰|州冋|21、设Ax =b，其中A为非奇异矩阵，证明：(1)AT A为对称正定矩阵；(2)cond(ATA)=(cond(A)2)2x(ATA)x =(Ax)T Ax =b2 0，所以AtA为对称正定矩阵。, “、2 九max(ATA)(co nd(Ab) _. tx九 min( AA )由于ata为对称正定矩阵，所以 ata = aatco nd(ATA)2=|ATA|2|(ATA)电max(ATA)T(ATA) min( AtA)(AtA)t)max(AAT)T(ATA) min( AAt)(AtA)t) max(AT

18、 AAT A) min( AAtAAt)卜 max(AT A)2 y Xmin( AAt )2max( AT A)min( AAt )2-(co nd(A)2)第7章复习与思考题1什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？P213，若f(x) Ca,b且f(a)f(b) ：0，根据连续函数性质可知 f(x) = O在a,b内至少有一个实根，这时称a, b为f (x) = 0的有根区间。2什么是二分法？用二分法求 f(x)=O的根，f要满足什么条件？P213一般地，对于函数 f(x) =0如果存在实数 c,当x=c时，若f (c) =0,那么把x=c叫做函数 f(x) =0的零点。解方程即要求 f

19、(x) =0的所有零点。假定f (x) =0在区间(x, y)上连续，先找到a、b属于区间(x，y)，使f(a)f(b)c0，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f(a b)/2),现在假设 f (a) : 0, f (b) 0, a ： b1果f (a b)/2) =0，该点就是零点，如果f (a b)/2) ： 0 ,则在区间(a b)/2),b内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。2如果f(a b)/2) 0，则在区间a,(a - b)/2)内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。3这样就可以不断接近零点。 通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法， 使区间的两个端点逐步迫

20、近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。4从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。3什么是函数(x) =0的不动点？如何确定 (x)使它的不动点等价于 f (x)的零点P215.将方程f(x) =0改写成等价的形式 x = ：(x)，若要求x*满足f(x*) =0，贝y x (x*)； 反之亦然，称x*为函数(x)的一个不动点。4什么是不动点迭代法？ ：(x)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于(x)的不动点P215求f(x) =0的零点就等价于求(x)的不动点，选择一个初始近似值x0，将它代入X二:(x)的右端，可求得X1 h卩(X0)，如此反

21、复迭代有Xk 1 二(Xk),k =0,1,2,.，(X)称为迭代函数，如果对任何 x0 a,b，由xk (xk),0,1,2,.得到的序列Xk 1有极限X-KHk则称迭代方程收敛，且X* =申(X*)为(X)的不动点 故称兀q二(Xk), k = 0,1,2,.为不动点迭代法。5.什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定Xk 1 二(Xk)(k =0,1,2,.)的收敛阶P219设迭代过程Xk (Xk)收敛于 (X)的根X*，如果当k :时，迭代误差ek =xk -X*满足渐近关系式eP7 C,C = con st = 0e/则称该迭代过程是 p阶收敛的，特别点，当 p=1时

22、称为线性收敛，P1时称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。6. 什么是求解f(x) =0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(x*) =0, x*是单根，f是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法：f(Xk)Xk 1 = Xk f (Xk)当| f (xk)卜J时收敛。7.什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2计算量弦截法 牛顿法(减少了倒数的计算量)8什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？P229设已知方程f（x）=O的三个近似根，Xk，Xk j，Xk，以这三点为节点构造二次插值多项式 p（x），并适当选取p2（x）的一个零点 兀书作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。抛物线法的收敛阶1.840大于弦截法1.618，小于牛顿法2可用于所想是的实根和复根的求解。9什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。10.什么是求解n维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导 数与计算函数值相当）11.判断下列命题是否正确：（1） 非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）（2） 牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）（3 ）不