例2.（2019·江苏期末）如图，在△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD、CE交于点F，且AE=EF.求证：
AB=CF.
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）
证明：
延长FD至H，使DH=FD，连接BH，
在△FCD和△HBD中，
FD=DH，∠FDC=∠HDB，CD=BD，
∴△FCD≌△HBD，
∴CF=BH，∠H=∠CFD，
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE，
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠EAF=∠F，
∴AB=BH，
∴AB=CF.
例3.
（1）如图1所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，点E是线段AC上一动点，连接DE，线段DF始终与DE垂直且交于BC于点F，试猜想线段AE+BF与EF之间的数量关系，并加以证明.
（2）如图2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，点E是线段AC延长线上的动点，连接DE，线段DF始终与DE垂直且交CB延长线于点F.问
（1）中的结论是否成立？
若成立请写出关系式，若不成立，请说明理由.
图1图2
【答案】见解析.
【解析】解：
（1）AE+BF>EF，理由如下：
延长ED至H，使DH=DE，连接BH，FH，
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
在△ADE和△BDH中，
∵AD=BD，∠BDH=∠EDA，DH=DE，
∴△ADE≌△BDH，
∴BH=AE，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE=∠FDH=90°，
在△FDE和△FDH中，
∵FD=FD，∠FDE=∠FDH，DH=DE，
∴△FDE≌△FDH，
∴EF=FH，
在△BFH中，BH+BF>FH,
即AE+BF>EF.
（2）成立，理由如下，
延长ED至H，使DH=DE，连接BH，FH，
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
在△ADE和△BDH中，
∵AD=BD，∠BDH=∠EDA，DH=DE，
∴△ADE≌△BDH，
∴BH=AE，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE=∠FDH=90°，
在△FDE和△FDH中，
∵FD=FD，∠FDE=∠FDH，DH=DE，
∴△FDE≌△FDH，
∴EF=FH，
在△BFH中，BH+BF>FH,
即AE+BF>EF.
例4.（2019·永城校内检测）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE=AF.
求证：
DE=DF.
【答案】见解析.
【解析】证明：
连接AD，
在△ABC中，∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
即∠ADC=∠ADB=90°，
∵EF∥BC，
∴∠FAD=∠EAD=90°，
在△ADF和△ADE中，
∵AD=AD，∠FAD=∠EAD，AE=AF，
∴△ADF≌△ADE，
∴DE=DF.
题型二：
与角平分线相关题型
例5.（2019·河南入学测试）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，DE平分∠ADC交BC于E，AD=AB+CD.
（1）求证：
E是BC的中点；
（2）判断AE与DE的位置关系，并说明理由；
（3）求证：
AE平分∠DAB.
【答案】见解析.
【解析】证明：
（1）延长DE交AB延长线于点F，
∵CD∥AB，
∴∠CDE=∠F，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠ADE=∠F，
∴AD=AF，
∵AD=CD+AB，AF=AB+BF，
∴BF=CD，
在△CDE和△BFE中，
∵∠CDE=∠F，∠CED=∠BEF，CD=BF，
∴△CDE≌△BFE，
∴CE=BE，即E是BC中点；
（2）（3）由
（1）知，△CDE≌△BFE，
∴DE=EF，
∵AD=AF，
∴AE⊥DF，AE平分∠DAB，
即AE⊥DE；AE平分∠DAB.
例6.已知，如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.
求证：
∠BAD+∠BCD=180°.
【答案】见解析.
【解析】证明：
过点D作DE⊥BC于D，DF⊥AB于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
在Rt△CDE和Rt△ADF中，
∵AD=CD，DE=DF，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF，
∴∠C=∠FAD，
∵∠FAD+∠BAD=180°，
∴∠C+∠BAD=180°.
例7.（2018·山西长治学科竞赛）如图，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的角平分线.
求证：
AC+CD=BC.
【答案】见解析.
【解析】证明：
在BC上截取CE=AC，连接DE，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD和△ECD中，
∵AC=CE，∠ACD=∠ECD，CD=CD，
∴△ACD≌△ECD，
∴∠A=∠CED，
∵∠A=2∠B，
∴∠CED=2∠B，
∵∠CED是△BDE的外角，
∴∠CED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴DE=BE=AD，
∴BC=CE+BE=AC+AD.
例8.（2019·沈阳期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，
（1）如图1，点A与点C关于y轴对称，点E、点F分别是线段AC、AB上的点（点E不与点A、C重合），且∠BEF=∠BAO，若∠BAO=2∠OBE，求证：
AF=CE.
（2）如图2，OA=OB，△AMN是等腰三角形，将△AMN绕点A旋转，且AM=MN，∠AMN=90°，连接BN，取BN的中点P，猜想OP与MP的位置关系与数量关系，说明理由.
图1图2
【答案】见解析.
【解析】证明：
（1）∵点A与点C关于y轴对称，
∴OA=OC，AB=BC，∠BAO=∠BCE，
∵∠AFE是△BEF的外角，∠BEC是△ABE的外角，
∴∠AFE=∠ABE+∠BEF，∠BEC=∠ABE+∠BAO，
∵∠BEF=∠BAO，
∴∠AFE=∠BEC，
∴∠AEF=∠CBE，
∴∠ABO=∠CBO=∠EBO+∠CBE=∠EBO+∠AEF，
∴∠FBE=∠ABO+∠EBO=2∠EBO+∠AEF，
∠BFE=∠BAO+∠AEF=2∠EBO+∠AEF，
∴∠FBE=∠BFE，
∴EF=BE，
在△AEF和△CBE中，
∵∠FAE=∠ECB，∠AFE=∠BEC，EF=BE，
∴△AEF≌△CBE，
∴AF=CE.
（2）OP⊥MP，OP=MP，理由如下，
延长MP至C，使PC=MP，连接BC,MO,延长AM交BC于D，连接OC，ON，
∵P为BN的中点，
∴PN=PB，
在△MPN和△CPB中，
∵PN=PB，∠MPN=∠CPB，MP=CP，
∴△MPN≌△CPB，
∴MN=AM=BC，∠MNP=∠CBP，
∴MN∥BC，
∵∠AMN=90°，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD=∠MAO，
在△AMO和△BCO中，
∵OA=OB，∠OBD=∠MAO，AM=BC，
∴△AMO≌△BCO，
∴OM=OC，∠MOA=∠COB，
∴∠MOC=∠MOB+∠BOC=∠MOB+∠BOA=90°，
即△OMC是等腰直角三角形，
又因为MP=PC，
∴OP⊥MP，OP=MP.
例9.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，BA=AC
（1）如图1，AB=8，点D是AC边上的中点，求△BCD的面积.
（2）如图2，若BD是△ABC的角平分线，猜想线段AB、AD、BC三者之间的数量关系，并说明理由.
（3）如图3，若点E、D是AC边上的两点，且AD=CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，连接BE、GE，求证：
∠ADB=∠CEG.
图1图2图3
【答案】见解析.
【解析】证明：
（1）∵∠BAC=90°，BA=AC=8，D是AC边上的中点,
∴AD=CD=4，
∴S△BCD=S△ABD=16.
（2）BC=AB+AD，理由如下，
过点D作DE⊥BC于E,
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠BAC=90°，
∴AD=DE，∠BAD=∠EBD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AB=BE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴∠C=∠CDE=45°，
∴CE=DE=AD，
∴BC=BE+CE=AB+AD.
（3）过点C作CH⊥AC，交AG的延长线于点H，
由题意知，
∠DAF+∠ADF=∠ABD+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠ABD，
∵AB=AC，∠HCA=∠DAB，
∴△ABD≌△CAH，
∴AD=CH，∠ADB=∠H，
∵AD=CE，
∴CH=CE，
∵∠ACB=45°，∠ACH=90°，
∴∠BCH=∠ACB=45°，
∴△ECG≌△HCG，
∴∠GEC=∠H，
∴∠ADB=∠CEG.
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