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匀速圆周运动例题

匀速圆周运动——例题1

【例题1】做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是（　B、C　）

A．速度B．速率C．角速度D．加速度

【例题2】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（C　）

A．匀速圆周运动是匀速运动

B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动

C．物体做匀速圆周运动是变加速曲线运动

D．做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态

【例题3】关于向心力的说法正确的是（　B、C　）

A．物体由于作圆周运动而产生一个向心力

B．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小

C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受合外力

D．做匀速圆周运动的物体的向心力是个恒力

【例题4】如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起作匀速圆周运动，则A的受力情况是（　B　）

A．重力、支持力

B．重力、支持力和指向圆心的摩擦力

C．重力、向心力

D．重力、支持力、向心力、摩擦力

【例题5】（00天津）在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为

。

设拐弯路段是半径为

的圆弧，要使车速为

时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，

应等于（B）

A、

B、

C、

D、

【例题6】（07山东-24）．如图所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块。

当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道ABC。

以知AB段斜面倾角为53°，BC段斜面倾角为37°，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均μ=0.5，A点离B点所在水平面的高度h=1.2m。

滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g=10m/s2，sin37°=0.6;cos37°=0.8

（1）若圆盘半径R=0.2m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？

（2）若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能。

（3）从滑块到达B点时起，经0.6s正好通过C点，求BC之间的距离。

★解析：

⑴μmg=mω2R，ω=5rad/s

⑵滑块在A点时的速度vA=ωR=1m/s，A到B过程用动能定理：

mgh-μmgcos53°·h/sin53°=

在B点时的机械能EB=

-mgh=-4J，此时B的速度为4m/s

⑶滑块在B点时的速度：

vB=4m/s。

滑块上运动时加速度大小a1=g（sin37°+μcos37°）=10m/s2

返回时的加速度大小：

a2=g（sin37°-μcos37°）=2m/s2，

因此BC间的距离：

sBC=

=0.76m，

就是说上滑后又下滑，但加速度是不一样的。

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【例题7】　如图5－26所示，O1为皮带传动装置的主动轮的轴心，轮的半径为r1；O2为从动轮的轴心，轮的半径为r2；r3为与从动轮固定在一起的大轮的半径．已知r2＝1.5r1，r3=2r1．A、B、C分别是三个轮边缘上的点，那么质点A、B、C的线速度之比是_________，角速度之比是_________，向心加速度之比是__________，周期之比是_________．

[思路点拨]　本题涉及了匀速圆周运动的所有基本公式：

v=ωR，

之间关系的两种不同形式，并应正确理解其含义．

[解题过程]　由于A、B轮由不打滑的皮带相连，故vA=vB．

所以ωB=ωC．

所以有　ωA∶ωB∶ωC=3∶2∶2，vA∶vB∶vC＝3∶3∶4．

故　aA∶aB∶aC=9∶6∶8．

[小结]　物体做匀速圆周运动时，线速度、角速度、向心加速度、向心力和轨道半径间有一定牵连关系．“认为线速度一定与半径成正比”是不对的，其实只有在角速度不变的情况下才成立．同样泛泛地讲：

向心加速度与半径成正比还是成反比，也是不对的，必须讲清其物理条件是角速度不变还是线速度不变．对此初学者务必注意．

【例题8】　如图5－27所示，一飞机在竖直平面内做匀速率特技飞

C、D四个位置受力情况．

[思路点拨]　该题应首先从A、B、C、D四点的位置、状态及所需向心力情况入手，再根据牛顿运动定律分析各点受力情况．分析的难点在于B点和D点．

[解题过程]　以飞行员为研究对象．在A点受力情况如图5－28（A）所示，其中FN表示座椅对飞行员的支持力．依牛顿运动定律

力不足以提供所需向心力，飞行员有离心趋势，故由椅子提供向下的压力P，如图5－28（B）所示．

在C点（此时飞行员头向下，椅子在其上方）受力情况如图5－28（C）所示，其中T表示安全带对飞行员向上拉力．并有

在D点，情况与B点相近，飞行员重力不足以提供所需向心力，有离心趋势．故将由安全带提供向下的压力Q，如图5－28（D）所示．

[小结]　

（1）物体的匀速圆周运动状态不是平衡状态．它所需要的向心力应恰好由物体所受的合外力来提供，由受力分析入手，正确使用动力学求解，是分析这类问题的主要方法．

（2）“离心”与“向心”现象的出现，是由于提供的合外力与某状态下所需的向心力之间出现矛盾，当“供”大于“需”时，将出现“向心”．例

“供”小于“需”时，物体将远离圆心被甩出，例如甩干机就是这个道理．

【例题9】　如图5－29所示的水平转盘可绕竖直轴OO′旋转，盘上水平杆上穿着两个质量相等的小球A和B．现将A和B分别置于距轴r和2r处，并用不可伸长的轻绳相连．已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是fm．试分析转速ω从零逐渐增大，两球对轴保持相对静止过程中，A、B受力情况如何变化？

[思路点拨]　当转动角速度ω增大到某值时，A和B将发生离心现象，向B一侧甩出，此时A所受摩擦力应沿杆指向外侧．而刚开始转动时，A所受摩擦力应指向圆心（轴），而且绳上没有张力．显然整个过程中A、B受力发生了明显变化，而且这种变化又与几个特定角速度值有关．找出这几个特定角速度是分析的关键．

[解题过程]　由于ω从零开始逐渐增大，当ω较小时，A和B只靠自身静摩擦力提供向心力．

A球：

mω2r=fA；B球：

mω22r=fB．

随ω增大，静摩擦力不断增大，直至ω＝ω1时将有fB=fm．即

力T将出现．

A球：

mω2r=fA＋T；B球：

mω22r=fm＋T．

由B球可知：

当角速度由ω增至ω′时，绳上张力将增加ΔT，ΔT=m·2r（ω′2－ω2）．对于A球应有

m·r（ω′2－ω2）=ΔfA＋ΔT=ΔfA＋m·2r（ω′2－ω2）．

可见ΔfA＜0，即随ω的增大，A球所受摩擦力将不断减小，直至

当角速度从ω2继续增加时，A球所受的摩擦力方向将沿杆指向外侧，并随ω的增大而增大，直至fA=fm为止．设此时角速度为ω3，并有

从ω3若角速度继续增加，A和B将一起向B一侧甩出．

[小结]　

（1）本题很好地反映了在匀速圆周运动的角速度ω动态变化的过程中，由于所需向心力的变化对所提供的摩擦力及绳上拉力的制约作用，并最终达到供与需之间的和谐．

（2）教学实践表明：

同学们基本都能正确指出，“AB系统将最终向B一侧甩出”这一物理现象．但是对于中间动态变化过程是怎样的？

为什么是这样的？

却很少有人讲清楚．对于一个题目物理过程的挖掘，要深刻、要细致，只有这样才能使自己跳出题海．

匀速圆周运动——例题2

【例1】如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动．A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？

【分析】皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，也就是说，用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等．根据这个特点，结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解．

【解】由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v．由v=ωR得两轮角速度大小的关系

ωB∶ωC=RC∶RB=2∶1．

因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即ωA=ωB，所以A、B、C三轮角速度之比

ωA∶ωB∶ωC=2∶2∶1．

因A轮边缘的线速度vA=ωARA=2ωBRB=2vB，

所以A、B、C三轮边缘线速度之比vA∶vB∶vC=2∶1∶1．

根据向心加速度公式a=ω2R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比

=8∶4∶2=4∶2∶1．

【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动．在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么（）

A．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心

B．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心

C．因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同

D．因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反

E．因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力

【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力——向心力．

以木块为研究对象进行受力分析：

在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平衡状态．在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动．所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中心

【答】B．

【说明】常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反，木块随圆盘一起匀速转动时，时时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动趋势方向相反，似乎应该选D．这是一种极普遍的错误认识，其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系．通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势，是指以地球为参照系而言的．而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反，应该是指相互接触的两个相关物体来说的，即是对盘面参照系．也就是说，对站在盘上跟盘一起转动的观察者，木块时刻有沿半径向外滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心

【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则（）

A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大

B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小

C．当转台转速增加时，C最先发生滑动

D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动

【分析】A、B、C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω．根据向心加速度的公式an=ω2r，已知rA=rB＜rC，所以三物体向心加速度的大小关系为aA=aB＜aC．

A错．

三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f=Fn=mω2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为

fA=mAω2rA=2mω2r，

fB=mBω2rB=mω2r，

fC=mcω2rc=mω2·2r=2mω2r．

即物体B所受静摩擦力最小．B正确．

由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为μ，静摩擦力的最大值可认为是fm=μmg．由fm=Fn，即

得不发生滑动的最大角速度为

即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小．

由于rC＞rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动．转速继续增加时，物体A、B将同时发生滑动．C正确，D错．

【答】B、C．

【例4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距L0=0.1m．长L=1m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球．小球的初始位置在AB连线上A的一侧．把细线拉直，给小球以2m／s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上．

若细线能承受的最大张力Tm=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长？

【分析】小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径会逐渐变小，但小球转动的线速度大小保持不变．

【解】小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，每转半圈的时间t不断减小．

令Tn=Tm=7N，得n=8，所以经历的时间为

【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性．通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义．对本题，还应该熟练掌握数列求和方法．

如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到细线完全绕在A、B两钉子上，共需多少时间？

【例5】如图（a）所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？

若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？

【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。

由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。

【解】对小球进行受力分析如图（b）所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有

T·sinθ-N·cosθ=mω2r①

y方向上应有

N·sinθ+T·cosθ-G=0②

∵r=L·sinθ③

由①、②、③式可得

T=mgcosθ+mω2Lsinθ

当小球刚好离开锥面时N=0（临界条件）

则有Tsinθ=mω2r④

T·cosθ-G=0⑤

【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立xoy直角坐标，然后沿x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程，其中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。

【例6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？

【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。

当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。

只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最高点时，水就不会流下来。

【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律

【例7】如下图所示，自行车和人的总质量为M，在一水平地面运动．若自行车以速度v转过半径为R的弯道．

（1）求自行车的倾角应多大？

（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？

【分析】骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜．从图中可知，当骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向α角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的合力Q通过共同的质心O，合力Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力．

【解】

（1）由图可知，向心力F=Mgtgα，由牛顿第二定律有：

（2）由图可知，向心力F可看做合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的静摩擦力f和支持力N的合力，所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F，即

f=Mgtgα

【例8】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A，L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的O1，O2处，已知O1O2=5m如下图（g＝10m·s-2）

（1）当竖直杆以的角速度ω匀速转动时，O2A线刚好伸直且不受拉力．求此时角速度ω1．

（2）当O1A线所受力为100N时，求此时的角速度ω2．

【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时，所受拉力就不同。

【解】

（1）当O2A线刚伸直而不受力时，受力如图所示。

则F1cosθ=mg①

F1sinθ=mRω12②

由几何知识知

∴R=2.4mθ=37°

代入式③ω1=1.77（rad/s）

（2）当O1A受力为100N时，由

（1）式

F1cosθ=100×0.8=80（N）＞mg

由此知O2A受拉力F2。

则对A受力分析得

F1cosθ-F2sinθ-mg=0④

F1sinθ+F2cosθ=mRω22⑤

由式（4）（5）得

【说明】向心力是一种效果力，在本题中O2A受力与否决定于物体A做圆周运动时角速度的临界值．在这种题目中找好临界值是关键．