新课标全国卷2高考理科数学试题及答案.docx
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新课标全国卷2高考理科数学试题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整，笔迹清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试卷上答题无效
4•作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5•保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
、选择题：
本题共
12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有
项是符合题目要求的。
3i
1.
1i
B.1-2i
2•设集合丄二「1,2,4m-「xX2-4x•m=ol若丄门三工1，则2-（）
3•我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
”意思是：
一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
4•如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一
平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）
A.90二B.63C.42二D.36二
2x3y—3_0
5•设x,y满足约束条件＜2x—3y+3K0，贝Vz=2x+y的最小值是（）
y+3^0
A.-15B.-9C.1D.9
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排
方式共有（）
A.12种B.18种C.24种D.36
种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：
你们四人中有2位
优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：
我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）
A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的a--1，则输出的S=（）
A.2B.3C.4D.5
22
22
（x—2）+y=4所截得的
xy
9.若双曲线C:
—2=1（a0,b0）的一条渐近线被圆
ab
弦长为2，则C的离心率为（）
C.、2
10•已知直三棱柱匸Q中，•JdC=120E，—-一2,mCnCOnl，则异面直
线二m1与三C1所成角的余弦值为（）
C』
5
11•若x=-2是函数f（x）=（x2+ax—1）ex」'的极值点，贝Uf（x）的极小值为（）
16.已知F是抛物线C:
y2=8x的焦点，\、I是C上一点，F\、I的延长线交y轴于点、•若II
n1
15.等差数列：
aj的前n项和为Sn,a^3,S4-10，则
心Sk
为FN的中点，贝UFN
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题,
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）
2b
ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin（AC）=8sin2巴•
2
（1）求cosB
⑵若a^6,ABC面积为2,求b.
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个
网箱，测量各箱水产品的产量（单位：
kg）某频率直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：
旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量v50kg
箱产量＞50kg
旧养殖法
新养殖法
n（ad-be）2
（ab）（ed）（ae）（bd）
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P（错误！
未找到引用源。
）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
2
19.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，
1
AB二BCAD,BAD二ABC=90°,E是PD的中点.
2
（1）证明：
直线CE//平面PAB
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45°，求二面角M-AB-D的
余弦值
设O为坐标原点，动点
2
w
M在椭圆C:
y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N,点P
2
20.
（12分）
满足NP=.2nM.
（1）求点P的轨迹方程；
T—*
⑵设点Q在直线x=-3上，且OP-PQ=1.证明：
过点P且垂直于0Q的直线I过C的左焦
点F.
21.（12分）
已知函数f（x）二ax3-ax-xlnx,且f（x）一0.
（1）求a；
（2）证明：
f（x）存在唯一的极大值点x0，且e，：
：
：
f（x0）：
：
：
2二
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，按所做的第一题计分。
22.［选修4-4:
坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为「cost-4.
（1）M为曲线G上的动点，点P在线段OM上，且满足|OMI・|OP|=16,求点P的轨迹C2
的直角坐标方程;
n
（2）设点A的极坐标为（2,），点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值.
3
23.［选修4-5:
不等式选讲］（10分）
已知a0,b0,a3b^2，证明:
（1）（ab）（a3b3）-4；
（2）ab-2.
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案
、选择题
7.D8.B
9.A
10.C11.A
12.B
二、填空题
13.1.96
14.1
15.
2nn1
1.D2.C3.B4.B
5.A
6.D
三、解答题
16.6
17.解:
sinB=4（1-cosB）
2
上式两边平方，整理得17cosB-32cosB+15=0
由余弦定理及
-2accosB
.222
bac
2
（a+c）-2ac（1-cosB）
17x15=36-2
（1）
所以b=2
（1）记B
表示事件旧养殖法的箱产量低于
50kg”，C表示事件新养殖法的箱产量不低
18•解:
于50kg
由题意知
PAl=PBCPBPC
旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
（0.0400.0340.0240.0140.012）5=0.62
故PB的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为
（0.0680.0460.0100.0085=0.66
故PC的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值为0.620.66=0.4092
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量＜50kg
箱产量＞50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
2
22006266-3438
K15.705
100X100X96104
由于15.7056.635
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为
0.0040.0200.0445=0.34:
:
:
0.5,
箱产量低于55kg的直方图面积为
0.0040.0200.044+0.0685=0.680.5
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
0.5-0.34-/、
50+~52.35（kg）•
0.068
19.解:
（1）取PA中点F，连结EF,BF.
1因为E为PD的中点，所以EFLAD,EF=AD,由.BAD=/ABC=90得BC//AD,
2
1
又BCAD
2
所以EF/BC•四边形BCEF为平行四边形，CE/BF.
又BF平面PAB,CE二平面PAB，故CE//平面PAB
（2）
由已知得BA_AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如
图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
则A（0,0,0），B（1,0，0），C（1，1，0），P（0，1，3），
PC=（1,0,.3）,AB=（1,0,0）则
BM（x-1,y，z）,PM（x，y—1,z—.3）
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n=（0,0,1）是底面ABCD的法向量，所
cos（BM,n/=sin45°,
（x-1）2y2z22
即（x-1）2+y2-z2=0
又M在棱PC上，设PM=PC,则
所以可取m=（0,
-6，2）•于是cos:
m,n
mn
mn
~5~
因此二面角M-AB-D的余弦值为
5
20.解
（1）设P（x,y）,M（x°,y0）,设N（x°,0）,NP=x-x°,y,NM二0,y°
由NP=得x^x,y0=#y
22
因为M（x0,y0）在C上，所以If-1
的法向量，则
设m=X）,y0,z0是平面ABM
因此点P的轨迹方程为x2寸=2
（2）由题意知F（-1,0）•设Q（-3，t）,P（m,n）,则
OQ|_PF=33m-tn，
—fT
OQ=：
［-3,t,PFh［「1-m,-n
OP=m,n,PQ=_3—m,t-n,
由OPLPQ=1得-3m—m2亠tn—n2=1，又由
（1）知m2+n2=2，故3+3m-tn=0
P且垂直于
所以OQLPF=0，即OQ_PF•又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点
OQ的直线I过C的左焦点F.
21.解:
（1）fx的定义域为0,+：
：
设gx=ax-a-lnx，贝Ufx=xgx,fx]■■-0等价于gx〕：
：
：
0
1
因为g1=0,gx_0,故g'1=0,而g'xj=a,g'1=a-1,得a=1x
1、
若a=1，则gx=1--.当01时，g'x>0,
x
gx单调递增.所以x=1是gx的极小值点，故gx]：
：
：
g1=0
综上，a=1
设hx=2x_2_Inx,则h'（x）当x•吩时，h'xv0；当x
亠丄
x
--,+:
:
2
时，h'x>0,所以hx在10,1单调递减,
在!
+:
:
2
口2仟）
又he2>0,h|<0,h1=0,
单调递增
点1,且当x三[0,x0时，hx>0;当
所以hx在10,-1有唯一零点x°,在?
+：
:
有唯一零
x三ix0,1时，hx<0，当x三\+：
：
时，hx>0.
因为f'x二hx，所以X=X0是f（x）的唯一极大值点
由f'Xoi；=0得InXo-1）,故fx0=Xo（1—Xo）
1
由X。
•0,1得f'x。
<4
因为x=X0是f（x）在（0,1）的最大值点，由e亠0,1,f'eA=0得
fX0>fe1二
所以e*22.解:
（1）设P的极坐标为「，」W>0,M的极坐标为J,「1'：
1>0，由题设知
OP二P,OM
「二一
1cos-
由OM[OP]=16得C2的极坐标方程P=4cosT（P>0
22
因此C2的直角坐标方程为x-2y=4x=0
（2）设点B的极坐标为iI，*ii卜B>0，由题设知
OA=2,Pb=4cosot，于是△OAB面积
1
=4cos:
S=*OA話in.AOB
2
sin2ct-
3Tr
I
-"2"
sin
3J
<2G
ji
a-—
二巨时，s取得最大值2+
所以△OAB面积的最大值为
23•解:
aba
6,5
aab
5,6
abb
（1）
a3b3-2a3b3abab4
（2）因为
3a2b3ab2b3
二23aba+b
3
3a+b
2
3（a+b）
乞2+a+b=2
44
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