第10讲巧解定义新运算.docx
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第10讲巧解定义新运算
第10讲
巧解定义新运算
巧点晴——方法和技巧
（1）定义析运算是指用新的符号所定义的运算。
解题时需要按它所规定的“运算”进行运算，直到得出最后结果。
（2）运算符号所表示的运算并不是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按照题中规定进行运算。
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
【例1】a，b表示整数（不包括0），规定（*）的运算如下，并请求出169*13。
a*b=a÷b×2＋3×a－b
分析与解在计算之前，先让我们弄清“*”是怎样一种运算程序。
按规定，a*b表示a除以b的商乘以2之后，再加上a的3倍，最后减去b。
这些运算有两个特点：
（1）各步运算都是大家熟悉的四则运算；
（2）各步运算的先后次序要按规定顺序办。
根据（*）的规定，得
169*3=169÷13×2＋3×169－13
做一做1对开正整数a，b规定（*）的运算如下：
a*b=3×a＋2×b－2
求：
（1）10*20
（2）20*10
【例2】用｛a｝表示a的小数部分，[a]表示不超过a的最大数，例如{0.3}=0.3，[0.3]=0，[4.5]=4。
记f（χ）=
请计算f（
），[f（
）];{f
（1）},[f
（1）的值]。
解f（
）=
=1.4，f（
）={1.4}=0.4，[f（
）]=[1.4]=1。
f
（1）=
=1，{f
（1）}={1}=0，[f
（1）]=[1]=1
做一做2如果规定=a×d－b×c，那么=。
【例3】对于整数a，b规定（*）的运算如下：
a*b=a×b－a－b＋1
已知（2*a）=0，求a。
分析与解先算2*a，按规定
2*a=2×a－2－a＋1=a－1
根据2*a=a－1，再算（a－1）*2得
（a－1）*2=（a－1）×2－（a－1）－2＋1=a－1－1=a－2
因为（2*a）*2=0，也就是a－2=0，所以a=2。
做一做3a*b表示a的3倍减去b的2倍，即a*b=3a－3b。
（1）计算（5*4）*3
（2）χ*（4*χ）=11，求χ
B级培优竞赛·更上层楼
【例4】“◎”表示一种新的运算符号，已知：
2◎3=2+3+4；7◎2=7+8；3◎5=3+4+5+6+7；…
按此规则，如果n◎8=68，那么，n是多少？
分析与解从已知条件可归纳出◎的运算规则：
◎表示几个连续自然数之和，◎前面的数表示第一个加数，◎后面的数表示加数的个数。
于是可知：
n=[68÷4－（8－1）]÷2=5。
做一做4规定：
6*2=6+66=72
2*3=2+22+222=246
1*4=1+11+111+1111=1234
按此规则，如果χ*5=86=86415，那么，χ是多少？
按此原则，如果χ*5=86415，那么，χ是多少？
【例5】设“*‘的运算规则如下：
对任意整数a，b，若a+b≥10，则a*b=2a+b－1；若a＋b＜10，则a*b=2ab。
上述规则也可以简写为
2a+b-1，a+b≥10
a*b=
2ab，a+b＜10
求（1*2）+（2*3）+（3*4）+（4*5）＋（5*6）+（6*7）+（7*8）+（8*90）+（9*10）。
分析与解把1*2，2*3，3*4，…9*10分别算出来，再把结果相加。
对于1*2，2*3，3*4，4*5，加为满足：
“a+b＜10”，所以，按“a*b=2ab”计算，得
1*2=2×1×2=42*3=2×2×3=12
3*4=2×3×4=244*5=2×4×5=40
对于5*6，6*7，7*8，8*9，9*10，因为满足“a+b≥10”，
所以，按“a*b=2a+b－1”计算，得
5*6=2×5＋6－1=156*7=2×6＋7－1=18
7*8=2×7＋8－1=218*9=2×8＋9－1=24
9*10=2×9＋10－1=27
综上所述得
（1*2）+（2*3）+（3*4）+（4*5）=（5*6）+（6*7）+（7*8）+（8*90）+（9*10）=4＋12＋24＋15＋18＋24＋27=185。
做一做5对于任意正整数a，b，定义运算#如下：
如果同为奇数或同为偶数，则
a#b=（a+b）÷2
如果a，b的奇偶性不同，则
a#b=（a+b+1）÷2
求（1993#1994）#（1994#1995）#…#（1999#2000）。
【例6】任给一个数a，我们用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[7.9]=7等。
则
2+[1.0001]3+[2.0001]4+[3.0003]1990+[1989.1989
+++…+
2341990
分析与解由取整运算的规定可知，[1.0001]=1，[2.0002]=2，…
[1989.1989]=1989。
因此，
原式=[1+
]+[1+
]+[1+
]+…[1+
]=1+1+1+…+1=1898
做一做6用整数4代替3.56，4与3.56的差0.44称为（误差）；用整数3代替3.56，“误差”是3.56－3=0.56。
下面五个数：
2.48，2.53，2.61，2.67，2.71，它们的和为13。
现在用五个数分别代替这五个数，要使五个数之和仍为13，并且使“误差”尽可能小，问：
这五个数“误差”之和是多少？
C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军
【例7】有一个人将0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数和用三个点一条线或两个点两条线的密码表示。
例如，“7”的密码是“—··—”等。
有一次别人得知他用密码发出了不大于9的自然数的平方数，并抄录得密码如下：
①···—·—·—②——···—·—·③——·····—
④··—···——⑤·—·——···⑥—···—·—·
⑦——··—···⑧·——····—⑨·—···—·—
其中左边的①，②，…是行的序号，左边电码表示十位上的数字，右边电码表示个位上的数字。
请你破译这组密码，并用密码锁写出8961来。
分析与解1～9这9个数的平方树依次为
01，04，09，16，25，36，49，64，81
个位树中有两个1、两个4、两个9、两个6、两个5，十位数中有三个0，但无5，7，9，且各不相同。
从②，③，⑦行左可知“——··”代表0，易知④右“··——”为5，“··—·”为2。
根据01，04，09中，1，4在左边还有出现，而9在左边不再出现，知②右“—·—·”没有在左边出现，所以“—·—·”为9，即②为09。
于是⑥为49，“—···”为4。
⑦是04，③是01，“···—”是1。
①是16，“·—·—”是6。
⑧是81，“·——·”是8。
⑤是64，⑨是36，“·—··”是3。
因此8961的密码表示应为下图所示：
·——·
—·—·
·—·—
···—
做一做7有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。
装置A：
将输入的数加上5；装置B：
将输入人的数除以2；装置C；将输入的数减去4；装置D：
将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B,输入1后，经过AB，输出3。
（1）输入9，经过A·B·C·D,输出几？
（2）经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？
（3）输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？
巧练习——温故知新（十）
A级基础点睛
1.如果2△3=2+3+4=9,5△4=5+6+7+8=26,按此规则计算：
（1）7△4；
（2）1△χ=15；（3）χ△3=12。
2.令A*B=3×A＋4×B,试计算：
（1）（4*5）*6；
（2）（1*5）+（2*4）
3、规定“*”为一种运算，它满足a*b=ab÷（a+b）,那么，1992*（1992*1992）的值是多少？
4.已知1△3=1×2×3，6△5=6×7×8×9×10，求2△5。
5．规定3□4=3+4+5+6，6□5=6+7+8+9+10。
若95□χ=585，求χ。
B级更上层楼
6.观察5*2=5+55=60，7*4=7+77+777+7777=8638，推知9*5的值是
。
7.设a*b表示
8.对任意正整数a,b,规定a*b=a÷b×2+3。
若256*a=19,求a的值。
9.假设一种运算符号“*”，χ*у表示把χ和у加起来被4除，即χ*у=（χ+у）÷4。
（1）求13*17的值；
（2）求2*（3*5）的值；（3）求a*16=10中a的值。
10.规定χ△у=Aχу,χ△у=（χ+у）÷2,且（1△3）△3=1△（3▽
3），求（1△3）▽3。
C级勇夺冠军
11.对于两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差记为△。
已知6△χ=27，求χ的值。
12.两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a▽b。
已知（19▽χ）19=5，而χ小于50，求χ。
13．对于任意正整数a，b，定义运算×如下：
如果a，b同为奇数或同为偶数，那么a×b=（a÷b）÷2；如果a，b的奇偶性不同，那么a×
b=（a+b+1）÷2。
求：
（1）（1993×1994）×（1994×1995）×…×（1999×2000）;
（2）1993×1995×1997×1999×2001。
14.对任意整数a，b，规定a△b=2a+b，若有a△2a△3a△4a△5a△6a△7a△8a△9a=3039,求整数a。
巧总结
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