十六、光的衍射.pptx

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光的衍射,复习框光的图衍射现象，进一步证实了光的波动性。

研究衍射现象的理论基础是惠更斯菲涅耳原理。

这一原理的核心可概括为“子波相干叠加”，以此为出发点，着重讨论夫琅和费单缝衍射现象的特点和单缝衍射的处理问题方法半波带法，从而得到单缝衍射明暗条纹的条件是取决于边缘光线的最大光程差。

在单缝基础上进一步研究了光栅衍射图象的特点及其成因，得出了具有实际意义的光射衍射公式。

本节主要内容和各部分之间的关系可用下页方框图表示。

光的衍射现象,惠更斯菲涅耳原理,菲涅耳衍射,夫琅和费衍射,单缝衍射,光栅衍射,缺级：

为光栅衍射级数,为光栅衍射级数,光学仪器的分辨本领,圆孔衍射,X射线衍射布拉格方程,基本概,念1.光的衍射现象,当光在传播途径中遇到某种障碍物或狭缝时，光的传播方向发生改变，可以绕到障碍物的后方，这种现象称为光的衍射现象。

衍射程度决定于阻碍物的大小（或狭缝的宽度）与光波长的比值，这个比值越小，衍射越显著。

2.惠更斯菲涅耳原理惠更斯菲涅耳原理是研究衍射现象的理论基础，它是菲涅耳用子波相干的思想补充了惠更斯原理。

惠更斯菲涅耳原理的表述：

任意波阵面S上的任一面积元ds都是一个子波源，它们发射的子波传向空间某一点P，点P的光振动就是整个波阵面上所有面积元发出的子波在点P相干叠加的结果。

菲涅耳衍射积分公式其中为分部函数，r为光程。

3.衍射现象的分类通常分为菲涅耳衍射和夫琅和费衍射两类。

夫琅和菲衍射是假定入射光是平行光，用来观察衍射图样的屏幕距离障碍物很远，这时射向屏幕上某点的光可以认为是平行的。

菲涅耳衍射是指光源，障碍物和屏幕三者之中有两者之间的距离为有限远，通常也叫做近场衍射，而夫琅和费衍射也叫做远场衍射。

日常生活中菲涅耳衍射较为常见，实验室中夫琅和费衍射较为常见，这里只讨论夫琅和费衍射。

特别强调干涉是有限多束光（分离的）的相干叠加，衍射是阵面上无限多子波连续的相干叠加。

这种计算对于菲涅耳衍射相当复杂，而对于夫琅和费衍射则比较简单，只要讨论夫琅和费衍射。

4.夫琅和费衍射

（1）单缝衍射用半波带法处理衍射问题，可以避免复杂的计算。

缺点是精确度不够。

把单缝处的波面分割成等宽的平行窄带，使分得的相邻两条窄带上的对应点发出的沿方向的子波光线的光程差为，则这样分得的窄带称为半波带。

提醒注意，分割的是波面。

单色光垂直入射，当单缝恰好被分成了偶数个半波带，即单缝上下边缘衍射角为的两条子波光线的光程差等于半波长的偶数倍。

在该点出现光强极小。

衍射暗纹中心位置：

当单缝恰好被分成奇数个半波带，等于半波长的奇数倍。

此方向上偶数个半波带相干抵消，剩下一个半波带未被抵消，在该点产生”次最大“。

可见，波面被分成的半波带数越多，每个半波带的面积就越小，,角越大，”次最大,对该点光强贡献也就越小。

所以“也就越小。

衍射亮纹中心位置,波阵面上各子波的光线到达为零处的光程相同，即光程差为零，则合振动在该点产生”主极大“。

中央主极大中心位置。

衍射条纹：

平行于单缝的一组直条纹，中央明文最亮，而且宽度是其他明文的两倍。

中央明文的角宽度光强分布

（2）圆孔衍射第一级暗环的位置D为圆孔的直径夫琅和费圆孔衍射图样，中心是一个很亮的圆盘，为衍射中央极大，称为爱里斑。

爱里斑的半角宽度,（3）瑞利判据如果一个像点的爱里斑的中心刚好与另一像点衍射图样的第一级暗纹相重合，就认为这两个物点恰好能为这一光学仪器所分辨最小分辨角：

分辨率：

其中D为圆孔之间，为入射光的波长。

可见越小（如电子显微镜）D越大（如天文望远镜）分辨率越大。

（4）光栅衍射：

光栅常数：

在可见光范围内，d一般在之间。

光栅上的每一条缝的单缝衍射在角方向上P点产生一个光振动，N条缝在P点产生的N个光振动的振幅相同，它们的相干叠加决定P点的光强。

光栅衍射是单缝衍射合多缝干涉的总效果。

光栅方程：

其中为衍射角，k为多缝干涉主极大级数。

时，,亮纹（主极大）中心位置满足光栅方程中为中央暗纹中心。

其他亮纹（主极大）中心位置满足多缝干涉的干涉的光栅方程,不满足单缝衍射暗纹条件为单缝衍射暗纹级数上面两式同时满足，才会出现主极大。

上面两式中只需满足一个便是暗纹。

缺级现象即满足多缝间主极大条件（光栅方程）式，又满足单缝衍射极小条件的位置式，将不出现明暗纹，称为缺级，缺级条件为所缺级数为为正整数时说明：

两个主极大之间还有（N2）个次极大，利用半波带法时，这些次极大都作为暗纹处理。

其中N为光栅缝数。

暗条纹位置,衍射条纹：

从以上亮暗纹条件可看出，满足暗纹条件的机会多，在黑暗背景上呈现条纹亮度大，宽度窄，分得很开的平行直条纹。

谱线强度受单缝衍射光强分布曲线调制，光栅缝数越多，谱线越细、越亮。

5.X射线衍射晶体的晶格常数d与X光的波长同数量（0.0011nm）。

把晶体作为X光的三维空间光栅。

晶体的每一个格点都称为相干波源。

不同晶面干涉有极大条件为上式称为布喇格公式，其中d为晶面间距。

平行光垂直照射到每毫米500条刻缝的光栅上，用焦距f为1m的透镜观察夫琅和费衍射光谱，在第二级光谱中波长为600nm和600.01nm的两条谱线间的线间距l=mm，为了分辨着两条谱线，光栅的宽度至少应为mm。

解：

波长差为=0.01nm的两条谱线的线间距为l，由l=ftan得,例2：

一束单色光自远处射来，垂直投射到宽度,的狭缝后，射在距缝的屏上。

距中央明纹中心距离为x=1.40mm处是明条纹。

求：

入射光的波长；x=1.40mm处的条纹级数k；根据所求的条纹级数k，计算出此光波在狭缝处的波阵面可作半波带的数目。

解：

单缝明纹公式为,因aD，故,即,，得,，,由可见光范围k取整数，故,为橙色光，半波带数2k1=7条；,为青色光，半波带数2k1=9条。

例3：

一单色平行光垂直入射一单缝，其衍射第3级明纹位置恰与波长为600nm的单色光垂直入射该缝时衍射的第2级明纹位置重合，试求该单色光波长。

解：

明纹中心：

故,例4：

用肉眼观察星体时，星光通过瞳孔衍射在视网膜上,形成一个小亮斑。

瞳孔最大直径为7.0mm，入射光波长为550nm。

星体在视网膜上的像的角宽度多大？

瞳孔到视网膜的距离为23nm。

视网膜上星体的像的直径多大？

视网膜中央小凹（直径0.25mm）中的柱状感光细胞每平方毫米约个。

星体的亮照亮了几个这样的细胞？

解：

此题为圆孔衍射（见图）,，个,例5：

有一种利用太阳能的设想是在,的高空,放置一块大的太阳能电池板，把它收集到的太阳能用微波形式传回地球。

设所用微波波长为10cm，而发射微波的抛物天线的直径为1.5km。

此天线发射的微波的中央波束的角宽度是多少？

在地球表面它所覆盖的面积的直径多大？

解：

如图所示，按几何光学，抛物天线射出平行“光”束；按波动光学，这等效于一平行“光”束射入圆孔，再进行单孔衍射。

例6：

可以证明，一个不透光颗粒和一个同样半径的圆孔,产生的衍射条纹一样，而且许多这种不透光颗粒杂乱分布（例如大气中微小水滴的分布）时，干涉效应将消失而衍射图样就和一个小颗粒的衍射图样一样。

解释为什么在有雾的夜晚可以看到月亮周围有一个光圈，而且这光圈外圈常发红色光。

月亮的视角约。

如果其周围的光圈的直径是月球角直径的5倍，求大气中水球的直径约多大？

紫光波长按450nm计。

解：

水珠等效于圆孔，如图所示，月亮上下沿在视网膜上的投影点分别为，月球角直径为。

月下,沿光点的光经水珠W衍射，中央斑半角宽为，即。

光圈角半径为,MW,依题意有如下关系：

，,而,，,，,圆孔衍射时，有，如果光圈是仅由紫光形成的，则,如果光圈是仅由红光形成的，则,实际上光是白色的，我们看到的光圈是由紫到红的连续光谱产生的，若取平均值，则如果水珠（尘埃）的大小均匀，我们就可以看到彩色光圈。

由公式可知，短波对应的小，长波对应的大，故光圈中内环呈紫色，外环呈红色。

例7：

据说间谍卫星上的照相机能清楚识别地面上汽车的,牌照号码。

如果需要识别的牌照上的字划间的距离为5cm，在160km高空的卫星上的照相机的角分辨率应多大？

此照相机的孔径需要多大？

光的波长按500nm计。

解：

装置的光路如下图所示

（1）角分辨率即最小分辨角：

（2）,，,例8：

一双缝，缝间距d=0.10mm,缝宽a=0.02mm,用波长,的平行单色光垂直入射该双缝，双缝后放一焦距为50cm的透镜，试求：

透镜焦平面处的屏上干涉条纹的间距；单缝衍射中央亮纹的宽度；单缝衍射的中央包线内有多少条干涉的主极大。

解：

（1）双缝干涉中，相邻两明纹间距为,

（2）单缝衍射中，中央明纹宽度为,（3）中央包线内干涉的主极大数为,条,例9：

一光栅每厘米有3000条缝，用波长为555nm的单色,光以角斜入射，问在屏的中心位置是光栅光谱的几级谱。

解：

如图所示，斜入射时，有附加的光程差，光栅方程为屏中心，则,因,时,，当,时对应的是-k,所以,，,向上斜射，原点（屏中心）对应-3级，向下斜射，屏中心对应+3级。

例10：

波长为600nm的单色光垂直入射到一光栅上，第2,与处，,3级明条纹分别出现在第4级缺级。

试求：

光栅常量；光栅上狭缝宽度；屏上实际呈现的全部级数。

解：

（1）由,得，,

（2）根据缺级条件,。

令,，则,（3）因,，而最大值，所以,即4，8级缺级，10级在无穷远处。

例11：

在导出布拉格公式的实验中，若,，入射的,X射线包含有从0.095nm到0.130nm这一波带中的各种波长。

已知晶格常数d=0.275nm,问是否会有加强的衍射X射线产生？

如果有，这种X射线的波长如何？

解：

由相邻两个晶面反射，推导出的布拉格公式为,，,例12：

1927年由戴维孙和革末用电子束射到镍晶体上的,衍射（散射）实验证实了电子的波动性。

实验中电子束垂直入射到晶面上。

他们在的方向测得了衍射电子流的极大强度（见图）。

已知晶面上原子间距为d=0.215nm，求与入射电子束相对应的电子波波长。

解：

此实验相当于反射光栅实验，有,，,，,13、单缝衍射中的明纹条件为，在观察点P确定（即确定）后，由于k只能取整数值，故满足上式的只可取若干不连续的值，对照可见光的波长范围可确定入射光波长的取值。

此外，如点P处的明纹级次为k，则狭缝处的波阵面可以划分的半波带数目为（2kl），它们都与观察点P有关，越大，可以划分的半波带数目也越大。

解：

（l）透镜到屏的距离为d，由于db，对点P而言，有。

根据单缝衍射明纹条件,有将b、d（df）、x的值代入，并考虑可见光波长的上、下限值，有时，时，,因k只能取整数值，故在可见光范围内只允许有k=4和k=3，它们所对应的入射光波长分别为=466.7nm和=600nm。

点P的条纹级次随入射光波长而异，当=600nm时，k=3；当=466.7nm时，k=4。

当1=600nm时，k=3，半波带数目为（2kl）=7；当2=466.7nm时，k=4，半波带数目为9。

例题14单缝的宽度b=0.40mm，以波长=589nm的单色光垂直照射，设透镜的焦距f=1.0m。

求：

第一级暗纹距中心的距离；第二级明纹距中心的距离；（3）如单色光以入射角i=30o斜射到单缝上，则上述结果有何变动。

题14分析：

对于问题（3）单色光倾斜入射单缝的情况，在入射光到达单缝时，其上下两列边界光线之间已存在光程,差（若为光栅，则为中央主极大将移至点O（此时,），对应等光程的），屏上衍,射条纹原有的对称性受到一定的破坏如图所示，对于点O上方的条纹（此时入射光与衍射光位于法线两侧，且i），满足,如令，可求得最大条纹级次km1。

对于点O下方的条纹（此时入射光与衍射光位于法线同侧），满足,如令,，可求得另一侧的最大条纹级次km2。

对于点O与O之间的条纹（此时入射光与衍射光位于法线两侧，但i），满足,需要说明的是，点O与O之间的条纹与点O下方的条纹属于中央主极大同一侧的各级条纹，不同的是前者k值较小，后者k值较大，且k值在点O附近连续变化。

例题15一单色平行光垂直照射于一单缝，