全等三角形几种类型总结.docx
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全等三角形几种类型总结
全等三角形与角均分线
全等图形：
可以完好重合的两个图形就是全等图形．
全等多边形：
可以完好重合的多边形就是全等多边形．
互相重合的极点叫做对应极点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．
全等多边形的对应边、对应角分别相等．
以以下列图，两个全等的五边形，记作：
五边形
ABCDE≌五边形A'B'C'D'E'．
这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”
．
A
A'
E
E'
B
D
B'
D'
C
C'
全等三角形：
可以完好重合的三角形就是全等三角形．
全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；
反之，若是两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．
全等三角形对应的中线、高线、角均分线及周长面积均相等．
全等三角形的看法与表示：
可以完好重合的两个三角形叫作全等三角形．可以互相重合的极点、边、
角分别叫作对应极点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．
全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角均分线相等，面积相等．
搜寻对应边和对应角，常用到以下方法：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
（3）有公共边的，公共边常是对应边．
（4）有公共角的，公共角常是对应角．
（5）有对顶角的，对顶角常是对应角．
全等三角形的判断方法：
（1）边角边定理（SAS）：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
（2）角边角定理（ASA）：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
（3）边边边定理（SSS）：
三边对应相等的两个三角形全等．
（4）角角边定理（AAS）：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）斜边、直角边定理（HL）：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
判断三角形全等的基本思路：
找夹角SAS
已知两边找直角HL
找另一边SSS
边为角的对边→找任意一角→AAS
找这条边上的另一角→ASA
已知一边一角
边就是角的一条边找这条边上的对角→AAS
找该角的另一边→SAS
找两角的夹边ASA
已知两角
找任意一边AAS
全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：
⑴平移全等型
⑵对称全等型
⑶旋转全等型
由全等可获取的相关定理：
⑴角的均分线上的点到这个角的两边的距离相等．
⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的均分线上．
⑶等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等（即等边同等角）．
⑷等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．
⑸等腰三角形的判判定理若是一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹线段垂直
均分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
⑺和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直均分线上．
与角均分线相关的问题
角均分线的两个性质：
⑴角均分线上的点到角的两边的距离相等；
⑵到角的两边距离相等的点在角的均分线上．
它们拥有互逆性．
角均分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有以下三种作辅助线的方式：
1．由角均分线上的一点向角的两边作垂线，
2．过角均分线上的一点作角均分线的垂线，从而形成等腰三角形，
3．OAOB，这种对称的图形应用得也较为宽泛，
AAA
OPOPOP
BBB
三角形中线的定义：
三角形极点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理：
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角均分线、底边的高重合）
三角形中位线定义：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判判定理：
经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必均分第三边．
中线中位线相关问题（涉及中点的问题）
见到中线（中点），我们可以联想的内容可是是倍长中线以及中位线定理（今后还要学习中线长公式），尤
其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常有．
例题精讲
板块一、全等三角形的认识与性质
【例1】在AB、AC上各取一点E、D，使AEAD，连接BD、CE订交于O再连接AO、BC，
若12，则图中全等三角形共有哪几对？
并简单说明原由．
B
E
A
1
O
2
D
C
【牢固】以下列图，ABAD，BCDC，E、F在AC上，AC与BD订交于P．图中有几对全等三角形？
请一一找出来，并简述全等的原由．
B
AC
EPF
D
板块二、三角形全等的判断与应用
【例2】（2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试）如图，AC∥DE，BC∥EF，ACDE．求证：
AFBD．
E
A
F
D
B
C
【例3】（2008年宜宾市）已知：
如图，ADBC，ACBD，求证：
CD．
DC
O
AB
【牢固】如图，AC、BD订交于O点，且ACBD，ABCD，求证：
OAOD．
D
C
AO
B
【例4】
（哈尔滨市2008
年初中升学考试）已知：
如图，
B
、
、
、四点在同一条直线上，
ABDC
，
E
F
C
BECF，B
C．求证：
OAOD．
A
D
O
BEFC
【例5】已知，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：
BFCE．
A
EF
BC
【例6】
E、F分别是正方形
ABCD的BC、CD边上的点，且BECF．求证：
AE
BF．
A
D
F
P
B
C
E
【牢固】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF．求证：
BGCFBC．
AD
G
F
C
BE
【例7】在凸五边形中，BE，CD，BCDE，M为CD中点．求证：
AMCD．
A
BE
CMD
板块三、截长补短类
【例1】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN
60，
射线MN与∠DBA外角的均分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?
D
N
AMBE
【牢固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与∠ABC外角的均分线交于
点N，MD与MN有怎样的数量关系？
DC
N
AMBE
【例2】如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB
的长为（）
A.a
B.k
k
h
C.
D.h
2
D
C
AMB
【例3】已知：
如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：
BE+DF=AE.
AD
F
BC
E
【例4】以下列图，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120o的等腰三角形，以D为极点
作一个60o的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．
A
N
M
BC
D
【例5】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：
AD均分∠CDE
A
BE
CD
板块四、与角均分线相关的全等问题
【例1】如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别均分ABC和ACB，ODBC于D，且OD3，求ABC的面积．
A
O
B
D
C
【例2】在
ABC中，D为BC边上的点，已知
BADCAD，
BD
CD，求证：
ABAC．
A
B
DC
【例3】已知ABC中，ABAC，BE、CD分别是ABC及ACB均分线．求证：
CDBE．
A
DE
BC
【例4】已知ABC中，A60o，BD、CE分别均分
ABC和
ACB，BD、CE交于点O，试判
断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．
A
E
D
O
B
C
【例5】如图，已知E是AC上的一点，又12，34．求证：
EDEB．
D
1
A
C
3
4
E
2B
【例6】（“希望杯”竞赛试题）长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角均分线交BC于点E，
EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．
AD
F
BEC
【例7】以下列图，已知
ABC
中，
AD
均分
，
、分别在
、
上．
，
AC
．求
BACE
F
BDAD
DE
CDEF
证：
EF∥AB
A
F
BEDC
【牢固】如图，在
ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点
F，
交AB
于点G，若BGCF，求证：
AD为
BAC的角均分线．
F
A
G
B
ED
C
【牢固】在
ABC中，AB
AC，AD是
BAC的均分线．P是AD上任意一点．求证：
ABACPB
PC．
A
P
BDC
【例8】如图，在ABC中，B2C，BAC的均分线AD交BC与D．求证：
ABBDAC．
A
BDC
【例9】以下列图，在
ABC中，AC
AB，M为BC的中点，AD是
BAC的均分线，若CFAD
1
．
且交AD的延长线于F，求证MFACAB
2
A
BDM
C
F
【牢固】以下列图，
AD是
ABC中
BAC的外角均分线，CD
AD于D，E是BC的中点，求证
DE∥AB
且DE
1
（ABAC）．
2
A
D
BEC
【牢固】以下列图，在ABC中，AD均分BAC，ADAB，CMAD于M，求证ABAC2AM．
A
BDC
M
【例10】如图，ABC中，ABAC，BD、CE分别为两底角的外角均分线，ADBD于D，AECE
于E．求证：
ADAE．
A
DE
GBCH
【牢固】已知：
AD和BE分别是△ABC的∠CAB和∠CBA的外角均分线，CD
AD，CE
BE，求
证：
⑴
DE∥AB；⑵
1
DEABBCCA．
2
C
DE
AB
【例11】在
ABC中，MB、NC分别是三角形的外角
ABE、
ACF
的角均分线，
AM
BM，
AN
CN垂足分别是M、N．求证：
MN∥BC，MN
1
AB
ACBC
2
A
M
N
E
B
C
F
【牢固】在
ABC
中，
、
分别是三角形的内角
ABC
、
ACB
的角均分线，
AM
，
MB
NC
BMANCN
1
AB
AC
BC
垂足分别是M、N．求证：
MN∥BC，MN
2
A
NM
BC
【牢固】（北京市中考模拟试题）如图，在四边形ABCD中，AC均分BAD，过C作CEAB于E，
并且AE1（ABAD），则ABCADC等于多少？
2
D
C
AEB
【例12】如图，A
D180，BE均分ABC，CE均分
BCD，点E在AD上．
①
商议线段
AB、CD和BC之间的等量关系．
②
商议线段
BE与CE之间的地址关系．
D
E
A
BC
版块一、倍长中线
【例1】已知：
ABC中，AM是中线．求证：
AM
1（ABAC）．
2
A
BMC
【牢固】（2002年通化市中考题）在ABC中，AB5,AC9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？
【例2】如图，ABC中，ABDACA
BDC
【例3】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，
AFEF，求证：
ACBE．
A
F
E
B
DC
【例4】已知△
BC于
ABC，∠G，求证
B=∠C，D，E分别是GD=GE．
AB及
AC
延长线上的一点，且
BD=CE，连接
DE
交底
A
D
C
BG
E
【例5】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的均分线分别交AB于E、交AC于F．求证：
BECFEF．
A
EF
BC
M
【例6】在RtABC中，EDFD．以线段
A90，点D为BC的中点，点E、F分别为
BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？
若能，
AB、AC上的点，且
该三角形是锐角三角形、
直角三角形或钝角三角形？
A
EF
BC
D
【牢固】以下列图，在
ABC中，
D是BC的中点，DM垂直于DN，若是BM2
CN2
DM2
DN2，
求证AD21
AB2
AC2
．
4
A
M
N
B
D
C
【例7】（2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组）在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别
在边CA、CB上，满足DFE90．若AD3，BE4，则线段DE的长度为_________．
A
DF
C
EB
版块二、中位线的应用
【例8】
AD是
ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交
AC于E．求证：
1
AEAC．
3
A
E
F
BDC
【例9】以下列图，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、
CD，求证CD2EC．
A
E
BC
D
【牢固】已知△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求
证CD=2CE
C
AEBD
【例10】已知：
ABCD是凸四边形，且AC∠GMN>∠GNM．
A
E
D
M
NG
BFC
【例11】在ABC中，ACB
90，AC
1
BCD，E是CD的中点，
BC，以BC为底作等腰直角
求证：
AEEB且AE
BE．
2
D
E
C
AB
【例12】如图，在五边形ABCDE中，ABCAED90，BACEAD，F为CD的中点．求证：
BFEF．
A
B
E
CFD
【例13】（“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题）以下列图，P是ABC内的一点，
PACPBC，过P作PMAC于M，PLBC于L，D为AB的中点，求证DMDL．
C
M
PL
ADB
【例14】（全国数学联合竞赛试题）以下列图，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点
E、F，使DEDF．过E、F分别作直线CA、CB的垂线，订交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：
（1）DEM≌FDN；
（2）PAEPBF．
C
D
B
AA
N
MM
EFE
PP
家庭作业
【习题1】如图，已知ACBD，ADAC，BCBD，求证：
ADBC．
AB
DC
【习题2】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求
证MN=MB+NC．
A
N
M
BC
D
【习题3】在△ABC中，AB3AC，BAC的均分线交BC于D，过B作BEAD，E为垂足，求
证：
ADDE．
A
C
D
BE
【习题4】如图，在ABC中，ABBDAC，BAC的均分线AD交BC与D．求证：
B2C．
A
BDC
【习题
5】如图，在等腰
ABC中，
AB
AC，
D是
BC
的中点，过
A作
AE
DE
，
AF
DF
，且
AE
AF．
求证：
EDB
FDC
．
A
E
F
B
D
C
【习题
6】如图，已知在
ABC中，
AD是
BC边上的中线，
E是
AD上一点，且
BE
AC，延长
BE交
AC于F，AF与EF相等吗？
为什么？
A
F
E
B
DC
【习题7】如右以下列图，在ABC中，若B2C，ADBC，E为BC边的中点．求证：
AB2DE．
A
BDEC
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