高一数学三角函数常见题型与解法1.docx
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高一数学三角函数常见题型与解法1
三角函数的题型和方法
、思想方法
1、三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：
特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
222222
sinx+2cosx=（sinx+cosx）+cosx=1+cosx；配凑角：
α=（α+
3）降次与升次。
即倍角公式降次与半角公式升次。
4）化弦（切）法。
将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）
5）引入辅助角。
asinθ+bcosθ=a2b2sin（θ+），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，
角的值由tan=b确定。
a
（6）万能代换法。
巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。
2
2、证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：
利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：
综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3、证明三角不等式的方法：
比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4、解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：
观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：
运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：
选择恰当的公式，促使差异的转化。
二、注意事项
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：
1、三角函数式化简的目标：
项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。
2、三角变换的一般思维与常用方法。
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如
1
（）（）212．也要注意题目中所给的各角之间的关系。
22
注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。
熟悉常数“1”的各种三角代换：
1sin2cos2sec2tan2cossecsincos0tan2sin等。
246注意万能公式的利弊：
它可将各三角函数都化为tan的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代
2
数运算比较繁。
熟悉公式的各种变形及公式的范围，如
简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化。
3、几个重要的三角变换：
sinαcosα可凑倍角公式；1±cosα可用升次公式；
4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数cotx的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．
5、三角函数的图像的掌握体现在：
把握图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图。
6、三角函数的奇偶性结论：
1函数y=sin（x＋φ）是奇函数kkZ。
2函数y=sin（x＋φ）是偶函数kkZ。
2
3函数y=cos（x＋φ）是奇函数kkZ。
2
4函数y=cos（x＋φ）是偶函数kkZ。
7、三角函数的单调性
三、典型例题与方法
题型一三角函数的概念及同角关系式
.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函
此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律数值符号的正确选取。
1、三角函数的六边形法则。
2、几个常用关系式：
1），三式知一求
2）1sin1sin。
2
（3）当x0,时，有sinxxtanx。
2
3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）。
4、
5、熟记关系式sinxcosxcosx；cosxsin
44444
例1】记cos（80）k,那么tan100
练习：
1、sin585°的值为（
2、下列关系式中正确的是（
4
3、若sin,tan0，则cos
5
5、若cos2sin5,则tan（
题型二化简求值这类题主要考查三角函数的变换。
解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值。
4k2<2<4k3（
sin2
又cos23<0,
5
sin24
tan2
cos23
tantan2
tan
（2）44
1tantan2
4
14
3
14
3
评注：
本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。
是一道综合性较强的题目。
2，求
（1）cossin；
（2）sin2sin.cos2cos2的值。
cossin
sin2cos2
sin2sincos2cos2sin2sincos2cos2
sin2sin
22coscos
21
sin21
cos2
，进行弦、切互化，就会使解题过程
练习：
1、已知
评注：
利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到）简化。
22
tan2，则sin2sincos2cos2
4
5
A、
B、
3
4
2、函数f（x）
sinxcosx最小值是（
1
A、-1
B、
2
3、“sin
1
”是“cos2
1”
2
2”
3
4
C、
D、
4
5
）
C、
1
D、1
2
的（
）
A、充分而不必要条件
C、充要条件
B、必要而不充分条件
D、既不充分也不必要条件
题型三函数
的图像及其性质
图像变换是三角函数的考察的重要内容，
解决此类问题的关键是理解A、的意义，特别是的判
定，以及伸缩变换对的影响。
5】为了得到函数ysin（2x）的图像
3
只需把函数ysin（2x）的图像（）
6
解：
A、向左平移个长度单位
4
C向左平移个长度单位
2
ysin（2x）=sin2（x），
612
sin（2x）=sin2（x），
36
将ysin（2x）的图像向右平移
6
、向右平移个长度单位
4
向右平移个长度单位
2
个长度单位得到ysin（2x）的图像，
43
故选B.
评注：
本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、
伸缩变换，特别是函数yAsin（x）中的
对函数图像变化的影响是历年考生的易错点，也是考试的重点。
例6】设>0,函数y=sin（x+）+2的图像向右平移
3
个单位后与原图像重合，则的最小值是
3
A、
B、
C、
D、3
4
解：
将y=sin（x+）+2的图像向右平移个单位后为
33
4
4
）
2
ysi
nx
[（
）si]nx（2
3
3
3
3
4
3k
=2k
即
3
2
又
0，
k≥1
故
3k
≥
3，
所以选C
2
2
评注：
本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。
【例7】函数f（x）（13tanx）cosx的最小正周期为（）
3
A、2B、C、D、
22答案】A
解析】由f（x）（13tanx）cosxcosx3sinx2sin（x）可得最小正周期为2,
6
【例8】函数y2cos2xsin2x的最小值是。
答案】12
解析】f（x）cos2xsin2x12sin（2x）1，所以最小值为：
12
4
【例9】若函数f（x）（13tanx）cosx，0x，则f（x）的最大值为（）
2
A、1B、2C、31D、32
答案】B
解析】因为f（x）（13tanx）cosx=cosx3sinx=2cos（x）
3当x是，函数取得最大值为2。
故选B。
3
练习：
1、将函数ysinx的图像向左平移（0<2）的单位后，得到函数ysin（x）的图像，则等
6
于（）
5
7
11
A、
B、C
、
D、、
6
6
6
6
2、若将函数
ytan（x）（0）的图像向右平移
个单位长度后，与函数ytan（x）的图像
6
重合，则
的最小值为（）
6
1111
A、B、C、D、
6432
3、将函数ysin2x的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位,所得图像的函数解析式是（）
4
22
A、ycos2xB、y2cosxC、y1sin（2x）D、y2sinx
4
4、已知函数f（x）sin（wx）（xR,w0）的最小正周期为，yf（x）的图像向左平移||个单
4
位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（）
3
A、B、C、D、
2848
5、已知函数f（x）sin（x）（xR,0）的最小正周期为，为了得到函数g（x）cosx的图像，
4
只要将yf（x）的图像（）
6、
7、
A、
C、
已知
向左平移个单位长度
8向左平移个单位长度
4
a是实数，则函数f（x）1asinax的图像不．可．能．
B、向右平移个单位长度
8
D、向右平移个单位长度
4
是（）
已知函数f（x）=Acos（x）的图象如图所示，
C、
2
2
A、
B、
，则f（0）=（
2
3
f
（2）
D、
8、函数yAsin（x）（A,,为常数，A0,0）
闭区间[,0]上的图像如图所示，则
10、已知函数f（x）2sin（x）的图像如图所示，则f7
12
11、已知函数f（x）sin（x）（0）的图像如图所示，则＝
2的两个相邻交点
12、已知函数f（x）3sinxcosx（0），yf（x）的图像与直线y
的距离等于
，则f（x）的单调递增区间是（
）
5
5
11
A、
[k,k],kZ
B、
[k
k
],kZ
1212
12
12
2
C、
[k,k],kZ
D、
[k
6,
k
23],kZ
13、如果函数
y3sin（2x）的图像关于点
4
（43,0）
中心
对称，
那么
||的最小值为
A、
B、C、
D、
6
4
3
2
14、已知函数f（x）sin（x）（xR），下面结论错．误．的是（）
2．．
A、函数f（x）的最小正周期为2
B、函数f（x）在区间[0,]上是增函数
C、函数f（x）的图像关于直线x＝0对称
D、函数f（x）是奇函数
3
15、若x，则函数ytan2xtan3x的最大值为
42
2
16、已知函数f（x）sin2x2sin2x
（1）求函数f（x）的最小正周期。
2）求函数
f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合。
17、已知函数
f（x）1sin2xsincos2xcos1sin（）（0），其图像过点
222
1
（6,2
Ⅰ）求的值；
1
Ⅱ）将函数yf（x）的图像上各点的横坐标缩短到原来的1，纵坐标不变，得到函数y
2
g（x）的图像，
求函数g（x）在[0,]上的最大值和最小值。
4
18、设函数f（x）cos（2x）sin2x。
1）求函数f（x）的最大值和最小正周期。
1c
2）设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB,f（）32
1
1,且C为锐角,求sinA。
4
19、设函数f（x）sin（）2cos
46
2x
21。
8
1）求f（x）的最小正周期。
2）若函数yg（x）与yf（x）的图像关于直线x1对称，
22
20、设函数f（x）（sinxcosx）22cos2x（0）的最小正周期为
4
求当x[0,]时yg（x）的最大值。
3
2
。
1）求的最小正周期。
2）若函数yg（x）的图像是由yf（x）的图像向右平移个单位长度得到，求yg（x）的单调增区2
间。
21、已知函数
fxacos2x23asinxcosx2ab的定义域为0，，值域为[－5，1]，求常
数a、b的值。
22、已知函数
123
y=cosx+sinx·cosx+1（x∈R）。
22
1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
2）该函数的图像可由y=sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
题型四三角函数与解三角形此类题主要考查在三角形中三角函数的利用.解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。
评注：
解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。
运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。
A25
3、在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA2255，ABAC3。
4、在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B3，cosA45,b3。
Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积．
I）求AB的值；（II）若ab21，求a、b、c的值。
2
6、设函数f（x）2sinxcos2cosxsinsinx（0）在x处取最小值。
2
（1）求的值；
ac，
7、设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a,b,c，cos（AC）cosB3，b22
例13】平面直角坐标系有点
题型五三角函数与平面向量
P（1,cosx）,Q（cosx,1）,x[,]。
44
2）求的最值。
2
cosxcosx（1cosx）cos
2cosx
cos2
1cosx
即f（x）
2cosx
1cos2x
（4x4）
2
2）cos21cosxcosx
又cosx
1
cosx
32
[2,2]，
cos[232,1]，
3
min0，
max
22arccos。
说明：
三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。
例14】已知向量m=（sinA,cosA）,n=（3,1），m·n＝1，且A为锐角。
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f（x）cos2x4cosAsinx（xR）的值域。
1
解：
（Ⅰ）由题意得mn3sinAcosA1,2sin（A）1,sin（A）.
662
由A为锐角得A,A
663
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA,
2
2123
所以f（x）cos2x2sinx12sin2x2sins2（sinx）2.
22
13
因为x∈R，所以sinx1,1，因此，当sinx时，f（x）有最大值。
22
当sinx1时，f（x）有最小值-3,所以所求函数f（x）的值域是3，3。
2
练习：
1、设向量a（4cos,sin）,b（sin,4cos）,c（cos,4sin）。
（1）若a与b2c垂直，求tan（）的值；
（2）求|bc|的最大值；
（3）若tantan16，求证：
a∥b。
2、已知向量a（sin,cos2sin）,b（1,2）.
（Ⅰ）若a//b，求tan的值；（Ⅱ）若|a||b|,0,求的值。
3、已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m（a,b），n（sinB,sinA），p（b2,a2）。
（1）若m//n，求证：
ΔABC为等腰三角形；
（2）若m⊥p，边长c=2，角C=，求ΔABC的面积。
3
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