高一数学三角函数常见题型与解法1.docx

1、高一数学三角函数常见题型与解法1三角函数的题型和方法、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。（ 1）常值代换：特别是用“ 1”的代换，如 1=cos2+sin2=tanx cotx=tan45 等。2 2 2 2 2 2sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x；配凑角： =( +3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）5）引入辅助角。 asin +bcos = a2 b2 sin（ + ），这里辅助角 所在象限由 a、b 的符号确定，角的值由 tan = b 确定。a（ 6）万能代换

2、法。巧用万能公式可将三角函数化成 tan 的有理式。22、证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦 函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4、解答三角高考题的策略。（ 1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析” 。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。二、注意事项对于三角函数进行恒等变

3、形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问 题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能 低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。2、三角变换的一般思维与常用方法。 注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如1（ ） （ ） 2 1 2 也要注意题目中所给的各角之间的关系。22注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。熟悉常数“ 1”的各种三角代换：1sin2 cos2 sec2 tan2 cos sec sin cos0 tan 2sin

4、 等。24 6 注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为 tan 的代数式，把三角式转化为代数式但往往代2数运算比较繁。熟悉公式的各种变形及公式的范围，如简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化。3、几个重要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式； 1cos 可用升次公式；4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数 cot x 的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些 相关问题5、三角函数的图像的掌握体现在：把握图像的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐 近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作

5、图的基本原理以及快速、准确地作图。6、三角函数的奇偶性结论：1函数 y = sin （x ）是奇函数 k k Z 。2函数 y = sin （ x）是偶函数 k k Z 。23函数 y =cos （x ） 是奇函数 k k Z 。24函数 y = cos （x ）是偶函数 k k Z 。7、三角函数的单调性三、典型例题与方法题型一 三角函数的概念及同角关系式.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律 数值符号的正确选取。1、三角函数的六边形法则。2、几个常用关系式：1) ，三式知一求2) 1 sin 1 sin 。2(3)当 x 0, 时，有 si

6、nx x tanx。23、诱导公式(奇变偶不变，符号看象限) 。4、5、熟记关系式 sin x cos x cos x ； cos x sin4 4 4 4 4例 1】记 cos( 80 ) k,那么 tan100练习：1、sin585的值为(2、下列关系式中正确的是(43、若 sin ,tan 0 ，则 cos55、 若cos 2sin 5,则 tan (题型二 化简求值 这类题主要考查三角函数的变换。解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、 倍角公式和诱导公式，进行化简、求值。4k 2 2 4k 3 (sin2又 cos2 3 0,函数 y=sin( x+ )+2 的图像

7、向右平移3个单位后与原图像重合，则 的最小值是3A、B、C、D、34解 ： 将 y=sin( x+ )+2 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 后 为3344)2y s inx() s i nx (2333343k=2k即32又0，k 1故3k3，所以选 C22评注： 本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活 掌握的程度。【例 7】函数 f (x) (1 3 tan x) cos x的最小正周期为( )3A 、 2 B、 C、 D 、22 答案】 A解析】由 f (x) (1 3 tan x)cos x cosx 3sinx 2sin( x )

8、 可得最小正周期为 2 ,6【例 8】函数 y 2cos2 x sin 2x 的最小值是 。答案】 1 2解析】 f(x) cos2x sin2x 1 2 sin(2 x ) 1 ，所以最小值为： 1 24【例 9】若函数 f (x) (1 3 tan x)cos x， 0 x ，则 f(x) 的最大值为( )2A 、1 B、 2 C、 3 1 D、 3 2答案】 B解析】因为 f (x) (1 3tan x)cos x=cosx 3sin x= 2cos( x )3 当 x 是，函数取得最大值为 2。 故选 B 。3练习：1、将函数 y sin x的图像向左平移 (0 2 ) 的单位后， 得

9、到函数 y sin(x ) 的图像，则 等6于( )5711A、B 、 C、D 、 、66662、若将函数y tan( x )( 0) 的图像向右平移个单位长度后，与函数 y tan( x ) 的图像6重合，则的最小值为( )61 1 1 1A 、 B、 C、 D 、6 4 3 23、将函数 y sin 2x的图像向左平移 个单位，再向上平移 1个单位 ,所得图像的函数解析式是 ( )422A 、 y cos2x B、 y 2cos x C、 y 1 sin( 2 x ) D、 y 2sin x44、已知函数 f (x) sin( wx )(x R,w 0)的最小正周期为 ， y f (x)的

10、图像向左平移 | |个单4位长度，所得图像关于 y 轴对称，则 的一个值是( )3A 、 B 、 C、 D 、2 8 4 85、已知函数 f (x) sin( x )(x R, 0) 的最小正周期为 ，为了得到函数 g(x) cos x的图像，4只要将 y f (x) 的图像( )6、7、A、C、已知向左平移 个单位长度8 向左平移 个单位长度4a 是实数，则函数 f (x) 1 a sin ax的图像不可能B、向右平移 个单位长度8D、向右平移 个单位长度4是 ( )已知函数 f (x) =Acos( x )的图象如图所示，C、22A、B、，则 f (0)=(23f(2)D、8、函数 y A

11、sin( x )( A, , 为常数， A 0, 0)闭区间 ,0 上的图像如图所示，则10、已知函数 f (x) 2sin( x ) 的图像如图所示，则 f 71211、已知函数 f (x) sin( x )( 0) 的图像如图所示，则 2 的两个相邻交点12、已知函数 f (x) 3sin x cos x( 0)， y f (x) 的图像与直线 y的距离等于，则 f (x) 的单调递增区间是()5511A、k ,k ,k ZB、k,k,k Z12 1212122C、k ,k ,k ZD、k,6,k23 ,k Z13、如果函数y 3sin(2 x ) 的图像关于点4(43 ,0)中心对称，那

12、么| | 的最小值为A、B 、 C、D、643214、已知函数 f (x) sin(x )(x R) ，下面结论错误的是( )2 A、函数 f(x) 的最小正周期为 2B、函数 f(x) 在区间 0, 上是增函数C、函数 f (x) 的图像关于直线 x0对称D、函数 f (x) 是奇函数315、若 x ，则函数 y tan 2x tan3 x 的最大值为42216、已知函数 f (x) sin2x 2sin2 x( 1)求函数 f (x) 的最小正周期。2)求函数f (x) 的最大值及 f (x) 取最大值时 x 的集合。17、已知函数f (x) 1sin2xsin cos2 xcos 1si

13、n( )(0 ) ，其图像过点2 2 21(6,2)求 的值；1)将函数 y f (x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 ，纵坐标不变， 得到函数 y2g(x) 的图像，求函数 g(x) 在0, 上的最大值和最小值。418、设函数 f (x) cos(2 x ) sin2 x 。1)求函数 f (x) 的最大值和最小正周期。1c2)设A,B,C为 ABC的三个内角，若 cosB , f( ) 3211 ,且C为锐角,求sin A。419、设函数 f (x) sin( ) 2cos462x2 1 。81)求 f (x) 的最小正周期。2)若函数 y g(x)与 y f ( x)的图像关于直线

14、 x 1对称，2220、设函数 f (x) (sin x cos x)2 2cos2 x( 0) 的最小正周期为4求当 x 0, 时 y g(x) 的最大值。32。1)求 的最小正周期。2)若函数 y g( x)的图像是由 y f ( x)的图像向右平移 个单位长度得到，求 y g(x)的单调增区 2间。21、已知函数f x acos2x 2 3asin xcosx 2a b 的定义域为 0 ， ，值域为 5，1 ，求常数 a、 b 的值。22、已知函数1 2 3y= cos x+ sinxcosx+1( xR)。221)当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；2)该函数的图像可由 y

15、=sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？题型四 三角函数与解三角形 此类题主要考查在三角形中三角函数的利用 . 解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下， 正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。评注： 解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。A 2 53、在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且满足 cosA2 255 ， AB AC 3。4、在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a

16、,b,c,B 3 ，cosA 45,b 3。）求 sin C的值；（）求 ABC 的面积I ）求 A B 的值；（II ）若 a b 2 1，求 a、b、c 的值。26、设函数 f(x) 2sin x cos2 cos x sin sin x(0 )在 x 处取最小值。2（1） 求 的值；ac ，7、设 ABC 的内角 A、B、C的对边长分别为 a,b,c， cos（A C） cosB 3，b2 2例 13 】平面直角坐标系有点题型五 三角函数与平面向量P(1,cosx),Q(cosx,1),x , 。442）求 的最值。2cosx cosx (1 cos x)cos2cosxcos 21 c

17、os x即 f (x)2cosx1 cos2 x( 4 x 4)22) cos 2 1 cosx cosx又 cosx1cosx322, 2 ，cos 232 ,1 ，3min 0 ，max22 arcco s 。说明： 三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。例 14】已知向量 m=(sinA,cosA),n=( 3, 1) ， m n 1，且 A 为锐角。()求角 A 的大小； ()求函数 f (x) cos2x 4cos Asin x(x R) 的值域。1解：() 由题意得 m n 3sinA cosA 1, 2sin( A ) 1,sin( A ) .6 6 2由 A 为锐角

18、得 A ,A6 6 31() 由()知 cosA ,22 1 2 3所以 f(x) cos2x 2sin x 1 2sin 2x 2sin s 2(sin x )2 .2213因为 x R，所以 sinx 1,1 ，因此，当 sin x 时， f(x)有最大值 。22当sinx 1时， f (x)有最小值 -3, 所以所求函数 f (x)的值域是 3，3 。2练习：1、设向量 a (4cos ,sin ),b (sin ,4cos ),c (cos , 4sin ) 。(1)若 a 与b 2c 垂直，求 tan( )的值；(2)求 |b c |的最大值；(3)若 tan tan 16 ，求证： a b 。2、已知向量 a (sin ,cos 2sin ),b (1,2).()若 a/b，求 tan 的值；()若 |a| |b|,0 ,求 的值。3、已知 ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m (a,b)，n (sin B,sin A)， p (b 2,a 2) 。(1) 若 m/ n，求证： ABC为等腰三角形；(2) 若 m p ，边长 c = 2，角 C = ，求ABC 的面积。3