概率论与数理统计的的知识地总结之第一章的.docx

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概率论与数理统计的的知识地总结之第一章的

第一章概率论的基本概念

确定性现象：

在一定条件下必然发生的现象

随机现象：

在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象

随机试验：

具有下述三个特点的试验：

1.可以在相同的条件下重复地进行

2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果

3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

样本空间：

将随机试验E的所有可能出现的结果组成的集合称为E的样本空间，记为S

样本点：

样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点

样本空间的元素是由试验的目的所确定的。

随机事件：

一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件

在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。

基本事件：

由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。

必然事件：

样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。

不可能事件：

空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。

事件间的关系与运算：

设试验E的样本空间为S，而A,B,（k=1,2,…）是S的子集。

1.若，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必然导致事件B发生。

若且,即A=B，则称事件A与事件B相等。

2.事件｜或称为事件A与事件B的和事件。

当且仅当A,B中至少有一个发生时，事件发生。

类似地，称为事件…的和事件；称为可列个事件…的和事件。

3.事件=｜且称为事件A与事件B的积事件。

当且仅当A,B同时发生时，事件发生。

记作AB。

类似地，称为n个事件…的积事件；称为可列个事件…的积事件。

4.事件｜且称为事件A与事件B的差事件。

当且仅当A发生、B不发生时事件发生。

5.若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。

这指的是事件A与事件B不能同时发生。

基本事件是两两互不相容的。

6.若且,则称事件A与事件B互为逆事件。

又称事件A与事件B互为对立事件。

这指的是对每次试验而言，事件A,B中必有一个发生。

A的对立事件.

设为事件，则有

交换律：

结合律：

分配律：

德·摩根律：

频率与概率

频率：

在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数，称为事件A发生的频数，比值/n称为事件A发生的频率，并记成

频率的基本性质：

1.0≦≦1

2.=1

3.若…是两两互不相容的事件，则

（…）=（）+…+（）

概率：

设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件A的概率，如果集合函数P（·）满足下列条件：

1.非负性

2.规范性：

对于必然事件S，有P（S）=1

3.可列可加性：

P（…）=P（）+P（）+…

概率的性质：

1.P（）=0

2.（有限可加性）若，，…是两两互不相容的事件，则有

P（…）=P（）+P（）+…+P（）

3.设A,B是两个事件，若，则有

P（B-A）=P（B）-P（A）,P（B）≥P（A）

4.对于任一事件A，P（A）≤1

5.对于任一事件A，有=1-P（A）

6.对于任意两事件A,B有P（）=P（A）+P（B）-P（AB）

一般地，对于任意n个事件…，可以用归纳法得出

P（…）=-++…+

等可能概型（古典概型）

定义：

具有以下两个特点的试验称为等可能概型：

1.试验的样本空间只包含有限个元素

2.试验中每个基本事件发生的可能性相同

事件概率计算公式：

若事件A包含k个基本事件，即A

P（A）===（A包含的基本事件数）/（S中基本事件的总数）

实际推断原理：

人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”

条件概率

事件A已发生的条件下事件B发生的概率

设A,B是两个事件，且P（A）>0，称P（B｜A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.

条件概率P（·｜A）的性质：

1.非负性:

P（B｜A）≥0

2.规范性：

对于必然事件S，有P（S｜A）=1

3.可列可加性：

设…是两两互不相容的事件，则有

｜｜

对于任意事件B,C,有

P（B∪C｜A）=P（B｜A）+P（C｜A）-P（BC｜A）

乘法定理：

设P（A）>0，则有P（AB）=P（B｜A）P（A）

一般，设…为n个事件，n≥2,且>0,则有

｜｜｜

划分：

设S为试验E的样本空间，为E的一组事件，若

1.

2.,

则称为样本空间S的一个划分

全概率公式：

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，为S的一个划分，且，则

｜｜｜

贝叶斯公式：

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，为S的一个划分，且P（A）>0，,则

｜｜/｜

先验概率：

根据以往数据分析得到的概率

后验概率：

在得到信息之后再重新加以修正的概率

独立性：

设A,B是两事件，如果满足等式P（AB）=P（A）P（B）,则称事件A,B相互独立，简称A,B独立

定理一：

设A,B是两事件，且P（A）>0，若A,B相互独立，则P（B｜A）=P（B）,反之亦然。

定理二：

若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：

A与,与B,与

设A,B,C是三个事件，如果满足等式：

则称事件A,B,C相互独立。

一般，设…是n（n≥2）个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，……，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件…相互独立。

推论：

1.若事件…（n≥2）相互独立，则其中任意k（2≤k≤n）个事件也是相互独立；

2.若n个事件…（n≥2）相互独立，则将…中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n各事件仍相互独立

（1）排列组合公式

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：

m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：

m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。

（3）一些常见排列

重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：

A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：

AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：

AB，或者AB。

AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。

它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CA∪（B∪C）=（A∪B）∪C

分配率：

（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）

德摩根率：

，

（7）概率的公理化定义

设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：

1°0≤P（A）≤1，

2°P（Ω）=1

3°对于两两互不相容的事件，，…有

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件的概率。

（8）古典概型

1°，

2°。

设任一事件，它是由组成的，则有

P（A）==

（9）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。

对任一事件A，

。

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Ω时，P（）=1-P（B）

（12）条件概率

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Ω/B）=1P（/A）=1-P（B/A）

（13）乘法公式

乘法公式：

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P（A1A2…An-1）>0，则有

…………。

（14）独立性

①两个事件的独立性

设事件、满足，则称事件、是相互独立的。

若事件、相互独立，且，则有

若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。

必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）

并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式

设事件满足

1°两两互不相容，，

2°，（分类讨论的

则有

。

（16）贝叶斯公式

设事件，，…，及满足

1°，，…，两两互不相容，>0，1，2，…，，

2°，，（已经知道结果求原因

则

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

，（，，…，），通常叫先验概率。

，（，，…，），通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；

次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；

每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。

用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，

，。