高中数学必修2 第二章 点线面位置关系B卷.docx
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高中数学必修2第二章点线面位置关系B卷
高中数学必修2第二章点线面位置关系(B卷)试卷
一、选择题(共21题;共90分)
1.下列图形所表示的直线与平面的位置关系,分别用符号表示正确的一组是( )
A.a⊄α,a∩α=A,a∥α
B.,a∩α=A,a∥α
C.a⊂α,a∩α=A,a∥α
D.,a∩α=A,a∥α
【答案】C
【考点】平面概念及表示,点线面关系
【解析】根据图形可得,选C.
2.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )
A.异面或平行B.异面或相交C.异面D.相交,平行或异面
【答案】D
【考点】异面直线
【解析】a和c可以相交,平行或者异面.选D.
3.若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a与b的位置关系是( )
A.相交B.平行C.异面D.平行或异面
【答案】D
【考点】平面概念及表示,平面的公理及应用,异面直线,点线面关系
【解析】由于平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,所以直线a与b没有公共点,即直线a与b的位置关系为平行或异面.
4.已知平面α与平面β平行,a⊂α,则下列命题正确的是( )
A.a与β内所有直线平行
B.a与β内的无数条直线平行
C.a与β内的任何一条直线都不平行
D.a与β内的一条直线平行
【答案】B
【考点】线面平行的判定与性质
【解析】根据线面平行的判定可以得到.
5.平面α平面β,平面γ平面δ,且α∩γ=a,α∩δ=b,β∩γ=c,β∩δ=d,则交线a,b,c,d的位置关系是( )
A.互相平行B.交于一点C.相互异面D.不能确定
【答案】A
【考点】线线平行的判定与性质,面面平行的判定与性质
【解析】由平面与平面平行的性质定理知,ab,ac,bd,cd,所以abcd,故选A.
6.如图,已知三棱柱ABC—A1B1C1中,E是BC的中点,D是AA1上的动点,且,若AE平面DB1C,则m的值为( )
A.
B.1
C.
D.2
【答案】B
【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质
【解析】如图,取CB1的中点G,连接GE,DG,当m=1时,且ADGE,∴四边形ADGE为平行四边形,则AEDG,可得AE平面DB1C.
7.已知直线l⊄平面α,直线m⊂平面α,下面四个结论:
①若l⊥α,则l⊥m;②若l∥α,则l∥m;③若l⊥m,则l⊥α;④若l∥m,则l∥α,其中正确的是( )
A.①②④
B.③④
C.②③
D.①④
【答案】D
【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质
【解析】由直线l⊄平面α,直线m⊂平面α,知,在①中,若l⊥α,则由线面垂直的性质定理得l⊥m,故①正确;在②中,若l∥α,则l与m平行或异面,故②错误;在③中,若l⊥m,则l与α不一定垂直,故③错误;在④中,若l∥m,则由线面平行的判定定理得l∥α,故④正确.故选D.
8.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是( )
A.平行B.垂直C.相交D.不确定
【答案】B
【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质,垂直关系综合
【解析】由于直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,而这两边相交于点C,所以直线l和三角形所在的平面垂直,又因三角形的第三边AB在这个平面内,所以l⊥AB.
9.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则( )
A.PD⊂平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
【答案】B
【考点】线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质
【解析】
因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.
又因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,
所以PD⊥平面ABC.
10.已知两条不同直线m,l,两个不同平面α,β,在下列条件中,可得出α⊥β的是( )
A.m⊥l,lα,lβ
B.m⊥l,α∩β=l,m⊂α
C.ml,m⊥α,l⊥β
D.ml,l⊥β,m⊂α
【答案】D
【考点】面面垂直的判定与性质,垂直关系综合
【解析】
对于A,lα,lβ,α与β可以平行,相交,故A不正确;
对于B,α与β可以相交,故B不正确;
对于C,ml,m⊥α⇒l⊥α,l⊥β⇒αβ.故C不正确;
对于D,ml,l⊥β⇒m⊥β,m⊂α⇒α⊥β.故D正确.
故选D.
11.在△ABC所在的平面α外有一点P,且PA=PB=PC,则P在α内的射影是△ABC的( )
A.垂心B.内心C.外心D.重心
【答案】C
【考点】线面垂直的判定与性质
【解析】设P在平面α内的射影为O,
易证△PAO≌△PBO≌△PCO⇒AO=BO=CO.
12.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1,若AB=BC,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中成立的是( )
①EF与BB1垂直;
②EF⊥平面BCC1B1;
③EF与C1D所成的角为45°;
④EF平面A1B1C1D1.
A.②③
B.①④
C.③
D.①②④
【答案】B
【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质
【解析】连B1C,则B1C交BC1于F且F为BC1中点,在三角形B1AC中,,所以EF平面ABCD,因为AB与BB1垂直,所以EF与BB1垂直①正确;
AC不垂直平面BCC1B1,所以②EF⊥平面BCC1B1;②不正确;
③EF与C1D所成角就是∠B1AC=60°,③中EF与C1D所成角为45°,不正确;
④由,ACA1C1得EFA1C1,所以EF平面A1B1C1D1正确.
故选B.
13.若OA∥O′A′,OB∥O′B′,且∠AOB=130°,则∠A′O′B′为( )
A.130°
B.50°
C.130°或50°
D.不能确定
【答案】C
【考点】异面直线所成的角
【解析】根据等角定理可知,可以相等或互补,选C.
14.下列命题中正确的结论有( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;
④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】B
【考点】平面的公理及应用,异面直线
【解析】对于①,这两个角也可能互补,故①错;对于②,正确;对于③,不正确,举反例:
如图,BC⊥PB,AC⊥PA,∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边,但这两个角既不一定相等,也不一定互补;对于④,由公理4可知正确.故②④正确,所以正确的结论有2个.
15.已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,则下列五个命题中正确的命题有( )
①ac,bc⇒ab;②aγ,bγ⇒ab;③cα,cβ⇒αβ;④cα,ac⇒aα;⑤aγ,αγ⇒aα.
A.1个
B.2个
C.3个
D.5个
【答案】A
【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质,面面平行的判定与性质,平行关系综合
【解析】由公理4知①正确;②错误,a与b可能相交;③错误,α与β可能相交;④错误,可能有a⊂α;⑤错误,可能有a⊂α.
16.设有直线m,n和平面α,β,则下列结论中正确的是( )
①若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥β;
②若m⊥n,α∩β=m,n⊂α,则α⊥β;
③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
【答案】B
【考点】线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质
【解析】②错,当两平面不垂直时,在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直.
17.在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且,EF=,则AB和CD所成角的大小()
A.45°
B.30°
C.60°
D.90°
【答案】D
【考点】异面直线所成的角
【解析】
如图,连接BD,过点E作AB的平行线交BD于O,连接OF.
∵EOAB,∴.
又∵AB=3,∴EO=2.
又,∴,
∴OFDC,∴OE与OF所成的角即为AB和CD的所成的角,.
∵DC=3,∴OF=1,
在△OEF中,,
∴
∴AB和CD所成的角为.
18.如图所示,在三棱锥A-SBC中,∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC.则直线AS与平面SBC所成的角()
A.45°
B.30°
C.60°
D.90°
【答案】A
【考点】直线与平面所成的角
【解析】
因为∠ASB=∠ASC=60°,SA=SB=SC,
所以△ASB与△SAC都是等边三角形.因此AB=AC.
如图所示,取BC的中点D,连接AD,SD,则AD⊥BC.
设SA=a,则在Rt△SBC中,
BC=a,.
在Rt△ADC中,
.
则AD2+SD2=SA2,所以AD⊥SD.
又BC∩SD=D,
所以AD⊥平面SBC.
因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角.
在Rt△ASD中,,
所以∠ASD=45°,
即直线AS与平面SBC所成的角为45°.
19.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
求二面角A-BE-P的大小()
A.45°
B.30°
C.60°
D.90°
【答案】C
【考点】二面角
【解析】
如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°,知△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.
又AB∥CD,所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD,
BE⊂平面ABCD,
所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,
因此BE⊥平面PAB.
因为PB⊂平面PAB,
所以PB⊥BE.又AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中,
,
则∠PBA=60°.
故二面角A-BE-P的大小是60°.
20.在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,M为PE的中点,在棱PC上一点F,当()时使平面BFM平面AEC?
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【考点】面面平行的判定与性质
【解析】
当F是棱PC的中点时,平面BFM平面AEC.
∵M是PE的中点,∴FMCE.
∵,,∴FM平面AEC.
由,得E为MD的中点,连接BM,BD,如图所示,
设,则O为BD的中点,连接OE,则BMOE.
∵,,∴BM平面AEC.
又∵,,,
∴平面BFM平面AEC.
21.已知平面α外两点A,B到平面α的距离分别为1和2,A,B两点在α内的射影之间的距离为,则直线AB和平面α所成的角()
A.45°
B.30°
C.60°
D.30°或60°
【答案】D
【考点】直线与平面所成的角
【解析】①如图1,当A、B位于平面α同侧时,由点A、B分别向平面α作垂线,垂足分别为A1,B1,则AA1=1,BB1=2,.过点A作AH⊥BB1于点H,则AB和α所成角即为∠HAB.而
∴∠BAH=30°.
②如图2,当A、B位于平面α异侧时,经A、B分别作AA1⊥α于点A1,BB1⊥α于点B1,AB∩α=C,则A1B1为AB在平面α上的射影,∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角.
∵△BCB1∽△ACA1,
∴,
∴B1C=2CA1,而,
∴
∴
∴∠BCB1=60°.
综合①②可知AB与平面α所成的角为30°或60°.
二、解答题(共1题;共10分)
22.如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点.
(1).点C到平面A1ABB1的距离()
A.
B.
C.
D.2
【答案】B
【考点】空间距离
【解析】
由AC=BC,D为AB的中点,得CD⊥AB,又CD⊥AA1,
故CD⊥平面A1ABB1,
所以C到平面A1ABB1的距离.
(2).若AB1⊥A1C,二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【考点】二面角
【解析】
如图,取D1为A1B1的中点,连接DD1,
则DD1AA1CC1.
又由
(1)知CD⊥平面A1ABB1,
故CD⊥A1D,CD⊥DD1,
所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角.
因为CD⊥平面A1ABB1,AB1⊂平面A1ABB1,所以AB1⊥CD,
又已知AB1⊥A1C,A1C∩CD=C,
所以AB1⊥平面A1CD,
故AB1⊥A1D,
从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余,
因此∠A1AB1=∠A1DA,
所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.
因此,
即,
得A1A=.
从而
所以,在Rt△A1DD1中,
.