版高中数学第一章三角函数111任意角导学案新人教A版必修4.docx
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版高中数学第一章三角函数111任意角导学案新人教A版必修4
1.1.1 任意角
学习目标
1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合符号表示这些角.
知识点一 角的相关概念
思考1 用旋转方式定义角时,角的构成要素有哪些?
答案 角的构成要素有始边、顶点、终边.
思考2 将射线OA绕着点O旋转到OB位置,有几种旋转方向?
答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.
思考3 如果一个角的始边与终边重合,那么这个角一定是零角吗?
答案 不一定,若角的终边未作旋转,则这个角是零角.若角的终边作了旋转,则这个角就不是零角.
梳理
(1)角的概念:
角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点,射线OA,OB分别是角α的始边和终边.
(2)按照角的旋转方向,分为如下三类:
类型
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角
知识点二 象限角
思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,旋转该角,则其终边(除端点外)可能落在什么位置?
答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.
梳理 在直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
象限角:
终边在第几象限就是第几象限角;
轴线角:
终边落在坐标轴上的角.
知识点三 终边相同的角
思考1 假设60°的终边是OB,那么-660°,420°的终边与60°的终边有什么关系,它们与60°分别相差多少?
答案 它们的终边相同.-660°=60°-2×360°,420°=60°+360°,故它们与60°分别相差了-2个周角及1个周角.
思考2 如何表示与60°终边相同的角?
答案 60°+k·360°(k∈Z).
梳理 终边相同角的表示:
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
类型一 任意角概念的理解
例1
(1)给出下列说法:
①锐角都是第一象限角;
②第一象限角一定不是负角;
③第二象限角是钝角;
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确说法的序号为.(把正确说法的序号都写上)
(2)将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是.
答案
(1)①
(2)-120°
解析
(1)锐角指大于0°小于90°的角,都是第一象限的角,所以①对;由任意角的概念知,第一象限角也可为负角,第二象限角不一定是钝角,小于180°的角还有负角、零角,所以②③④错误.
(2)分针每分钟转6°,由于顺时针旋转,所以20分钟转了-120°.
反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°~90°角、象限角等概念.角的概念推广后,确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.
跟踪训练1 写出下列说法所表示的角.
(1)顺时针拧螺丝2圈;
(2)将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角.
解
(1)顺时针拧螺丝2圈,螺丝顺时针旋转了2周,因此所表示的角为-720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转,因此将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角为900°.
类型二 象限角的判定
例2 在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-150°;
(2)650°;(3)-950°15′.
解
(1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°~360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.
(2)因为650°=360°+290°,所以在0°~360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角.
(3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范围内,与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角.
引申探究
确定
(n∈N*)的终边所在的象限.
解 一般地,要确定
所在的象限,可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线,它们与坐标轴把周角分成4n个区域,从x轴的非负半轴起,按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4,…,4n,标号为几的区域,就是根据α所在第几象限时,
的终边所落在的区域,如此,
所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.
反思与感悟 判断象限角的步骤:
(1)当0°≤α<360°时,直接写出结果;
(2)当α<0°或α≥360°时,将α化为k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°),转化为判断角β所属的象限.
跟踪训练2 下列各角分别是第几象限角?
请写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
(1)60°;
(2)-21°.
解
(1)60°角是第一象限角,所有与60°角终边相同的角的集合S={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S中适合-360°≤β<720°的元素是60°+(-1)×360°=-300°,60°+0×360°=60°,60°+1×360°=420°.
(2)-21°角是第四象限角,所有与-21°角终边相同的角的集合S={β|β=-21°+k·360°,k∈Z},S中适合-360°≤β<720°的元素是-21°+0×360°=-21°,-21°+1×360°=339°,-21°+2×360°=699°.
类型三 终边相同的角
命题角度1 求与已知角终边相同的角
例3 在与角10030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;(3)[360°,720°)的角.
解 与10030°终边相同的角的一般形式为β=k·360°+10030°(k∈Z),
(1)由-360°<k·360°+10030°<0°,得-10390°<k·360°<-10030°,解得k=-28,故所求的最大负角为β=-50°.
(2)由0°<k·360°+10030°<360°,得-10030°<k·360°<-9670°,解得k=-27,故所求的最小正角为β=310°.
(3)由360°≤k·360°+10030°<720°,得-9670°≤k·360°<-9310°,解得k=-26,故所求的角为β=670°.
反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.
跟踪训练3 写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
解 由终边相同的角的表示知,与角α=-1910°终边相同的角的集合为{β|β=k·360°-1910°,k∈Z}.
∵-720°≤β<360°,
即-720°≤k·360°-1910°<360°(k∈Z),
∴3
≤k<6
(k∈Z),故取k=4,5,6.
当k=4时,β=4×360°-1910°=-470°;
当k=5时,β=5×360°-1910°=-110°;
当k=6时,β=6×360°-1910°=250°.
命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合
例4 写出终边在直线y=-
x上的角的集合.
解 终边在y=-
x(x<0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k·360°,k∈Z};
终边在y=-
x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k·360°,k∈Z}.
因此,终边在直线y=-
x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=300°+k·360°,k∈Z},
即S={α|α=120°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=120°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.
故终边在直线y=-
x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.
反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合,常用分类讨论的思想,即分x≥0和x<0两种情况讨论,最后再进行合并.
跟踪训练4 写出终边在直线y=
x上的角的集合.
解 终边在y=
x(x≥0)上的角的集合是S1={α|α=30°+k·360°,k∈Z};
终边在y=
x(x<0)上的角的集合是S2={α|α=210°+k·360°,k∈Z}.
因此,终边在直线y=
x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=30°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=210°+k·360°,k∈Z},
即S={α|α=30°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=30°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=30°+n·180°,n∈Z}.
故终边在直线y=
x上的角的集合是S={α|α=30°+n·180°,n∈Z}.
类型四 区域角的表示
例5 如图所示.
(1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解
(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}.
反思与感悟 解答此类题目应先在0°~360°上写出角的集合,再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合,如果集合能化简的还要化成最简.
跟踪训练5 如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合.
解 设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成.
①{α|k·360°+30°≤α②{α|k·360°+210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集,即
S={α|k·360°+30°≤α∪{α|k·360°+210°≤α={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z}
∪{α|(2k+1)180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z}
={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z}
={α|n·180°+30°≤α1.下列说法正确的是( )
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第一象限角一定不是负角
D.小于90°的角都是锐角
答案 B
2.与-457°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}
答案 C
解析 -457°=-2×360°+263°,故选C.
3.2017°是第象限角.
答案 三
解析 因为2017°=5×360°+217°,故2017°是第三象限角.
4.与-1692°终边相同的最大负角是.
答案 -252°
解析 ∵-1692°=-4×360°-252°,
∴与-1692°终边相同的最大负角为-252°.
5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
解 终边落在x轴上的角的集合:
S1={β|β=k·180°,k∈Z};
终边落在y轴上的角的集合:
S2={β|β=k·180°+90°,k∈Z}.
∴终边落在坐标轴上的角的集合:
S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}∪{β|β=k·180°+90°,k∈Z}
={β|β=2k·90°或β=(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=n·90°,n∈Z}.
1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同的角的认识
一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
注意:
(1)α为任意角;
(2)k·360°与α之间是“+”号,k·360°-α可理解为k·360°+(-α);
(3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍;
(4)k∈Z这一条件不能少.
课时作业
一、选择题
1.把-1485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( )
A.315°-5×360°B.45°-4×360°
C.-315°-4×360°D.-45°-10×180°
答案 A
解析 可以估算-1485°介于-5×360°与-4×360°之间.
∵0°≤α<360°,∴k=-5,则α=315°.
2.若α是第四象限角,则180°-α是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
答案 C
解析 可以给α赋一特殊值-60°,
则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.
3.设A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角},C={θ|θ为第一象限的角},D={θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是( )
A.A=BB.B=C
C.A=CD.A=D
答案 D
解析 直接根据角的分类进行求解,容易得到答案.
4.时针走过了2小时40分,则分针转过的角度是( )
A.80°B.-80°
C.960°D.-960°
答案 D
解析 分针转过的角是负角,且分针每转一周是-360°,故共转了-360°×(2+
)=-960°.
5.若α与β的终边关于x轴对称,则α可以用β表示为( )
A.2kπ+β(k∈Z)B.2kπ-β(k∈Z)
C.kπ+β(k∈Z)D.kπ-β(k∈Z)
答案 B
解析 ∵α与β的终边关于x轴对称,
∴α+β=2kπ(k∈Z),
∴α=2kπ-β(k∈Z).故选B.
6.设集合A={α|α=45°+k·180°,k∈Z}∪{α|α=135°+k·180°,k∈Z},集合B={β|β=45°+k·90°,k∈Z},则( )
A.A∩B=∅B.AB
C.BAD.A=B
答案 D
解析 对于集合A,
α=45°+k·180°=45°+2k·90°
或α=135°+k·180°=45°+90°+2k·90°
=45°+(2k+1)·90°.
∵k∈Z,
∴2k表示所有的偶数,2k+1表示所有的奇数,
∴集合A={α|α=45°+n·90°,n∈Z},
又集合B={β|β=45°+k·90°,k∈Z},
∴A=B.故选D.
二、填空题
7.已知角α=-3000°,则与α终边相同的最小正角是.
答案 240°
解析 与α=-3000°终边相同的角的集合为
{θ|θ=-3000°+k·360°,k∈Z},
令-3000°+k·360°>0°,解得k>
,
故当k=9时,θ=240°满足条件.
8.如图,终边落在OA的位置上的角的集合是;终边落在OB的位置上,且在-360°~360°内的角的集合是;终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是.
答案 {α|α=120°+k·360°,k∈Z} {315°,-45°}
{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}
解析 终边落在OA的位置上的角的集合是
{α|α=120°+k·360°,k∈Z}.
终边落在OB的位置上的角的集合是
{α|α=315°+k·360°,k∈Z},
取k=0,-1得α=315°,-45°.
故终边落在OB的位置上,
且在-360°~360°内的角的集合是{315°,-45°}.
终边落在阴影部分的角的集合是
{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.
9.若α=k·360°+45°,k∈Z,则
是第象限角.
答案 一或三
解析 ∵α=k·360°+45°,k∈Z,
∴
=k·180°+22.5°,k∈Z.
当k为偶数,即k=2n,n∈Z时,
=n·360°+22.5°,n∈Z,∴
为第一象限角;
当k为奇数,即k=2n+1,n∈Z时,
=n·360°+202.5°,n∈Z,∴
为第三象限角.
综上,
是第一或第三象限角.
10.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B=.
答案 {-126°,-36°,54°,144°}
解析 当k=-1时,α=-126°;
当k=0时,α=-36°;
当k=1时,α=54°;
当k=2时,α=144°.
∴A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.
三、解答题
11.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P点在1s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2s到达第三象限,经过14s后又回到了出发点A处,求θ.
解 ∵0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ则一定有k=0,于是90°<θ<135°.
又∵14θ=n·360°(n∈Z),
∴θ=
,从而90°<
<135°,
∴
,∴n=4或5.
当n=4时,θ=
;
当n=5时,θ=
.
12.已知角β的终边在直线
x-y=0上.
(1)写出角β的集合S;
(2)写出集合S中适合不等式-360°<β<720°的元素.
解
(1)如图,直线
x-y=0过原点,倾斜角为60°,在0°~360°范围内,终边落在射线OA上的角是60°,终边落在射线OB上的角是240°,所以以射线OA,OB为终边的角的集合分别为
S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z},
S2={β|β=240°+k·360°,k∈Z},
所以,角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=60°+180°+k·360°,k∈Z}
={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.
(2)由于-360°<β<720°,即-360°<60°+n·180°<720°,n∈Z.解得-
,n∈Z,所以n=-2,-1,0,1,2,3.
所以集合S中适合不等式-360°<β<720°的元素为
60°-2×180°=-300°;60°-1×180°=-120°;
60°+0×180°=60°;60°+1×180°=240°;
60°+2×180°=420°;60°+3×180°=600°.
13.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.
解 由题意可知,
α+β=-280°+k·360°,k∈Z.
∵α,β为锐角,∴0°<α+β<180°.
取k=1,得α+β=80°.①
α-β=670°+k·360°,k∈Z.
∵α,β为锐角,∴-90°<α-β<90°.
取k=-2,得α-β=-50°,②
由①②得α=15°,β=65°.