（C）P（A）=I-P（B）：
（D）P（AlB）=P（Bn
3.设事件A与〃满足P（A）>0.P（B）>0,下面条件（）成立时，爭件A与〃一定独立
（A）P（AB）≈P（A）P（B）;（B）P（AUB）=P（A）P（B）:
（C）P（AIB）=P（B）：
（D）P（AIB）=P（A）β
4、设事件A和B有关系BUA∙则下列等式中正确的是（）
（A）P（AB）=P（A）.（B）P（AUB）=P⑷：
（C）P（BlA）=P（B）：
（D）P（B-A）≈P（B）-P（A）a
5>设A与〃是两个概率不为O的互不相容的事件.则下列结论中肯定正确的是（）
（A）只与耳互不相容：
（B）入与歹相容：
7.对于任意两个爭件A与B,P（A-B）等于（）
（A）P（A）-P（B）（B）P（A）-P（B）+P（AB）,
（C）P（A）-P（AB）;（D）P（A）+P（B）-P（AB）β
二、填空题
1、若A^B,A∑）C,P（A）=O.9.P（BUC）=0.8,则P（A-BC）=
2、设P（A）=O.3,P（B）=O.4∙H4IB）=0.5∙则P（BiA）=,P（BlAUB）=。
3、已知P（A）=O.7,P（A-B）=O.3,则P（AB）=。
4、已知爭件4.B满足P（AB）=P（AoB）.且P（A）=P,则P（B）=。
一批产品，其中10件正品，2件次品•任意抽取2次，每次抽1件.抽出后不再放回，则第2次抽出
的是次品的概率为O
6＞设在4次独立的试验中.事件A每次出现的概率相等，若已知爭件A至少出现1次的概率是65/81•
则4在1次试验中出现的概率为o
7、设事件儿B的概率分别为P（A）=I/3,P（B）=I/6,①若A与B相互独立，则
P（A∖JB）≈:
②若4与〃互不相容，则P（AB）=。
8＞有10个球•其中有3个红球和7个绿球•随机地分给10个小朋友•每人1个，则最后3个分到球的小朋友中恰有1个得到红球的概率为o
9＞两射于•彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为0・8・乙击中的概率为（）・7・则目标被击中的概率为O
三、计算题
K某匸厂生产的一批产品共K）O个.其中有5个次品：
从这批产品中任取一半來检査，求取到的次品不多于1个的概率。
2.某城市的电话号码为八位数•且第一位为6或&求
（1）随机抽取的一个电话号码由完全不相同的数字组成的概率：
（2）随机抽取的电话号码末位数是8的概率。
3、已知P（A）=P（B）=P（C）=I/4,AAB）=o.P（AC）=P（BQ）=I/16,求∕i.B,C至
少有一个发生的概率。
4.设10件产品中有4件不合格品•从中任取2件，已知所取2件中有一件是不合格品.求另外一件也是不合格品的概率。
5、一个工厂有一，二，三3个千•间生产同一个产品，每个午间的产址占总产址的45%,35%.20%,如果每个午间成品中的次品率分别为5%,4%.2%.
1从全厂产品中任意抽取1个产品，求取出是次品的概率：
2从全厂产品如果抽出的1个恰好是次品，求这个产品由一车间生产的概率。
6、有两箱同类零件，第一箱装50只（其中一等品10只），第二箱装30只（其中一等品18只）：
今从两箱中任挑一箱•然后从该箱中依次不放回地取零件两次，每次一只：
已知第一次取到的是一等品，求第二次取到的也是一等品的概率。
7.
070-[Ai-~[Tj-J0.90
0.70
右边是一个串并联电路示意图∙A、B、C都是电路中的元件，它们下方的数是它们各自独立正常丄作的概卒（可靠性）•求电路的可釜性。
四、证明：
若P（BlA）=P（BlA）9则爭件A与〃相互独立。
第二.三章《随机变■及其分布》练习题
一、单项选择题
1.设离散型随机变虽X的分布列为
X
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
F（X）为X的分布函数，则F（1.5）=（）
2.
如下四个函数中，哪一个不能作为随机变虽X的分布函数（
3.
XV0,
1一严x≥0
x≥2
4、设随机变址X的分布函数为FX（X）,则随机变sy=2%+1的分布函数Eγ（y）是（）
y1y11
（A）F（）：
（B）F（—+1）：
（C）2F（y）+l:
（D）-F（y）一一。
22222
5、设随机变址X~N（α√?
）・且Y=αX+b~N（0,l）,则a#应取（）
（C）a=I^b=—1:
（D）a=-l9b=1β
6、设某一连续型随机变虽X的概率密度/（x）在区间[a,方]上等于sinχ.而在此区间外等于0.则区
间[a,〃]为（）
（A）[0,π,∕2]:
（B）[0,π∙];（C）[-πr∕2,0]:
（D）[0,3λ,∕2]b
7、设随机变SX-N（μ,σ2）.则随b的增大，则P{∖X-μ∖<σ]（）
8、设两个随机变址X与丫相互独立且同分布.P{X=-i}=P{y=-i}=ι∕2・
P{X=1}=P{Y=1}=1∕2,则下列式子成立的是（）
（A）P{X=Y}=1∕2:
（B）P{X=Y}=1:
（C）P{X+y=0}=l∕4:
（D）P{XY=1}=1/4.
9.设随机变虽X与Y相互独立，它们的分布函数分别为FX（X）,Fγ（y）9则Z=min（X,Y）的分
布函数为（）
（A）FZ（Z）=FY⑵（B）FZ（Z）=Fy⑵：
（C）FZ（Z）=Ilιin{Fx（z）,Fr（z）};（D）FZ（Z）=1-[1-Fx（z）][l-Fy（z）].
二、填空题
O,X<-1,
λ,-1≤x<1,
K设离散型随机变虽X的分布函数F（X）=J2且P{X=2}=1∕2∙
—α,l≤Λβ<2，
3
a+b,x≥2,
则“=,b=，X的分布列为
bI
Cl——y∙X≥1∙
2、设随机变虽X的分布函数F（X）=Iχ-
O,x≤l,
■
则“=.b=・P{-13、将一颗均匀骰子重复独立地掷10次，设X表示3点朝上的次数.则,X的概率分布为
_____9
0VXV]
4、设随机变量X的概率密度为f（x）=<二亠'则使P{X>a}=P{XW其它，
数“=:
5、某一时期在纽约股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布•期望值为10.2%,
且具有3.2%的标准差，这些公司股东所持有的股票利润率在15-17.5%之间的概率为o
]（X+^）2
6、设X〜Ngσ1'∖其概率密度f（x）=—exp{}•则“=,σ=。
2yjπ4
7s（X,Y）的分布律为
P{X=Y]=
b≈时.X与y相互独立。
8、设随机变虽X与丫相互独立.且X、丫的分布律分别为
X
-3
-2
-1
P
1/4
1/4
1/2
则X与y的联合分布律为.
Y
1
2
3
P
2/5
1/5
2/5
Z=X+y的分布律为9、设。
由βy=lZr,iy=0,χ=l,χ=e2困成.代丫）在。
上服从均匀分布.
则（X,Y）的概率密度为
严，y>0,
0,J≤o,
10、若X与丫独立.而X~N（氏σf）,Y~N（μ1∖龙），则
IKX与Y相互独立.且X-U（rl9l）9Y-e⑴即fγ（y）≈^
则X与y的联合概率密度f（χ,y）=
三、计算题
K3个不同的球.随机地投入编号为1.2,3,4的四个盒子中∙X表示有球盒子的最小号码.求X的分布律。
2＞某产品表而的眦点数服从泊松分布，规定没有疵点为特等品，1个为一等品，2至4个为二等品，4
个以上为废品•经检测持等品的概率为0.4493.则试求产品的废品率。
3、设随机变址X的概率密度为f（x）=*
∣√ι-√jr'IJ
0,其它.
试求（I）A;
（2）P{IXI<1∕2};（3）X的分布函数F（X）
4、设某人造卫星偏离预定轨道的距离（米）服从/∕=0,σ=4的正态分布，观测者把偏离值超过IOX时称作“失败二使求5次独立观测中至少有2次“失败”的概率。
5、设X的分布列为：
X
_2
-1/2
O
4
P
1
1
1
1
1
8
4
8
6
3
求：
（1）X+2：
（2）-X+l：
（3）X?
的分布列。
6、设随机变址X］与X?
独立同分布，且已知P（Xf=R）=丄,伙=1,2,3;,=1,2）,记随机变虽
Y}=max{X1,X2}rY2=min{XpX2）o
求
（1）（YvYl）的联合分布列：
（2）判断X与W是否互相独立：
（3）求P（Yl+Y2≤3）9P（Y1=Y2）。
∖x1+axy,0≤X≤O≤j≤2,7.设（Xy）的概率密度为f（x,y）=i
L0,其它，
试求⑴∏:
（2）P{X+K≥1}:
O）X与y是否相互独立？
（1）求关于X和Y的边缘概率密度fx（X）JY（y）：
⑵判断X与Y是否相互独立：
⑶求P{X≥1∕2}:
P{X≥1∕2,Y≥1∕2}
久设随机变量X的概率密度为
IO≤Λ∙≤1
='
0,其它
求函数y=3x+ι的概率密度。
第四、五章《随机变■的数字特征与
中心极限定理》练习题
一、单项选择题
1、设X-BgPh且E（X）=2.4,D（X）=1.44,贝IJ（）
（A）n=49p=0.6:
（B）刃=6,P=O.4：
（C）舁=&P=03:
（D）n=24,P=0.1C
2、设随机变址X与丫满足E（XY）=E（X）E（Y）则（）
（A）D（XY）=D（X）D（Y）i（B）D（X^Y）=D（X）+D（Y）.
（C）X与y独立：
（D）X与丫不独立。
3、随机变i⅞X服从区间（α,b）上均匀分布，E（X）=I,D（X）=1∕3,则区间（匕方）为（〉
（A）（0,1）：
（B）（一1,3）：
（C）（0,2）：
（D）（0.5,1.5）O
4、设X］与X?
为两个随机变量,且D（XI）=5,D（X2）=8,D（Xi+X2）=10.则COV（Xl,X2）=
（）
（A）3/2：
（B）-3/2：
（C）3：
（D）一3。
5＞设随机变量X与丫独立同分布，记U=X+Y,V=X-Y•则〃与V必（）
（A）独立：
（B）不独立：
（C）不相关：
（D）相关系数不为零。
5、设X的概率密度/（X）=一exp{-},则E（IX2-I）=（）
2√2λf8
（A）1：
（B）6：
（C）4：
（D）9α
二填空题
1、设随机变虽X1,X2,X3相互独立,且都服从N（“,b）而Y=（XI+X2+X3）∕3•则Y~
1-2Y-β
1、设随机变虽X服从参数为2的泊松分布，且E[（X-1）（X-2）]=1,则彳=J
3、设X与y相互独立，且X~i∕（0,2）,Y~Γ∕（2,4）,则E（XY）=_.D（X-Y）=_。
4、设X服从均值为1/2的指数分布.则P{X>jD（X）}=:
5、若随机变址X服从区间上的均匀分布•则E（SinX）=o
44
6、一枚便币连抛IOoo次，则正面向上的次数大于等干550的概率为o
7、已知D（X）=25,D（Y）=^P（Xy）=0.4.则D（X-Y）=。
8、设X与y的相关系数PAJ=0.9f若Z=X-0.4.则y与Z的相关系数为>
9、设E（X）=E（Y）=^E（X2）=E（Y2）=2,PXY=0.5,则E[（X+Y）2]≈。
[i,x>o,
10、设随机变SAr~t∕（-1,2）,Y=-1,XIK（XY）的分布律为
0
1
2
-1
UIO
1/20
7/20
2
3/10
1/10
1/10
则E（X）=■E（Y）=■E（XY）=
三、计算及证明题
K某保险公司规定：
如一年中顾客的投保爭件/1发生.则赔"元：
经统讣一年中4发生的概率为p•若
公司期望得到收益的为a/10.则要求顾客交多少保险费?
2.
设X的概率密度为f（x）=<
ax9OVXV2,
bx+c,2≤x<4,
0,其它•
E（X）=2,P{1（1）a.b、C
（2）E（"）>
设（x,y）在以（OaK（1,0）,（ij）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求D（x+Y）o
设（Xy）的概率密度为f（x,y）=
x+y,0≤x≤l,0≤j≤1,
o,其它，iA；RPATo
飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率是0.4,在以后的两次飞行中•每一次飞行后其被检修的概率
各増加0・1,求三次飞行后修理次数的数学期望。
《数理统计》练习题
一、单项选择题
1、设总体X〜Ng/、、“未知，而Oj已知，（Xl,X2,∙∙∙,Xr）为一样木.
ViV
2、X~N（O,c√）,（XpX9,X3,X4）为样木…则统计⅜'!
LlI服从的分布为（）■-Jx;+Xi
（A）N（0,1）：
（B）∕2
（2）:
（C）r
（2）:
（D）F（2,2）°
3、设随机变虽X・
•N（0,l）,而Ma满足P{X>ua}=a,若P{∖X∖（A）Ug2；（B）Mleaz2:
（C）∣∕1.2α:
（D）M（IF）/2。
Γf•
—1"
4、设总体X的二阶矩存在，（X1,X2,∙∙∙,X∕>）为一样木，X=-^Xi，
n1-1
so=⅛X）2,则E（Xl）的矩估计为（
n/-1
（A）X:
（B）Sj
二、填空题
2.设总体X~N（l,4）,（XrX29X3）为样木，X是样木均值，S，为样木方差•则
_~χ-Ll
4.设总体X〜N（μd）,（Xi9X2√∙sXn）为T羊木X是样木均值。
则U=M——尸服从
σ
的分布为>
5.设X~N（0,4）,（XliXl,X.）为样木.若要求["Xj+b（χ2-Xj]~F
（2）,则a=_
9b=O
6.设总体X在（&,&+1）上服从均匀分布，（XPX2√∙∙,XH）为一样木.则8的矩估计为一
三、计算题
k设总体X~N（1,4）,X1,X2,X5是X的样札试求E（XIXIX）P（X1X2X3）o
2、设总体X股从方差为4的正态分布，（X^X2,∙∙∙,X"）是一样木，求〃使样木均值与总休均值之差的绝对值不超过0・1的概率不小于0.95.
_1π
3.设总体X~N（4,4）∙（X1,X2√.∙,X10）为X的简单随机样本.x±∑E为样木均值.
H<-1
s2=—V（Xl.-X）2为样木方差,
〃一1Z-I
（1）求P{S>2∙908}:
（2）若5=2.5,求P{X>6∙569}°
4s设总体X的槪率密度f（x,Θ）≈
&二0*cx*cl,（x1,x2,∙∙∙,xn）为一样本，试求&的
0，其它
矩估汁。
一章练习题參考解答
三、计算题
厂50VloO
1739
9603
2.解：
令片==｛抽取的电话号码由完全不相同的数字组成｝，
2x4；2×104
〃={抽取的电话号码末位数是8}.则P（A）=2χ]05・P（B）=2χ]°5o
3、解:
P（AUBUe）=P（4）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）≈5/8
4、解：
令/1=（2件中有1件为次品｝,B=｛另一件也为次品｝•欲求P（BIA）,
厂2QIp/ΛR∖I
而P（AB）=9P（A）=I-P（A）=I--^.故P（BlA）=-^--^=-
CZH）CIO尸（A）5
Sx解：
设A=｛任取一件产品为次品｝,Bp｛任取一件产品是笫i个车间生产的｝•Z=1,2,3.
则A=BlAUB2AUBiA・且BiAyB2AyBiA两两互不相容:
已知P（Bl）=0.45,P（B2）=0∙35,P（BJ=0.20.
P（AlBI）=0∙05,P（4IB2）=0∙04,P（AIBi）=0.02:
①P（A）=P（BI）P（AIB1）+P（B2）P（AIB2）+P（B3）P（AIB3）=0.0405:
②P（BIlA）=
P（BIA）_P（Bl）P（AIBI）_5
P（A）P（A）_9
6.解：
设川=｛第i次取到一等品｝•B,=｛収到第i号箱｝•/=1.2,
AI=BIAlUAn且BiAi.BiAx两两互不相容■从而
1∣θ1IQ2
P（A1）=P（B1）P（A1IB1）+P（B2）P（A1I^2）=-.-+-.-=-s
A1A2=BIAlA2UB2A1A2,且BlA1A2,B2A1A2两两互不相容，从而
1A21A2
P（A1A2）=P（BI）P（AlA2IB1）+P（BI）P（A1A2IB2）=-∙-^+-∙-^
2A502A30
276
1421
所求为叫⑷=驚汁籍"痂6
7、解：
以仏B、C分别表示元件A、B、C正常工作之爭，由于各元件独立工作.故厶
、C相互独
立，且P（A）=0.90,P（B）=0.70,P（C）=0.70、
所求为P（ABUAC）=P（AB）+P（AC）-P（ABC）
=P（A）P（B）+P（A）P（C）-P（A）P（B）P（C）=0.819
代入P（BIA）=P（BlA）得P（AB）=P（A）P（B）9故A与〃相互独立。
Bfi机变量及其分布练习题參考答案
一、单项选择题
k（C）2、（B）3.（B）4、（A）5.（C）
6.（A）7.（C）8.（A）9.（D）O
二、填空题
1、“=_1/6_・b=5/6.X的分布为
X
-1
1
2
P
1/6
2/6
1/2
P{-l3>X-B（Uk1∕6）>X
的概率分布为P{X≈k}≈C*（∣）*（I）IO-A,k=0,1,…,10.
4.a=l∕i∣2β5.Φ（2∙28）-Φ（1.5）=0.0555C6.μ=→.σ=√2.
7、X的分布律为
X
1
2
3
P
1/2
«+1/9
0+1/18
y的分布律为
Y
1
2
P
1/3
α+ft+l∕3
p{x=y}=^+∣；
当a=M,b=1/9时.X与Y相互独立。
久X与丫的联合分布律为
-3
-2
-1
1
UlO
1/10
1/5
2
1/20
1/20
1/10
3
UlO
1/10
1/5
z=x+y的分布律为
Z
-2
-1
0
1
2
P
VIO
3/20
7/20
1/5
1/5
0,其它•
Z
0
1
P
l-l∕2e
l∕2e
三、计算题
1、解:
X的分布律为
X
1
2
3
4
P
（43-33）∕43
（33-23）∕43
（23-l）∕43
1∕43
2、解：
令眦点数为X,X-π{λ},分布律为P{X=k}=jye^x,Ar=O,!
已知P{X=0}=0.4493,故e"λ=0.4493,λ=-In0.4493«0.8,所求为
44θo⅛
P{X>4}=l_》P{X=k}=l_0・4493》+«0.0091
A«0A=Ok!
r+84.]令
3、解:
（1）由归一性得
/（x）dx=Jf（IX=Aarcsinx∖1=πA=1,所以~1√1—X1
A=l∕πro
⑵P{IXkl∕2}=∫^∕（x）dx=∫"2dx=l∕3=
0,XV-1,
F（X）=fxf{t）dx=f——dx=—arcsinx9-1≤x≤1.
J-OOJlλ∙√i-7兀
Lx>l.
4、解：
设某人造卫星偏离倾定轨道的距离为X.5次独立观测中“失败”的次数为丫,则X〜N（O,”），每次观测“失败”的概率为
P{∣X∣>1O}=1-P{∣X∕4I≤2∙5}=2-2Φ（2.5）=Ol24.
由此得Y~B（5,0∙0124）.所求概率为
P{Y≥2}=1-P{Y=Q}-P{Y=1}=I-（0.9876）5-CI（0.0124）（0.9876）4«0.0015
5、解
（1）
3/2
-X+1
-3
-1
1
3/2
3
P
1/3
1/6
1/8
1/4
1/8
X2
O
1/4
4
16
P
1/8
1/4
7/24
1/3
6、
（1）
1
2
3
1
1/9
O
O
2
2/9
1/9
O
3
2/9
2/9
1/9
（2）两个边缘分布列为
因为
（3）P（YI+Y2≤3）≈P（YI=I9Y2=1）+P（Yi=I9Y2=2）+P（Yi=2,Y2=
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