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证明圆的切线方法
我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线•在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有:
、若直线I过OO上某一点A,证明I是OO的切线，只需连0A，证明OA丄l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直
例1如图，在^ABC中，AB=AC,以AB为直径的OO交BC于D,交AC于E,
B为切点的切线交0D延长线于F.
求证:
EF与O0相切.
证明:
连结0E,AD.
•••AB是O0的直径,
•••AD丄BC.
又•••AB=BC,
•••mD=DE,/1=/2.
又•••OB=OE,OF=OF,
•••△BOFNEOF（SAS）.
•••/OBF=/OEF.
•••BF与OO相切,
•OB丄BF.
•••/OEF=9O0.
•••EF与OO相切.
说明:
此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2如图，AD是/BAC
的平分线,
P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：
PA与OO相切.
证明一：
作直径AE，连结
EC.
•/AD是/BAC
的平分线,
•••/DAB=/DAC.
•/PA=PD,
•••/2=/1+/DAC.
•//2=/B+/DAB,
•/AE是OO的直径,
0
•••AC丄EC,/E+/EAC=90.
•••/1+/EAC=900.
即OA丄PA.
•••PA与OO相切.
证明二：
延长AD交OO于E,连结
•••AD是ZBAC的平分线,
•••BE=CE,
•••OE丄BC.
•••/E+ZBDE=900.
•••OA=OE,
•••/E=/1.
P
•••/PAD=/PDA.
又•••/PDA=/BDE,
•••/1+/PAD=900
即OA丄PA.
•••PA与OO相切
说明:
此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用
如图，AB=AC,AB是OO的直径，OO交BC于D,DM丄AC于M
求证:
DM与OO相切.
证明一：
连结OD.
•/AB=AC,
•/OB=OD,
•••OD//AC.
•/DM丄AC,
•••DM丄OD.
•••DM与OO相切
证明二：
连结OD,AD.
•••AB是OO的直径,
•••AD丄BC.
又•••AB=AC,
•/DM丄AC,
•••/2+/4=90°
•••/3+/4=90°.
即OD丄DM.
•••DM是OO的切线
说明：
证明一是通过证平行来证明垂直的
•证明二是通过证两角互余证明垂直的,
解题中注意充分利用已知及图上已知
例4如图，已知：
AB是OO的直径,
C在OO上，且/CAB=3O0,BD=OB,
D在AB的延长线上.
求证:
DC是OO的切线
证明:
连结OC、BC.
•/OA=OC,
•••/A=/1=/30°.
•••/BOC=/A+/1=60°.
又•••OC=OB,
•••△OBC是等边三角形.
•••OB=BC.
•/OB=BD,
•••OB=BC=BD.
•••OC丄CD.
•••DC是OO的切线.
说明:
此题是根据圆周角定理的推论
3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较
如图，AB是OO的直径，CD丄AB，且OA2=OD-0P.
求证:
PC是OO的切线.
证明:
连结OC
•/OA2=OD•OP,OA=OC,
2
•••OC2=OD•OP,
OCOP
OD"oC
•••/OCP=/ODC.
•/CD丄AB,
0
•••/OCP=90.
•••PC是OO的切线.
说明:
此题是通过证三角形相似证明垂直的
如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于
F.
求证:
CE与^CFG的外接圆相切.
分析:
此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边
FG的中点,
为此我们取FG的中点O,连结
证明:
取FG中点O,连结OC.
•••ABCD是正方形,
•••BC丄CD,△CFG是Rt△
•/O是FG的中点,
•O是RtACFG的外心.
OC,证明CE丄OC即可得解.
•/OC=OG,
•/AD//BC,
/ADE=/CDE=450,
•••△ADECDE（SAS）
•••/4=/1,/1=/3.
•••/2+/3=90°,
•••/1+/2=90°.
即CE丄OC.
•••CE与^CFG的外接圆相切
二、若直线I与OO没有已知的公共点，又要证明I是OO的切线，只需作OA丄l,
A为垂足，证明OA是OO的半径就行了，简称：
“作垂直；证半径”
例7如图，AB=AC,D为BC中点，OD与AB切于E点.
求证：
AC与OD相切.
证明一：
连结DE，作DF丄AC，F是垂足.
•••AB是OD的切线,
•••DE丄AB.
•/DF丄AC,
•••/DEB=/DFC=900.
•/AB=AC,
•••/B=/C.
又•••BD=CD,
•••△BDECDF（AAS）
•••DF=DE.
•••F在OD上.
•••AC是OD的切线
证明二：
连结DE,AD，作DF丄AC,F是垂足.
•••AB与OD相切,
•••DE丄AB.
•/AB=AC,BD=CD,
•••/仁/2.
c
•/DE丄AB,DF丄AC,
•••DE=DF.
•••F在OD上.
•••AC与OD相切.
说明：
证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性
质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关
例8已知：
如图，AC,BD与O0切于A、B,且AC//BD，若/C0D=900.
求证：
CD是OO的切线.
证明一：
连结0A,OB，作0E丄CD,E为垂足.
•••AC,BD与O0相切,
•••AC丄0A,BD丄0B.
•/AC//BD,
0
•••/1+/2+/3+/4=180.
•••/C0D=900,
•••/2+/3=90°,/1+/4=90°.
•••/4+/5=900.
•••Rt△A0CsRt△BD0.
AC0C
0B0D
•/0A=0B,
AC0C
0A0D
又•••/CA0=/C0D=900,
又•••0A丄AC,0E丄CD,
•••OE=OA.
•••E点在OO上.
•••CD是OO的切线.
证明二：
连结OA,OB，作OE丄CD于E,延长DO交CA延长线于F.
•//COD=900,
•••CF=CD，/1=/2.
又•••OA丄AC,OE丄CD,
•••OE=OA.
•••E点在OO上.
•••CD是OO的切线.
证明三：
连结AO并延长，作OE丄CD于E,取CD中点F，连结OF.
•/AC与OO相切,
•••AC丄AO.
•/AC//BD,
•••AO丄BD.
•••BD与OO相切于B,
•••AO
的延长线必经过点B.
•••AB
是OO的直径.
•/AC
//BD,OA=OB,CF=DF,
•••OF//AC,•••/仁/COF.
•••/COD=900,CF=DF,
•••OF=-CD=CF.
2
•••/2=/COF.
•/OA丄AC,OE丄CD,•••OE=OA.
•••E点在OO上.
•••CD是OO的切线
说明：
证明一是利用相似三角形证明/1=/2,证明二是利用等腰三角形三线合一
证明/1=/2.证明三是利用梯形的性质证明/1=/2,这种方法必需先证明
三点共线.
此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解
以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考
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