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1、证明圆的切线方法推荐文档证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系， 就出现了新的一类习题， 就是证明一直线是圆的 切线在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有:、若直线I过O O上某一点 A,证明I是O O的切线，只需连 0A，证明OA丄l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直例1 如图，在 ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E,B为切点的切线交 0D延长线于F.求证:EF与O 0相切.证明:连结0E, AD. AB是O 0的直径, AD 丄 BC.又 AB=BC , mD=DE , / 1 = / 2.又 OB=OE , OF=

2、OF , BOF N EOF ( SAS)./ OBF= / OEF. BF与O O相切, OB 丄 BF./ OEF=9O0. EF与O O相切.说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是/ BAC的平分线,P为BC延长线上一点，且 PA=PD.求证：PA与O O相切.证明一：作直径AE，连结EC./ AD 是/ BAC的平分线,/ DAB= / DAC./ PA=PD,/ 2= / 1+ / DAC./ 2= / B+ / DAB ,/ AE是O O的直径,0 AC 丄 EC, / E+ / EAC=90 ./ 1 + / EAC=90 0.即OA丄PA. PA与O O相切

3、.证明二：延长AD交O O于E,连结 AD是Z BAC的平分线, BE=CE , OE 丄 BC./ E+Z BDE=90 0. OA=OE ,/ E=/ 1.P/ PAD= / PDA.又/ PDA= / BDE,/ 1 + / PAD=900即OA丄PA. PA与O O相切说明:此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用如图，AB=AC , AB是O O的直径，O O交BC于D, DM丄AC于M求证:DM与O O相切.证明一：连结OD./ AB=AC ,/ OB=OD ,OD / AC./ DM 丄 AC , DM 丄 OD. DM与O O相切证明二：连结OD , AD

4、. AB是O O的直径, AD 丄 BC.又 AB=AC,/ DM 丄 AC ,/ 2+/ 4=90/ 3+/4=90.即OD丄DM. DM是O O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的证明二是通过证两角互余证明垂直的,解题中注意充分利用已知及图上已知例4 如图，已知：AB是O O的直径,C 在O O 上，且/ CAB=3O0, BD=OB ,D在AB的延长线上.求证:DC是O O的切线证明:连结OC、BC./ OA=OC ,/ A= / 1= / 30./ BOC= / A+ / 1=60.又 OC=OB , OBC是等边三角形. OB=BC./ OB=BD , OB=BC=BD. OC

5、 丄 CD. DC是O O的切线.说明:此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较如图，AB是O O的直径，CD丄AB，且OA2=OD - 0P.求证:PC是O O的切线.证明:连结OC/ OA2=OD OP, OA=OC ,2 OC2=OD OP,OC OPOD oC/ OCP= / ODC./ CD 丄 AB ,0/ OCP=90 . PC是O O的切线.说明:此题是通过证三角形相似证明垂直的如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.求证:CE与 CFG的外接圆相切.分析:此题图上没有画出 CFG的外接圆，但 CFG是直角三角形，圆心

6、在斜边FG的中点,为此我们取 FG的中点O,连结证明:取FG中点O,连结OC. ABCD是正方形, BC 丄 CD , CFG 是 Rt/ O是FG的中点, O是RtA CFG的外心.OC,证明CE丄OC即可得解./ OC=OG ,/ AD / BC,/ ADE= / CDE=450 , ADE CDE (SAS)/ 4= / 1,/ 1 = / 3./ 2+ / 3=90,/ 1 + / 2=90.即CE丄OC. CE与 CFG的外接圆相切二、若直线I与O O没有已知的公共点， 又要证明I是O O的切线，只需作OA丄l,A为垂足，证明 OA是O O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7

7、如图，AB=AC , D为BC中点，O D与AB切于E点.求证：AC与O D相切.证明一：连结DE，作DF丄AC，F是垂足. AB是O D的切线, DE 丄 AB./ DF 丄 AC ,/ DEB= / DFC=900./ AB=AC ,/ B= / C.又 BD=CD , BDE CDF (AAS ) DF=DE. F 在O D 上. AC是O D的切线证明二：连结DE , AD，作DF丄AC , F是垂足. AB与O D相切, DE 丄 AB./ AB=AC , BD=CD ,/ 仁/2.c/ DE 丄 AB , DF 丄 AC , DE=DF. F 在O D 上. AC与O D相切.说明

8、：证明一是通过证明三角形全等证明 DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关例8 已知：如图， AC, BD与O 0切于A、B,且AC / BD，若/ C0D=900.求证：CD是O O的切线.证明一：连结0A , OB，作0E丄CD , E为垂足. AC , BD 与O 0 相切, AC 丄 0A , BD 丄 0B./ AC / BD ,0/ 1 + / 2+ / 3+ / 4=180 ./ C0D=900,/ 2+ / 3=90,/ 1 + / 4=90./ 4+ / 5=900. Rt A0C s Rt BD0.AC 0C0B 0D/ 0A=0

9、B ,AC 0C0A 0D又/ CA0= / C0D=900,又 0A 丄 AC , 0E 丄 CD, OE=OA. E点在O O上. CD是O O的切线.证明二：连结OA , OB，作OE丄CD于E,延长DO交CA延长线于F./ COD=90 0, CF=CD，/ 1= / 2.又 OA 丄 AC , OE 丄 CD , OE=OA. E点在O O上. CD是O O的切线.证明三：连结AO并延长，作 OE丄CD于E,取CD中点F，连结OF./ AC与O O相切, AC 丄 AO./ AC / BD , AO 丄 BD. BD与O O相切于B, AO的延长线必经过点 B. AB是O O的直径./ AC/ BD , OA=OB , CF=DF , OF / AC , / 仁/COF./ COD=90 0, CF=DF , OF =-CD =CF .2/ 2=/ COF./ OA 丄 AC , OE 丄 CD, OE=OA. E点在O O上. CD是O O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明/ 1 = / 2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明/ 1 = / 2.证明三是利用梯形的性质证明/ 1= / 2,这种方法必需先证明三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考