数学新课标之算法思想.docx

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数学新课标之算法思想

运用算法思想提高解题能力

——数学新课标学习心得体会

《普通高中新课标教学研究》课题研究组成员王建武

新课程改革的春风终于吹到了陇原大地，让人不禁感慨万千，五味杂陈。

记得上大学时，曾经选修过一门称作《新课程改革》课程，是由在数学教学论研究方面称为大家的西北师大数学系教授吕世虎老师讲授的。

吕教授当时讲到，同学们即将到普通高中任教数学，高中新课程改革是你们的机遇也是挑战。

说这句话的时候，海南、广东、山东、宁夏等四个省份将要率先走进新课程。

一等就是六年！

这六年，一直在守望中不断地接触一些有关新课程的书籍。

去年底，听见2010年我省将进入新课程改革时，更刺激了学习相关理论的兴趣。

2010年4月中旬，学校教导处成立了《普通高中新课标教学研究》课题研究组，我幸运的被选中成为课题组的一员。

开题大会上，教导处发放了《数学课程标准》和新课标人教版教材，爱不释手，认真研读。

新课程理念和教材的亮点很多，泛泛而谈，无太多意义。

下面，我就数学新课改中有关算法部分的学习谈一点感受。

一、算法思想和内容进入高中数学的重要意义

算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的基础。

随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的方方面面，算法思想已经成为现代人应该具备的一种重要的数学素养。

我个人认为，在高中阶段加强算法思想的渗透和联系，主要作用有以下三个方面。

1、算法思想是加强学生解题能力的主要手段

美国数学家哈尔莫斯认为，问题是数学的心脏。

数学的发展就是依托一个个数学问题的解决而实现的。

一些形式简洁美妙但蕴含道理深邃的数学问题，一直以来引领着数学的纵深发展。

我们耳熟能详的经典数学问题如“地图着色问题”，“费马大定理”，“哥德巴赫猜想”都曾一度甚至仍然困扰着数学家的思考。

可以这样说：

数学的真正组成部分是问题和解。

可以说，没有具体的问题做引领，数学史无法发展的。

对高中生而言，所谓的数学问题则显得更直接具体，就是表现为一个个数学题目或是与实际结合的实践问题。

培养学生的解题能力是数学教学的一项重要任务，尤其是在现行教育考评体制下，考查学生的解题能力是数学教育中学生评价最重要的工具，唯有通过考察学生的问题解决能力，才能客观有效地评价一个学生对数学基本思维方法、基本思想的理解与掌握。

因此，在高中数学教学中，培养和强化学生的数学解题能力，从理想和现实意义来讲，无论怎样强调都不为过。

大多数学生学习数学的现状是：

上课一听就懂，下课一看就会，题目一做就错。

作为一名一线教育工作者，我时常在反思这一尴尬现状的形成原因。

通过大量的学生访谈，我总结出主要原因在于，好多学生不会总结解题方法——即问题的算法，对于同类题目，不能总结基本解题思路和模式，解题中往往表现为瞎碰，无的放矢。

算法思想可以很好的解决这一矛盾，通过具体问题常规解法的算法总结，凝练方法，再反馈到具体做题实践中，有效指导练习。

（具体探索和应用在后面有详尽论述）

2、算法思想是学生整理和管理知识的主要依据

学生初步掌握数学知识时，在大脑中表现为浅层、杂乱无序、容易丢失。

这时，如果不依托科学有效的方法加以梳理整合，这些知识很可能在后续的紧张学习中被遗忘，这也是学生边学边忘的深层和本质原因。

而算法思想的优势不仅表现为上述解题方法的系统总结，也可用于梳理知识结构和网络，有效管理所学知识。

例如，每个章节学习结束，都可以提倡和引导学生自主作出知识结构网络图，找出一章知识的内在联系，本质关系，帮助他们记忆和理解知识。

3、算法思想是学生未来生活素养的储备

学生在校一切学习的目的，不论外在表现如何，本质上来讲都是为了将来的生活，尤其是学习生活。

系统的整理各类知识，包括本学科的、语文的、历史的、生活的等方方面面，将所学知识课即得经验进行系统整理，用已得的经验来指导未来的生活是未来学生的必备技能。

数学是系统科学的培养学生逻辑思维能力和抽象思维能力的有效工具，算法思想是帮助学生管理上述能力显性表现的有力工具，从这个意义上来讲，算法思想对高中数学教学来讲，其重要意义不言而喻。

4、算法思想是我国古代数学思想的精髓

每个人都生活在具体的地理环境和文化环境中，学会了解、接受、适应所在环境是必须的过程。

培养学生的爱国意识和民族自豪感，是新课程三维目标体系的重要构成元素，也是数学教育的应有之义。

我国古代数学思想最为光辉耀眼的部分在于精髓的算法思想。

从“割圆术”、“秦九韶算法”、“更相减损术”等具体算法中，我们能看到我们的古人对数学的执着追求和卓越贡献。

这些贡献的本质特点就是精髓的算法思想。

在教学过程中，要介绍和引导学生了解和体会中国古代数学思想的博大精深，增强他们的爱国主义情怀和民族意识。

二、算法思想和内容进入高中数学的教学初探

算法思想在我省现行课程中并没有要求和体现，但自09级高一学数学教学中，我进行了一些不成熟的尝试。

1、就系统性强的问题类型运用算法的思想总结套路

不会解题或者说不能很流畅的解题，是高中数学教学的最大尴尬，也是一线数学教师一大苦恼。

我的做法是，对一些系统性强的问题类型运用算法的思想总结套路。

举一例说明，高一数学学习了“一元二次不等式的解法”。

我引导学生将基本算法利用流程图进行了总结，通过题目加强联系，然后将基本过程凝练为一句口诀：

“二次系数化为正，接着判断判别式，二次方程求两根，依据图像写解集”，学生反映良好。

尝到甜头后，我又先后就“含绝对值不等式的解法”、“定义法证明函数的单调性”等常规问题的通用解法做了有意义的总结实践证明，这一做法是有效的。

结合高三两年辅导学生解题训练的教学实践，我草就了一篇题为《浅议四步程序法提高高中学生数学解题能力》的论文，发表于《白银教育》，与同行共同探讨。

（文章附后）

2、引导学生利用算法思想梳理整合所学知识

数学学习乃至高中全科学习的一大困惑在于学生边学边忘，对这一现象，从道德层面的谴责显得非常苍白无力，我尝试分析了这一现象形成的原因在于，学生不会或者至少不能很好的管理自己所学的知识。

认识到这一点后，在平时的教学中我注意引导学生在一章学习结束后，对知识进行系统整理，建立知识结构网络图，帮助资助管理知识，业已取得初步成效。

对算法思想的认识还远远没有达到，算法思想的作用还远远没有得到发挥，在今后的教学中，要抓住全省推广新课程改革的历史契机，加强专业学习，加强实践，争取这一思想在自己的教学中放射更耀眼的光芒。

我想，不只是算法思想，所有新课程引入的重要数学思想，我们都应该认真学习，深刻体会，指导教学实践。

附：

浅议四步程序法提高高中学生数学解题能力

白银市实验中学王建武

美国数学家哈尔莫斯认为，问题是数学的心脏。

数学的发展就是依托一个个数学问题的解决而实现的。

一些形式简洁美妙但蕴含道理深邃的数学问题，一直以来引领着数学的纵深发展。

我们耳熟能详的经典数学问题如“地图着色问题”，“费马大定理”，“哥德巴赫猜想”都曾一度甚至仍然困扰着数学家的思考。

可以这样说：

数学的真正组成部分是问题和解。

对高中生而言，所谓的数学问题则显得更直接具体，就是表现为一个个数学题目或是与实际结合的实践问题。

培养学生的解题能力是数学教学的一项重要任务，尤其是在现行教育考评体制下，考查学生的解题能力是数学教育中学生评价最重要的工具，唯有通过考察学生的问题解决能力，才能客观有效地评价一个学生对数学基本思维方法、基本思想的理解与掌握。

因此，在高中数学教学中，培养和强化学生的数学解题能力，无论怎样强调都不为过。

四步程序法是经过教学检验的行之有效的解题能力训练方法。

其基本操作流程分简单模仿、变式练习、自发领悟和自觉分析四步。

下面结合直线与圆锥曲线相交形成图形面积的最值问题来论述四步程序法的具体操作过程。

一、简单模仿

“模仿是学习的开始”。

此即模仿教师或教科书提供的范例来解决一些识记性的问题。

这是一个通过观察被模仿对象的行为，获得相应的表象，从而产生类似行为的过程，也是对解题的基本模式加以认识并开始积累的过程。

新课讲授中学生观察教师的例题板书或阅读教材中例题解答的过程就是简单模仿的体现。

简单模仿是学生探索解题思路的开始和积累。

此步骤训练中强调学生练习低难度的同类问题，熟悉同类问题求解的一般过程，此时要着重加强学生解题过程的规范性。

例1、直线

与椭圆

相交于

两点，

到直线

的距离为

求

面积的最大值。

简解如下：

解：

分弦所在直线是否垂直与轴讨论。

A

（1）当

轴时，

；

（2）当

与

轴不垂直时，

设

所在直线方程为

，B

直线与圆锥曲线方程联立得

，

则有

，当且仅当

时等号成立。

所以，三角形面积的最大值为

。

这是一道基础题，教学中可通过此例来说明解答此类问题的一般思路在于联立方程寻找关系——最后将最值问题化归为函数的——值域问题，其中最值的求法乃是又一关键所在。

接着可以用大量的同类题目练习，使得学生对于解决此类问题有直观感受。

同时注意题目的细节变化，顺势由简单模仿导入下一环节。

二、变式练习

变式练习是在简单模仿的基础上没出的主动实践的一步，主要表现为做数量足够、形势变化的的习题，本质上是进行操作性活动与初步应用。

其作用首先是通过变换方式或添加次数来增强效果，巩固记忆、熟练技能，其次是通过必要的实践来积累理解所需的操作数量和经验、体会。

在此阶段题目可做适度变化，难度也需有所提高。

使得学生可以通过变化的条件总结同类题目的共性，凝练方法。

例2在例1的基础上做了调整，求面积的图形由三角形变为四边形，增加了问题的难度。

例2、椭圆

上有

四点，

为椭圆在

轴正半轴的焦点，已知

三点共线，

三点共线，且

，求四边形

面积的最值。

解：

（1）当

，

不是两坐标轴时，

设

直线方程为

；

则

的直线方程为

。

PQ直线方程与椭圆方程联立得：

，

有

，同理有

，则

，得

，当且仅当

时取最小值

。

（2）当

为坐标轴时，

。

所以，

。

题目的主干信息大致不变，难度加大，使学生对变化的条件学会把握，并体会到虽然条件变化了，难度加大了，但问题的本质仍然保持不变，则求解方法大同小异。

三、自发领悟

即在模仿法练习与干扰性练习的基础上产生理解—解题知识的内化，形成一些主动地、浅显的认识与经验，慢慢体会同类问题的共性与各自的不同特点。

由于两个步骤已经做了大量的变式练习，学生在老师的引导下一对该类问题的解答通法有了直观印象，接着要做的工作便是自己总结套路，摸索解法。

此步骤题目仍可稍做变型，力图在老师的有效引导下有学生自主探索。

例3、已知椭圆

的左焦点分别为

，过

的直线交椭圆与

两点，过

的直线交椭圆于

两点，且

，垂足为

，求四边形

面积的最小值。

分析：

设直线

的斜率为

。

联立方程利用韦达定理有，

下面利用均值不等式求最值。

（略）

四、自觉分析

对解题过程进行自觉反思，使理解进入深层结构，利用第三步已经形成的基本感性经验，在此基础上自觉分析，总结问题的一般模型，解决此类问题的一般思路与步骤，进而升华为一种基于固定的解题模式。

这时学生对此类问题的认识已到了理性分析的阶段，解答问题的过程中是利用已有的程式进行有效分析，而不是瞎撞。

同时，问题的编排仍要适度拔高难度，增加分析过程中的思维量，使学生能够体会到即使同类的数学问题仍然有各自的特点，但同时又万变不离其宗，是一种辩证的统一。

例4、椭圆方程为

，直线

过椭圆右焦点

交椭圆于

两点，求三角形

的最大值。

分析：

此题若设直线方程为

，

则联立方程难以计算，而且化归最后

得到的函数形式最值比较难求。

故将直线方程设为

，

与椭圆方程联立得

，显然，

，则

由

，

换元令

，求得

。

法一：

以

为两三角形的底边。

例5、椭圆方程为

，直线

交椭圆于

两点，求四边形面积的最大值。

法一：

以

为两三角形底边，高分别为

到

的距离和E到

的距离

则

，

当且仅当

时取最值。

此法的主要困难在于

两个三角形的高不易求得。

随转换思路为分别以

为底构造三角形。

法二：

四步程序教学法的关键在于教师在备课中要大量研究习题，找出共同点，总结凝练出重要题型，再按照上述要求将题目由易到难整理顺序。

在操作过程中则要注意教师的主导作用，教师要引导学生自己感触，领悟最后到总结分析。

经过一线的教学实践证明，四步程序法提高高中学生数学解题能力是行之有效的方法。