第09章 曲线积分与曲面积分习题详解.docx

1、第09章 曲线积分与曲面积分习题详解第九章 曲线积分与曲面积分习题详解第九章 曲线积分与曲面积分习题 9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1） I =Lxds ，其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A(0,1) 到 B(1 1, 2 2) 之间的一段劣弧；解: L = AB 的参数方程为：y x = cos , y = sin ( 4 2) ，于是A12) oBCx（2）L( x + y + 1)ds ，其中 L 是顶点为 O(0, 0), A(1, 0) 及 B(0,1) 所成三角形的边界；解: L 是分段光滑的闭曲线，如图 92 所示，根据积分的可加性，则有yB(0,1)L(x

2、 + y + 1)dsoA(1,0) x= OA ( x + y + 1)ds +AB (x + y + 1)ds +BO ( x + y + 1)ds ，由于 OA : y = 0 ， 0 x 1，于是ds = (dx 2 dy 2 2 2dx dx故OA1( x + y + 1)ds = 0 ( x + 0 + 1)dx =32，而 AB : y = 1 x , 0 x 1，于是故ds = (dx 2 dydx dxAB10同理可知 BO : x = 0 （ 0 y 1）， ds = (dx 2 dydy dyBO1( x + y + 1)ds = 0 0 + y + 1dy =32综上所

3、述L(x y + 1)ds =3 32 21=cosd=(1+)+()dx=1+0dx=dx，)+()2dx=12+(1)2dx=2dx(x+y+1)ds=x+(1x)+12dx=22，)+()2dy=02+12dy=dy，则+22+=3+22第九章 曲线积分与曲面积分习题详解（3）L2解直接化为定积分 L1 的参数方程为yLx =1 1 12 2 2o1x且L于是ds = x( )2 + y( )2 d =12d L20cos 12 2（4）L2D(1, 2,3) ；解如图所示，zL2AB2BC2CD2B(0, 0, 2)C(1, 0, 2)D(1, 2,3)线段 AB 的参数方程为 x =

4、 0, y = 0, z = 2t(0 t 1) ，则ds = (dx 2 dy dzdt dt dtxA(0,0, 0)y= 02 + 02 + 22 dt = 2dt ，故ABx 2 yzds =100 0 2t 2dt = 0 线段 BC 的参数方程为 x = t, y = 0, z = 2(0 t 1) ，则ds = 12 + 02 + 02 dt = dt,故BC10线段 CD 的参数方程为 x = 1, y = 2t, z = 2 + t(0 t 1) ，则ds = 02 + 22 + 12 dt = 5dt ，故2+cos,y=sin（02）,2d=2)+()2+()22第九章

5、曲线积分与曲面积分习题详解CD1 11 2t (2 + t ) 5dt = 2 50 0835，所以L2AB2BC2CD2835 （5）L2解先将曲线 L 用参数方程表示，由于 L 是球面zx2 + y 2 + z 2 = 1 与经过球心的平面 x + y + z = 0 的交线，如图 所 示 ，因此是空间一个半径为1的圆周，它在 xOy 平面上的投影为椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去 z 而得到，即以 z = ( x + y) 代入xoyx2 + y 2 + z 2 = 1 有 x2 + xy + y 2 =12，将其化为参数方程，令3 1x =2 2cos t ，即 x =23cos

6、t ，x2+ y =12sin t ，即有y =1 1sin t 2 6cos t ，代入 x2 + y 2 + z 2 = 1 （或 x + y + z = 0 中）得 z =12sin t 16cos t ，从而 L 的参数方程为x =23cos t ， y =1 1sin t 2 6cos t ， z = 1 1sin t 2 6cos t (0 t 2 ) 则ds = x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 dt=23sin 2 t + (cos t sin t 2 sin t cos t 22 6 6 2+ ) + ( ) dt = dt ,所以L202 2 2 2 23 32

7、设一段曲线 y = ln x (0 a x b) 上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量解L2L : y = ln x (0 a x b) 则 L 的参数方程为 x = x y = ln x(0 0）；121=b2(1+sint)dt=b2。2（3）双纽线(x+y)=a(xy)，（b0）。第九章 曲线积分与曲面积分习题详解由格林公式，得L( y x)dx + (3x + y)dy = (3 1)dxdyD= 2 dxdy = 18 。D(2)L3段，方向是顺时针方向。解令 P(x, y) = y ， Q( x, y) = 3 sin y x ，则QxPyx 由 1 变化到-1，

8、故有Lydx + ( 3 sin y x)dyyB(2,1)=ABCA3 3CAA(1,0)oC (1,0)x1(2)dxdy 0 dx = 21D D其中 D 为 ABCA 所围成的闭区域(3)L (exsin y my)dx + (e x cos y m)dy ， 其 中 m 为 常 数 ， L 为 圆x 2 + y 2 = 2ax 上从点 A(2a, 0) 到点 O(0, 0) 的有向上半圆。解 如右图所示，设从点 O 到点 A 的有向直线段的方程为OA : y = 0 ， x 从 0 变到 2a 。则 OA 与曲线 L 构成一闭曲线，设它所围成闭区域为 D ，令yP = e x sin

9、 y my ， Q = e x cos y m ，QP= e x cos y m ，-1= e x cos y ，xy0(0,0)oA(2a,0)x由格林公式，得L+OA(e x sin y my)dx + (e x cos y m)dy = mdxdyD而= m dxdy =D12m a 2 。OA82a0=11=2，且线段CA:y=0，=dxdy=2(exsinymy)dx+(excosym)dy=(exsin0m0)+(excos0m)0dx第九章 曲线积分与曲面积分习题详解= 0 ，故L (exsin y my)dx + (e x cos y m)dy =L+OA(e x sin y

10、my)dx + (e x cos y m)dyOA (e x sin y my)dx + (e x cos y m)dy=1212(4)Lxdy ydxx 2 + y 22 2解令 P(x, y) =2 y， Q( x, y) =2x， 则 当 (x, y) (0,0) 时 ，PyQ y 2 x2= =x ( x2 + y 2 )2，但积分曲线 L 所围区域包含点 (0,0) ， P(x, y), Q(x, y) 在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将y奇点 (0,0) 去掉，为此作半径足够小的圆 C : x2 + y 2 = 2 ，使ocxC 位于 L 的内部，如图右

11、所示 C 的参数方程为x = cos ， y = sin ， 0, 2 ，C 取逆时针方向于是Lxdy ydxx2 + y 2=L +Cxdy ydxx2 + y 2Cxdy ydxx2 + y 2，其中 C 表示 C 的负方向由格林公式则有xdy ydx其中 D 为 L 与 C 所围成的闭区域故xdy ydx xdy ydx L x2 + y 2 = C x2 + y 2 =Cxdy ydxx2 + y 220= 02 cos d ( sin ) sin d ( cos ) 2 cos2 + 2 sin 2 (5)Lunds ，其中 u( x, y) = x 2 + y 2 ， L 为圆周

12、x 2 + y 2 = 6 x 取逆时针方向，un是 u 沿 L 的外法线方向导数。解 由于un=uxcos(n, x) +uycos(n, y) = 2x cos 2 y cos ，其中 , 是在曲线 L 上点( x, y) 处的切线的方向角，故 Lunds =(2x cos 2 y cos )ds 根据两类曲线积分之间的9，其中L为椭圆4x+y=1，取逆时针方向；L+Cx2+y2=D0dxdy=0，=d=2第九章 曲线积分与曲面积分习题详解联系及格林公式，有u L nds =L(2 y cos + 2x cos )ds =L(2 y)dx + 2xdy = 4dxdy D因为 L 为圆周 x2 + y 2 = 6x ，所以 L 所围成的圆的面积 = 9 ，因此u3 证明下列曲线积分在整个 xOy 面内与路径无关，并计算积分值:(1)(0,0)(2,1)(2x + y)dx + ( x 2 y)dy ；解 令 P