第09章 曲线积分与曲面积分习题详解.docx
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第09章曲线积分与曲面积分习题详解
第九章曲线积分与曲面积分习题详解
第九章曲线积分与曲面积分
习题9-1
1计算下列对弧长的曲线积分：
（1）I=
∫L
xds，其中L是圆x2+y2=1中A（0,1）到B（
11
−
22
）之间的一段劣弧；
解:
L=AB的参数方程为：
y
ðð
x=cos⎝,y=sin⎝（−≤⎝≤
42
），于是
A
−
−
1
2
）．
o
B
C
x
（2）
∫
L
（x+y+1）ds，其中L是顶点为O（0,0）,A（1,0）及B（0,1）所成三角形的边界；
解:
L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，
则有
y
B（0,1）
∫
L
（x+y+1）ds
o
A（1,0）x
=∫OA（x+y+1）ds+∫AB（x+y+1）ds+∫BO（x+y+1）ds，
由于OA:
y=0，0≤x≤1，于是
ds=（
dx2dy222
dxdx
故
∫OA
1
（x+y+1）ds=∫0（x+0+1）dx=
3
2
，
而AB:
y=1−x,0≤x≤1，于是
故
ds=（
dx2dy
dxdx
∫
AB
1
0
同理可知BO:
x=0（0≤y≤1），ds=（
dx2dy
dydy
∫BO
1
（x+y+1）ds=∫0[0+y+1]dy=
3
2
．
综上所述
∫
L
（x−y+1）ds=
33
22
1
=∫ðcos⎝d⎝=（1+
）+（）dx=1+0dx=dx，
）+（）2dx=12+（−1）2dx=2dx．
（x+y+1）ds=∫[x+（1−x）+1]2dx=22，
）+（）2dy=02+12dy=dy，则
+22+=3+22．
第九章曲线积分与曲面积分习题详解
（3）
∫
L
2
解
直接化为定积分．L1的参数方程为
y
L
x=
111
222
o
1
x
且
L
于是
ds=[x′（⎝）]2+[y′（⎝）]2d⎝=
1
2
d⎝．
∫
L
2
0
cos
⎝1
22
（4）
∫
L
2
D（1,2,3）；
解
如图所示，
z
∫
L
2
AB
2
BC
2
CD
2
B（0,0,2）
C（1,0,2）
D（1,2,3）
线段AB的参数方程为x=0,y=0,z=2t（0≤t≤1），则
ds=（
dx2dydz
dtdtdt
x
A（0,0,0）
y
=02+02+22dt=2dt，
故
∫
AB
x2yzds=
∫
1
0
0⋅0⋅2t⋅2dt=0．
线段BC的参数方程为x=t,y=0,z=2（0≤t≤1），则
ds=12+02+02dt=dt,
故
∫
BC
1
0
线段CD的参数方程为x=1,y=2t,z=2+t
（0≤t≤1），则
ds=02+22+12dt=5dt，
故
2
+cos⎝,y=sin⎝（0≤⎝≤2ð）,
2ð
⋅d⎝=2．
）+（）2+（）2
2
第九章曲线积分与曲面积分习题详解
∫
CD
11
1⋅2t⋅（2+t）⋅5dt=25
00
8
3
5，
所以
∫
L
2
AB
2
BC
2
CD
2
8
3
5．
（5）
∫
L
2
解
先将曲线L用参数方程表示，由于L是球面
z
x2+y2+z2=1与经过球心的平面x+y+z=0的交线，如图所示，
因此是空间一个半径为1的圆周，它在xOy平面上的投影为椭圆，
其方程可以从两个曲面方程中消去z而得到，即以z=−（x+y）代入
x
o
y
x2+y2+z2=1有x2+xy+y2=
1
2
，将其化为参
数方程，令
31
x=
22
cost，即x=
2
3
cost，
x
2
+y=
1
2
sint，即有
y=
11
sint−
26
cost，代入x2+y2+z2=1（或x+y+z=0中）
得z=−
1
2
sint−
1
6
cost，从而L的参数方程为
x=
2
3
cost，y=
11
sint−
26
cost，z=−
11
sint−
26
cost（0≤t≤2ð）．
则
ds=[x′（t）]2+[y′（t）]2+[z′（t）]2dt
=
2
3
sin2t+（
costsint2sintcost2
2662
+）+（−）dt=dt,
所以
∫
L
2
0
222ð22
33
2设一段曲线y=lnx（0平方，求其质量．
解
L
2
L:
y=lnx（0
⎧x=x
⎨
⎩y=lnx
（0故
3
22
2ð
∫0costdt=3ð．
cos2tdt=
依题意曲线的线密度为〉=x2，故所求质量为M=∫xds，其中
第九章曲线积分与曲面积分习题详解
所以
2
ds=1+⎜⎟dx=1+2dx=
⎝dx⎠xx
2
M=∫a
b
x2
x
33
222
度〉=1。
解
设曲线在xOy,yOz,zOx坐标平面内的弧段分别为L1、L2、L3，曲线的重心坐标为
（x,y,z），则曲线的质量为M=∫
L+L+L
ds=3∫Lds=3⋅
2ð3ð
=
42
．由对称性可得重心坐标
x=y=z=
1
M
∫
L+L+L
xds=
1
M
（∫L
LL
xds+
）
=
1
M
（∫L
xds+0+∫Lxds）=
2
M
∫L
xds
=
2
M
∫0
1
xdx
1−x
2
=
24
=
M3ð
．
⎛444
,
⎝3ð3ð3ð
⎞
⎠
习题9.2
1设L为xOy面内一直线y=b（b为常数），证明
∫LQ（x,y）dy=0。
证明：
设L是直线y=b上从点（a1,b）到点（a2,b）的一段，其参数方程可视为
y=y（x）=b，（a1≤x≤a2），
于是
∫L
a
Q（x,y）dy=∫aQ（x,b）⋅0⋅dx=0。
2计算下列对坐标的曲线积分：
4
⎛dy⎞
11
1+xdx，
11
1+xdx=[（1+x2）]ba=[（1+b2）2−（1+a2）]．
2
3求八分之一球面x+y+z=1（x≥0,y≥0,z≥0）的边界曲线的重心，设曲线的密
故所求重心坐标为⎜
⎟．
第九章曲线积分与曲面积分习题详解
（1）
∫L
xydx，其中L为抛物线y2=x上从点A（1,−1）到点B（1,1）的一段弧。
22
1。
因此
∫L
11
−1−1
（2）
∫
L
（x2+y2）dx+（x2−y2）dy，其中L是曲线y=1−1−x从对应于x=0时的点到
x=2时的点的一段弧；
解
y
L1
L2
o
1
2
x
L1的方程为y=x（0≤x≤1），则有
∫
L
（x2+y2）dx+（x2−y2）dy=
∫
1
0
2x2dx=
2
3
．
L2的方程为y=2−x（1≤x≤2），则
∫
L
（x2+y2）dx+（x2−y2）dy
22
11
=∫
2
1
2（2−x）2dx=
2
3
．
所以
∫
L
（x2+y2）dx+（x2−y2）dy=
4
3
．
（3）
∫L
ydx+xdy,L是从点A（−a,0）沿上半圆周x2+y2=a2到点B（a,0）的一段弧；
解
y
A（−a,0）o
B（a,0）
x
利用曲线的参数方程计算．L的参数方程为:
x=acos⎝,y=asin⎝，在起点A（−a,0）处
5
解将曲线L的方程y=x视为以y为参数的参数方程x=y，其中参数y从−1变到
4
24
5
=∫[x2+（2−x）]dx+∫[x2−（2−x）]⋅（−1）dx
2
2
第九章曲线积分与曲面积分习题详解
参数值取ð，在终点B（a,0）处参数值相应取0，故⎝从ð到0．则
∫L
00
ðð
（4）
∫L
22
C（a,0）到终点B（0,−a）的路径；
解利用曲线的参数方程计算．L的参数方程为:
x=acos⎝,y=asin⎝，在起点A（0,a）
处参数值取
ð
2
，在终点B（0,−a）处参数值相应取−
ð
2
，则
∫L
−
2
ð
−
2
ð
ð
4
（5）
∫L
322
解直线AB的方程为
xyz
==
321
化成参数方程得
x=3t，y=2t，z=t，t从1变到0。
所以
∫L
0
xdx+3zydy−xydz=∫1[（3t）3+3t（2t）2−（3t）2t]dt
0
=87∫1tdt=−
87
4
。
（6）I=
∫L
⎧x2+y2=1,
（z−y）dx+（x−z）dy+（x−y）dz，L为椭圆周⎨
⎩x−y+z=2,
且从z轴
正方向看去，L取顺时针方向。
解L的参数方程为
x=cost，y=sint，z=2−cost+sint，t从2ð变到0，
I=
∫
L
（z−y）dx+（x−z）dy+（x−y）dz
0
2ð
6
22
=2a4∫ð2sin2⎝cos2⎝d⎝=−
322
322
3
=∫（3cos2t−sin2t−2sint−2cost）dt=−2ð。
第九章曲线积分与曲面积分习题详解
3设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置（x1,y1,z1）沿直线移到
（x2,y2,z2）时重力所作的功。
解因为力
ur
F=（0,0,mg）
所以
z
−z
z
习题9.3
1.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
⎧x=acos3t,
（1）星形线⎨3
⎩y=asint,
（0≤t≤2ð）；）
解A=
1
2
ð
3232
ðð
2
00
22
解设圆的参数方程为x=bcost,y=b+bsint,t从0变到2ð.那么
A=
1
2∫L
2ð
0
2ð
0
222222
解把双纽线的参数方程代入到公式A=
1
2
∫
L
xdy−ydx即可求得所要求的面积a2。
2利用格林公式计算下列曲线积分:
（1）
∫
L
（y−x）dx+（3x+y）dy，其中L是圆（x−1）2+（y−4）2=9，方向是逆时针
方向；
解设闭曲线L所围成闭区域为D，这里
P=y−x，Q=3x+y，
∂Q
∂x
=3，
∂P
∂y
=1，
7
1
∫Lxdy−ydx=2⋅4∫02[acost3asintcost−asint3acost（−sint）]dt
3
=6a2∫∫2cos2tsin2tdt=ða2。
[cos4tsin2t+sin4tcos2t]dt=6a2
8
（2）圆x+y=2by，（b>0）；
1
2
1
=b2⋅∫（1+sint）dt=ðb2。
2
（3）双纽线（x+y）=a（x−y），（b>0）。
第九章曲线积分与曲面积分习题详解
由格林公式，得
∫
L
（y−x）dx+（3x+y）dy=∫∫（3−1）dxdy
D
=2∫∫dxdy=18ð。
D
（2）
∫L
3
段，方向是顺时针方向。
解
令P（x,y）=y，Q（x,y）=3siny−x，则
∂Q
∂x
∂P
∂y
x由1变化到-1，故有
∫L
ydx+（3siny−x）dy
y
B（2,1）
=
∫
ABCA
33
CA
A（−1,0）
o
C（1,0）
x
−1
（−2）dxdy−0⋅dx=2
1
DD
其中D为ABCA所围成的闭区域．
（3）
∫L（e
x
siny−my）dx+（excosy−m）dy，其中m为常数，L为圆
x2+y2=2ax上从点A（2a,0）到点O（0,0）的有向上半圆。
解如右图所示，设从点O到点A的有向直线段的方程为
OA:
y=0，x从0变到2a。
则OA与曲线L构成一闭曲线，设它所围成闭区域为D，令
y
P=exsiny−my，Q=excosy−m，
∂Q
∂P
=excosy−m，
-1=excosy，
∂x
∂y
0（0,0）
o
A（2a,0）
x
由格林公式，得
∫
L+OA
（exsiny−my）dx+（excosy−m）dy=∫∫mdxdy
D
而
=m∫∫dxdy=
D
1
2
mða2。
∫OA
8
2a
0
−=−1−1=−2，且线段CA:
y=0，
=−∫∫∫∫∫dxdy=2．
（exsiny−my）dx+（excosy−m）dy=∫[（exsin0−m0）+（excos0−m）0]dx
第九章曲线积分与曲面积分习题详解
=0，
故
∫L（e
x
siny−my）dx+（excosy−m）dy=
∫
L+OA
（exsiny−my）dx+（excosy−m）dy
−∫OA（exsiny−my）dx+（excosy−m）dy
=
1
2
1
2
（4）
∫
L
xdy−ydx
x2+y2
22
解
令P（x,y）=
2
−y
，Q（x,y）=
2
x
，则当（x,y）≠（0,0）时，
∂P
∂y
∂Qy2−x2
==
∂x（x2+y2）2
，
但积分曲线L所围区域包含点（0,0），P（x,y）,Q（x,y）在该点不
具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将
y
奇点（0,0）去掉，为此作半径足够小的圆C:
x2+y2=™2，使
o
c
™
x
C位于L的内部，如图右所示．C的参数方程为
x=™cos⎝，y=™sin⎝，⎝∈[0,2ð]，
C取逆时针方向．于是
∫
L
xdy−ydx
x2+y2
=
∫
L+C
xdy−ydx
x2+y2
−
∫
C
xdy−ydx
x2+y2
，
其中C−表示C的负方向．由格林公式则有
xdy−ydx
其中D为L与C所围成的闭区域．故
xdy−ydxxdy−ydx
∫Lx2+y2=−∫Cx2+y2=
∫
C
xdy−ydx
x2+y2
2ð
0
=∫0
2ð
™cos⎝d（™sin⎝）−™sin⎝d（™cos⎝）
™2cos2⎝+™2sin2⎝
（5）
∫
L
∂u
∂n
ds，其中u（x,y）=x2+y2，L为圆周x2+y2=6x取逆时针方向，
∂u
∂n
是u沿L的外法线方向导数。
解由于
∂u
∂n
=
∂u
∂x
cos（n,x）+
∂u
∂y
cos（n,y）=2xcos®−2ycos〈，其中〈,®是在曲线L上点
（x,y）处的切线的方向角，故∫
L
∂u
∂n
ds=
∫
（2xcos®−2ycos〈）ds．根据两类曲线积分之间的
9
，其中L为椭圆4x+y=1，取逆时针方向；
∫L+C−x2+y2=∫D∫0⋅dxdy=0，
=∫d⎝=2ð．
第九章曲线积分与曲面积分习题详解
联系及格林公式，有
∂u
∫L∂nds=
∫
L
（−2ycos〈+2xcos®）ds=
∫
L
（−2y）dx+2xdy=∫∫4dxdy．
D
因为L为圆周x2+y2=6x，所以L所围成的圆的面积⎛=9ð，因此
∂u
3证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值:
（1）
∫（0,0）
（2,1）
（2x+y）dx+（x−2y）dy；
解令P
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