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1、七年级下册第一章复习教案 DSE 金牌数学专题系列 第一章 整式的运算一、导入二、知识点复习1、代数式：2、单项式:由数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。单项式不含加减运算，分母中不含字母。3、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式含加减运算。4、整式:单项式和多项式统称为整式。二、公式、法则：（1）同底数幂的乘法：aman=am+n（同底，幂乘，指加）逆用： am+n =aman（指加，幂乘，同底）（2）同底数幂的除法：aman=am-n（a0）。（同底，幂除，指减）逆用：am-n = aman（a0）（指减，幂除，同底）（3）幂的乘方：（am）n =amn（底数不变，指数相乘）逆用：am

2、n =（am）n（4）积的乘方：（ab）n=anbn 推广：逆用， anbn =（ab）n（当ab=1或-1时常逆用）（5）零指数幂：a0=1（注意考底数范围a0）。（6）负指数幂： (底倒，指反)（7）单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc。（8）多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。（9）平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果= 推广（项数变化）：连用变化：三、经典专题讲解考点一：整式的乘法【例1】已知x=5，y=4，求代数式3（x+y） 3（xy）2（xy）（x+y） 2的值 【变式】

3、当x=2 005时，求代数式（3x2）（x22x3）+3x（x32x23x）+2 005的值 【例2】已知单项式9am+1bn+1与2a2m1b2n1的积与5a3b6是同类项，求m，n的值【例3】求图中阴影部分的面积（图中长度单位：米）【变式】李老师刚买了一套2室2厅的新房，其结构如下图所示（单位：米）施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖，李老师打算把卧室1铺上地毯，其余铺地板砖问：（1）他至少需要多少平方米的地板砖？（2）如果这种地砖板每平方米m元，那么李老师至少要花多少钱？【例4】小明找来一张挂历画包数学课本，已经课本长a厘米，宽为b厘米，高为c厘米，小明想将课本封面与底面的每

4、一边都包进去m厘米，问小明应在挂历上裁下一块多大的长方形？考点二：平方差公式【例1】已知a+b=3，ab=2，求a2+b2；【变式】若已知a+b=10，a2+b2=4，ab的值呢？【例2】解不等式（3x-4）2（-4+3x）（3x+4）【变式1】利用平方差公式计算：2021【变式2】计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a2）【例3】计算：（2+1）（22+1）（24+1）（22n+1）+1（n是正整数）； 【变式】（3+1）（32+1）（34+1）（32008+1）【例4】（一题多变题）利用平方差公式计算：2009200720082【变式】一变：（1）利用平方差公式计算： （2）二变：

5、利用平方差公式计算：【例5】观察下列各式的规律 12+（12）2+22=（12+1）2； 22+（23）2+32=（23+1）2； 32+（34）2+42=（34+1）2； （1）写出第2007行的式子；（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的【变式】已知x1，计算（1+x）（1x）=1x2，（1x）（1+x+x2）=1x3，（1x）（1+x+x2+x3）=1x4 （1）观察以上各式并猜想：（1x）（1+x+x2+xn）=_（n为正整数） （2）根据你的猜想计算： （12）（1+2+22+23+24+25）=_ 2+22+23+2n=_（n为正整数） （x1）（x99+x98+x97+x

6、2+x+1）=_ （3）通过以上规律请你进行下面的探索： （ab）（a+b）=_ （ab）（a2+ab+b2）=_ （ab）（a3+a2b+ab2+b3）=_四、过手训练 1下列说法正确的是（ ） A多项式乘以单项式，积可以是多项式也可以是单项式； B多项式乘以单项式，积的次数等于多项式的次数与单项式次数的积； C多项式乘以单项式，积的系数是多项式系数与单项式系数的和； D多项式乘以单项式，积的项数与多项式的项数相等 2判断： （1）（3x+y）=x+y （ ） （2）3x（xy）=3x23xy （ ） （3）3（m+2n+1）=3m+6n+1 （ ） （4）（3x）（2x23x+1）=6x3

7、9x2+3x （ ） （5）若n是正整数，则（）2n（32n+1+32n1）= （ ） 3若x（3x4）+2x（x+7）=5x（x7）+90，则x等于（ ） A2 B2 C D 4下列计算结果正确的是（ ） A（6xy24x2y）3xy=18xy212x2y B（x）（2x+x21）=x32x2+1 C（3x2y）（2xy+3yz1）=6x3y29x2y2z+3x2y D（an+1b）2ab=an+2ab2 5x（yz）y（zx）+z（xy）的计算结果是（ ） A2xy+2yz+2xz B2xy2yz C2xy D2yz 6计算：（1）（a3b）（6a） （2）xn（xn+1x1）（3）5a（

8、a+3）a（3a13） （4）2a2（ab+b2）5ab（a21）7下列运算中，正确的是（ ） A（a+3）（a-3）=a2-3 B（3b+2）（3b-2）=3b2-4C（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D（x+2）（x-3）=x2-68在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A（x+1）（1+x） B（ a+b）（b-a）C（-a+b）（a-b） D（x2-y）（x+y2）9对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（ ）A3 B6 C10 D910若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（ ）A5 B-5 C10 D-

9、10五、巩固练习 1判断： （1）7a38a2=56a6 （ ） （2）8a58a5=16a16 （ ） （3）3x45x3=8x7 （ ） （4）3y35y3=15y3 （ ） （5）3m25m3=15m5 （ ） 2下列说法完整且正确的是（ ） A同底数幂相乘，指数相加； B幂的乘方，等于指数相乘； C积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘； D单项式乘以单项式，等于系数相乘，同底数幂相乘 38b2（a2b）=（ ） A8a2b3 B8b3 C64a2b3 D8a2b3 4下列等式成立的是（ ） A（x2）3（4x）2=（2x2）8 B（1.7a2x）（ax4）=1.1a

10、3x5 C（0.5a）3（10a3）3=（5a4）5 D（2108）（5107）=1016 5下列关于单项式乘法的说法中不正确的是（ ） A单项式之积不可能是多项式； B单项式必须是同类项才能相乘； C几个单项式相乘，有一个因式为0，积一定为0； D几个单项式的积仍是单项式 6计算：（xn）n36xn=（ ） A36xn B36xn3 C36xn2+n D36x2+n 7计算：（1）（2.5x3）2（4x3） （2）（104）（5105）（3102）（3）（a2b3c4）（xa2b）3 8化简求值：3a3bc22a2b3c，其中a=1，b=1，c=9（ x+3）2-（x-3）2=_10（1）（

11、2a-3b）（2a+3b）； （2）（-p2+q）（-p2-q）； （3）（x-2y）2； （4）（-2x-y）211（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）12有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路的宽为n，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，验证了什么公式？答案：考点一203（x+y） 3（xy）2（xy）（x+y） 2=（）3（x+y）3（xy）4（xy）2（x+y）2=（x+y）5（xy）3，把x=5，y=4，代入得25 600 000 21（3x2）（x22x3

12、）+3x（x32x23x）+2 005 =3x4+6x3+9x2+3x46x39x2+2 005=2 005 不用再将x=2 005代入了，无论x取何值，该代数式都等于2 005229am+nbn+1（2a2m1b2n1）=9（2）am+1a2m1bn+1b2n1=18a3mb3n因与5a3b6是同类项，所以3m=3，3n=6，解得m=1，n=223去括号，得x23x+x3=2x2+3xx2+1，移项得x23x+x2x23x+x2=1+3，合并同类项得5x=4，系数化为1，得x=24去括号，得9x212x+12x169x2+27x18x54，移项，得27x+18x54+16，合并同类项，得9x

13、38，x（-4+3x）（3x+4）， （3x）2+23x（-4）+（-4）2（3x）2-42， 9x2-24x+169x2-16， -24x-32 x 点拨：先利用完全平方公式，平方差公式分别把不等式两边展开，然后移项，合并同类项，解一元一次不等式20（1）（2007）2+（20072008）2+（2008）2=（20072008+1）2 （2）n2+n（n+1） 2+（n+1）2=n（n+1）+1 2 证明：n2+n（n+1） 2+（n+1）2 =n2+n2（n+1）2+n2+2n+1 =n2+n2（n2+2n+1）+n2+2n+1 =n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1 =n4+2n3

14、+3n2+2n+1 而n（n+1）+1 2=n（n+1） 2+2n（n+1）+1 =n2（n2+2n+1）+2n2+2n+1 =n4+2n3+n2+2n2+2n+1 =n4+2n3+3n2+2n+1， 所以n2+n（n+1） 2+（n+1）2=n（n+1）+1 2 9D 10（1） （2） （3） （4） （5） 11B 12C 13B 14（1）6a3+18ab （2）x2n+1xn+1xn （3）8a22a （4）6a3b2a2b2+5ab1C 点拨：在运用平方差公式写结果时，要注意平方后作差，尤其当出现数与字母乘积的项，系数不要忘记平方；D项不具有平方差公式的结构，不能用平方差公式，而应

15、是多项式乘多项式2B 点拨：（a+b）（b-a）=（b+a）（b-a）=b2-a23C 点拨：利用平方差公式化简得10（n2-1），故能被10整除4D 点拨：（x-5）2=x2-2x5+25=x2-10x+25 1（1） （2） （3） （4） （5） 2C 3D 4D 5B 6C 7（1）25x9 （2）151011 （3）a10b11c12x38化简得6a5b4c3，把a=1，b=1，c=代入得96x 点拨：把（x+3）和（x-3）分别看做两个整体，运用平方差公式（x+3）2-（x-3）2=（x+3+x-3）x+3-（x-3）=x6=6x10（1）4a2-9b2；（2）原式=（-p2）2-

16、q2=p4-q2 点拨：在运用平方差公式时，要注意找准公式中的a，b （3）x4-4xy+4y2； （4）解法一：（-2x-y）2=（-2x）2+2（-2x）（-y）+（-y）2=4x2+2xy+y2 解法二：（-2x-y）2=（2x+y）2=4x2+2xy+y2 点拨：运用完全平方公式时，要注意中间项的符号11（1）原式=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4 点拨：当出现三个或三个以上多项式相乘时，根据多项式的结构特征，先进行恰当的组合 （2）原式=x+（y-z）x-（y-z）-x+（y+z）x-（y+z） =x2-（y-z）2-x2-（y+z）2 =x

17、2-（y-z）2-x2+（y+z）2 =（y+z）2-（y-z）2 =（y+z+y-z）y+z-（y-z） =2y2z=4yz 点拨：此题若用多项式乘多项式法则，会出现18项，书写会非常繁琐，认真观察此式子的特点，恰当选择公式，会使计算过程简化12解法一：如图（1），剩余部分面积=m2-mn-mn+n2=m2-2mn+n2 解法二：如图（2），剩余部分面积=（m-n）2 （m-n）2=m2-2mn+n2，此即完全平方公式 点拨：解法一：是用边长为m的正方形面积减去两条小路的面积，注意两条小路有一个重合的边长为n的正方形解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘，剩余面积即为边长为（m-n）的正方形面积做此类题要注意数形结合