七年级下册第一章复习教案.docx
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七年级下册第一章复习教案
DSE金牌数学专题系列第一章整式的运算
一、导入
二、知识点复习
1、代数式:
2、单项式:
由数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
单项式不含加减运算,分母中不含字母。
3、多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
多项式含加减运算。
4、整式:
单项式和多项式统称为整式。
二、公式、法则:
(1)同底数幂的乘法:
am﹒an=am+n(同底,幂乘,指加)
逆用:
am+n=am﹒an(指加,幂乘,同底)
(2)同底数幂的除法:
am÷an=am-n(a≠0)。
(同底,幂除,指减)
逆用:
am-n=am÷an(a≠0)(指减,幂除,同底)
(3)幂的乘方:
(am)n=amn(底数不变,指数相乘)
逆用:
amn=(am)n
(4)积的乘方:
(ab)n=anbn推广:
逆用,anbn=(ab)n(当ab=1或-1时常逆用)
(5)零指数幂:
a0=1(注意考底数范围a≠0)。
(6)负指数幂:
(底倒,指反)
(7)单项式与多项式相乘:
m(a+b+c)=ma+mb+mc。
(8)多项式与多项式相乘:
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
(9)平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2公式特点:
(有一项完全相同,另一项只有符号不同,结果=
推广(项数变化):
连用变化:
三、经典专题讲解
考点一:
整式的乘法
【例1】已知x=5
,y=4
,求代数式[-3
(x+y)]3(x-y)·[-2(x-y)(x+y)]2的值.
【变式】当x=2005时,求代数式(-3x2)(x2-2x-3)+3x(x3-2x2-3x)+2005的值.
【例2】已知单项式9am+1bn+1与-2a2m-1b2n-1的积与5a3b6是同类项,求m,n的值.
【例3】求图中阴影部分的面积(图中长度单位:
米).
【变式】李老师刚买了一套2室2厅的新房,其结构如下图所示(单位:
米).施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖,李老师打算把卧室1铺上地毯,其余铺地板砖.问:
(1)他至少需要多少平方米的地板砖?
(2)如果这种地砖板每平方米m元,那么李老师至少要花多少钱?
【例4】小明找来一张挂历画包数学课本,已经课本长a厘米,宽为b厘米,高为c厘米,小明想将课本封面与底面的每一边都包进去m厘米,问小明应在挂历上裁下一块多大的长方形?
考点二:
平方差公式
【例1】已知a+b=3,ab=2,求a2+b2;
【变式】若已知a+b=10,a2+b2=4,ab的值呢?
【例2】解不等式(3x-4)2>(-4+3x)(3x+4).
【变式1】利用平方差公式计算:
20
×21
.
【变式2】计算:
(a+2)(a2+4)(a4+16)(a-2).
【例3】计算:
(2+1)(22+1)(24+1)…(22n+1)+1(n是正整数);
【变式】(3+1)(32+1)(34+1)…(32008+1)-
.
【例4】(一题多变题)利用平方差公式计算:
2009×2007-20082.
【变式】一变:
(1)利用平方差公式计算:
.
(2)二变:
利用平方差公式计算:
.
【例5】观察下列各式的规律.
12+(1×2)2+22=(1×2+1)2;
22+(2×3)2+32=(2×3+1)2;
32+(3×4)2+42=(3×4+1)2;
…
(1)写出第2007行的式子;
(2)写出第n行的式子,并说明你的结论是正确的.
【变式】已知x≠1,计算(1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1-x3,
(1-x)(1+x+x2+x3)=1-x4.
(1)观察以上各式并猜想:
(1-x)(1+x+x2+…+xn)=______.(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算:
①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=______.
②2+22+23+…+2n=______(n为正整数).
③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=_______.
(3)通过以上规律请你进行下面的探索:
①(a-b)(a+b)=_______.
②(a-b)(a2+ab+b2)=______.
③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=______.
四、过手训练
1.下列说法正确的是()
A.多项式乘以单项式,积可以是多项式也可以是单项式;
B.多项式乘以单项式,积的次数等于多项式的次数与单项式次数的积;
C.多项式乘以单项式,积的系数是多项式系数与单项式系数的和;
D.多项式乘以单项式,积的项数与多项式的项数相等
2.判断:
(1)
(3x+y)=x+y()
(2)-3x(x-y)=-3x2-3xy()
(3)3(m+2n+1)=3m+6n+1()
(4)(-3x)(2x2-3x+1)=6x3-9x2+3x()
(5)若n是正整数,则(-
)2n(32n+1+32n-1)=
()
3.若x(3x-4)+2x(x+7)=5x(x-7)+90,则x等于()
A.-2B.2C.-
D.
4.下列计算结果正确的是()
A.(6xy2-4x2y)3xy=18xy2-12x2y
B.(-x)(2x+x2-1)=-x3-2x2+1
C.(-3x2y)(-2xy+3yz-1)=6x3y2-9x2y2z+3x2y
D.(
an+1-
b)2ab=
an+2-ab2
5.x(y-z)-y(z-x)+z(x-y)的计算结果是()
A.2xy+2yz+2xzB.2xy-2yzC.2xyD.-2yz
6.计算:
(1)(a-3b)(-6a)
(2)xn(xn+1-x-1)
(3)-5a(a+3)-a(3a-13)(4)-2a2(
ab+b2)-5ab(a2-1)
7.下列运算中,正确的是()
A.(a+3)(a-3)=a2-3B.(3b+2)(3b-2)=3b2-4
C.(3m-2n)(-2n-3m)=4n2-9m2D.(x+2)(x-3)=x2-6
8.在下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是()
A.(x+1)(1+x)B.(
a+b)(b-
a)
C.(-a+b)(a-b)D.(x2-y)(x+y2)
9.对于任意的正整数n,能整除代数式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的整数是()
A.3B.6C.10D.9
10.若(x-5)2=x2+kx+25,则k=()
A.5B.-5C.10D.-10
五、巩固练习
1.判断:
(1)7a3·8a2=56a6()
(2)8a5·8a5=16a16()
(3)3x4·5x3=8x7()(4)-3y3·5y3=-15y3()
(5)3m2·5m3=15m5()
2.下列说法完整且正确的是()
A.同底数幂相乘,指数相加;
B.幂的乘方,等于指数相乘;
C.积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘;
D.单项式乘以单项式,等于系数相乘,同底数幂相乘
3.8b2(-a2b)=()
A.8a2b3B.-8b3C.64a2b3D.-8a2b3
4.下列等式成立的是()
A.(-
x2)3·(-4x)2=(2x2)8B.(1.7a2x)(
ax4)=1.1a3x5
C.(0.5a)3·(-10a3)3=(-5a4)5D.(2×108)×(5×107)=1016
5.下列关于单项式乘法的说法中不正确的是()
A.单项式之积不可能是多项式;
B.单项式必须是同类项才能相乘;
C.几个单项式相乘,有一个因式为0,积一定为0;
D.几个单项式的积仍是单项式
6.计算:
(xn)n·36xn=()
A.36xnB.36xn3C.36xn2+nD.36x2+n
7.计算:
(1)(-2.5x3)2(-4x3)
(2)(-104)(5×105)(3×102)
(3)(-a2b3c4)(-xa2b)3
8.化简求值:
-3a3bc2·2a2b3c,其中a=-1,b=1,c=
.
9.(
x+3)2-(
x-3)2=________.
10.
(1)(2a-3b)(2a+3b);
(2)(-p2+q)(-p2-q);
(3)(x-2y)2;(4)(-2x-
y)2.
11.
(1)(2a-b)(2a+b)(4a2+b2);
(2)(x+y-z)(x-y+z)-(x+y+z)(x-y-z).
12.有一块边长为m的正方形空地,想在中间位置修一条“十”字型小路,小路的宽为n,试求剩余的空地面积;用两种方法表示出来,比较这两种表示方法,验证了什么公式?
答案:
考点一
20.[-3
(x+y)]3·(x-y)·[-2(x-y)(x+y)]2
=-(
)3(x+y)3·(x-y)·4(x-y)2(x+y)2
=-
(x+y)5(x-y)3,
把x=5
,y=4
,代入得-25600000.
21.(-3x2)(x2-2x-3)+3x(x3-2x2-3x)+2005
=-3x4+6x3+9x2+3x4-6x3-9x2+2005=2005
不用再将x=2005代入了,无论x取何值,该代数式都等于2005.
22.9am+nbn+1·(-2a2m-1b2n-1)=9×(-2)·am+1·a2m-1·bn+1·b2n-1=-18a3mb3n
因与5a3b6是同类项,所以3m=3,3n=6,解得m=1,n=2.
23.去括号,得x2-3x+x-3=2x2+3x-x2+1,移项得x2-3x+x-2x2-3x+x2=1+3,
合并同类项得-5x=4,系数化为1,得x=-
.
24.去括号,得9x2-12x+12x-16>9x2+27x-18x-54,
移项,得-27x+18x>-54+16,合并同类项,得-9x>-38,x<
.
25.列式:
(a+2a+2a+2a+a)(2.5a+1.5a)-2(2a×2.5a),化简得22a2
27.
(1)用总面积减去厨房,卫生间的面积再减去卧室1的面积即是,
列式为:
5b·5a-(5b-3b)×(5a-3a)-(5a-3a)·2b化简得17ab;
(2)17abm元.
【探究学习】
应在挂历上裁下的一块的面积为(a+2m)(2b+c+2m)cm2.
考点二:
18.
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab.
∵a+b=3,ab=2,
∴a2+b2=32-2×2=5.
(2)∵a+b=10,
∴(a+b)2=102,
a2+2ab+b2=100,∴2ab=100-(a2+b2).
又∵a2+b2=4,
∴2ab=100-4,
ab=48.
点拨:
上述两个小题都是利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2中(a+)、ab、(a2+b2)三者之间的关系,只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出第三者.
19.(3x-4)2>(-4+3x)(3x+4),
(3x)2+2×3x·(-4)+(-4)2>(3x)2-42,
9x2-24x+16>9x2-16,
-24x>-32.
x<
.
点拨:
先利用完全平方公式,平方差公式分别把不等式两边展开,然后移项,合并同类项,解一元一次不等式.
20.
(1)(2007)2+(2007×2008)2+(2008)2=(2007×2008+1)2
(2)n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.
证明:
∵n2+[n(n+1)]2+(n+1)2
=n2+n2(n+1)2+n2+2n+1
=n2+n2(n2+2n+1)+n2+2n+1
=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1.
而[n(n+1)+1]2=[n(n+1)]2+2n(n+1)+1
=n2(n2+2n+1)+2n2+2n+1
=n4+2n3+n2+2n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1,
所以n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.
9.D
10.
(1)×
(2)×(3)×(4)×(5)∨
11.B12.C13.B
14.
(1)-6a3+18ab
(2)x2n+1-xn+1-xn(3)-8a2-2a(4)-6a3b-2a2b2+5ab
1.C点拨:
在运用平方差公式写结果时,要注意平方后作差,尤其当出现数与字母乘积的项,系数不要忘记平方;D项不具有平方差公式的结构,不能用平方差公式,而应是多项式乘多项式.
2.B点拨:
(a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)=b2-a2.
3.C点拨:
利用平方差公式化简得10(n2-1),故能被10整除.
4.D点拨:
(x-5)2=x2-2x×5+25=x2-10x+25.
1.
(1)×
(2)×(3)×(4)×(5)∨
2.C3.D4.D5.B6.C
7.
(1)-25x9
(2)-15×1011(3)-a10b11c12x3
8.化简得-6a5b4c3,把a=-1,b=1,c=
代入得
.
9.6x点拨:
把(
x+3)和(
x-3)分别看做两个整体,运用平方差公式(
x+3)2-(
x-3)2=(
x+3+
x-3)[
x+3-(
x-3)]=x·6=6x.
10.
(1)4a2-9b2;
(2)原式=(-p2)2-q2=p4-q2.
点拨:
在运用平方差公式时,要注意找准公式中的a,b.
(3)x4-4xy+4y2;
(4)解法一:
(-2x-
y)2=(-2x)2+2·(-2x)·(-
y)+(-
y)2=4x2+2xy+
y2.
解法二:
(-2x-
y)2=(2x+
y)2=4x2+2xy+
y2.
点拨:
运用完全平方公式时,要注意中间项的符号.
11.
(1)原式=(4a2-b2)(4a2+b2)=(4a2)2-(b2)2=16a4-b4.
点拨:
当出现三个或三个以上多项式相乘时,根据多项式的结构特征,先进行恰当的组合.
(2)原式=[x+(y-z)][x-(y-z)]-[x+(y+z)][x-(y+z)]
=x2-(y-z)2-[x2-(y+z)2]
=x2-(y-z)2-x2+(y+z)2
=(y+z)2-(y-z)2
=(y+z+y-z)[y+z-(y-z)]
=2y·2z=4yz.
点拨:
此题若用多项式乘多项式法则,会出现18项,书写会非常繁琐,认真观察此式子的特点,恰当选择公式,会使计算过程简化.
12.解法一:
如图
(1),剩余部分面积=m2-mn-mn+n2=m2-2mn+n2.
解法二:
如图
(2),剩余部分面积=(m-n)2.
∴(m-n)2=m2-2mn+n2,此即完全平方公式.
点拨:
解法一:
是用边长为m的正方形面积减去两条小路的面积,注意两条小路有一个重合的边长为n的正方形.
解法二:
运用运动的方法把两条小路分别移到边缘,剩余面积即为边长为(m-n)的正方形面积.做此类题要注意数形结合.