高中数学指导函数知识点总汇.docx

1、高中数学指导函数知识点总汇 函数的性质与图像一、 单调性设函数yf(x)在区间a,b上满足：若x1,x2a,b且x1x2时，恒有f(x1)f(x2)( f(x1)f(x2)成立，则称yf(x)在区间a,b上是单调递增(单调递减)函数，称区间a,b是函数yf(x)的单调递增区间(单调递减区间).(1) 所谓函数的单调性是指函数在什么区间上是单调增的，什么区间是单调减的.单调函数是指函数在整个定义域上是单调增（或减）的.若函数在某区间上具有单调性且在两端有意义，这时单调区间应为闭区间.反之，则为开区间.(2) 设f(x)在区间I1和I2上都分别是单调递增（或递减），且I1I2，则f(x)在I1I2

2、上也是单调递增（或递减）的.【若I1I2，则不一定成立.如y在(0,+)和(-,0)上均为单调递减，但在(0,+)(-,0)上不是单调递减的.】(3) 设yf(x)在区间I上单调递增(单调递减)函数，且f(x)的值域为E，则它在I上必存在反函数，且反函数在E上必是单调递增（或递减）函数. 特别地，单调函数必有反函数，且反函数的单调性与原函数是一致的.(4) 关于复合函数yf(x)(u(x).若yf(u)与u(x)单调性相同，则F(x)f(x)是增函数.若yf(u)与u(x)单调性相反，则F(x)f(x)为减函数.(5) 若f(x),g(x)是定义在同一区间上的两个函数.f(x),g(x)是增函

3、数（或减函数），则f(x)g(x)也必为增函数（或减函数）.若f(x),g(x)恒大于零，且f(x),g(x)都是单调增（或减）的，则f(x)g(x)也为增函数（或减函数）.二、 奇偶性若函数yf(x)对定义域内一切x，都有f(x)f(x)（或f(x)f(x)），则称yf(x)为偶函数（或奇函数）.(1) 奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域.(2) 既是奇函数又是偶函数的函数是存在的，且有无数多个，其函数值均为0，定义域是关于原点对称的区域.(3) 在共同的定义域上，两个偶（奇）函数和、差仍为偶（奇）函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，两个奇（偶）函数的积为偶函数.(4) f(

4、x)与具有相同的奇偶性.(5) 偶函数必不存在反函数.(6) 定义域关于原点对称的任何一个函数，都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和.三、周期性函数yf(x)满足：对定义域内任意，存在常数，使（）（）恒成立，则称yf(x)为周期函数，为yf(x)的周期(1) 周期函数的定义域是无界的.(2) 若T为yf(x)的周期，则nT（且）均为yf(x)的周期.(3) 若函数yf(x)有最小正周期T，那么它除nT（且）外，函数f(x)无其他周期.(4) 设f(x)的最小正周期T，则f(x)（，）有最小正周期.(5) 若函数u(x)是周期函数，函数f(u)是任意函数，则f(x)是周期函数.(6) 设函数u

5、(x)在数集D上有最小正周期T0，函数f(u)在数集Eu| u(x),xD上严格单调，则复合函数f(x)在D上也有最小正周期T0.(7) 若函数f(u)是上的周期函数，u(x)axb(a0)是线性函数，则复合函数f(axb)是x| axbD, xR上的周期函数，且当f(u)的最小正周期为时，f(axb)的最小正周期为.四、函数的图像 1.图像的对称性若函数yf(x)对定义域内一切x，有：(1) f(x)f(x)，则函数图像关于y轴对称.(2) f(x)f(x)，则函数图像关于原点对称(3) f(xa)f(ax)或f(x) f(2ax)（a为常数），则函数图像关于xa对称 (4) yf(x)与y

6、f(x)关于y轴对称，yf(x)与yf(x)关于x轴对称，yf(x)与yf(x)关于原点对称，yf(x)与xf(y)关于yx对称.2.平移变换(1) yf(xa)(a0)是将yf(x)的图像向右平移a个单位(2) yf(xa) (a0)是将yf(x)的图像向左平移a个单位(3) yf(x)b(b0,bR)是将yf(x)的图像向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单位3.翻折变换(1) y|f(x)|的图像可以看作yf(x)的图像在x轴上方不变，x轴下方沿x轴向上翻折后所得.(2) yf(|x|)的图像可以看作yf(x)的图像在y轴右方不变，并将y轴右方的图像沿y轴向左翻折后所得.(3) xf(

7、y)的图像可以看作yf(x)的图像关于yx翻折后所得.4.压缩变换(1) yf(ax)(a0)的图像可以看作函数yf(x)的图像沿x轴方向向y轴压缩(a1)或伸长(0a1)到原来的倍后所得.(2) ybf(x)(b0)的图像可以看作函数yf(x)的图像沿y轴方向向x轴伸长 (b1)或压缩 (0b1)到原来的b倍后所得五、反函数从A到B的映射f，满足对B中的每个元素，在A中都有唯一的元素是它的原象，则把这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射.我们称从B到A的映射叫做f的逆映射，记作f-1 ：BA，由此确定的函数xf-1(y)叫做函数yf(x)的反函数.一般记作yf-1(x).(1)反函数的定义

8、域和值域分别为原函数的值域和定义域，其图像关于yx对称(2)单调函数一定具有反函数，任何函数在某一单调区间上都存在反函数(3) f-1(f(x)x , f(f-1(y)y.三角函数一、 三角函数线及其应用在单位圆中（如图所示），设单位圆与x轴正向交于A点,与y轴正向交于B点，并设角与单位圆交于P点，过P点作PMx轴与M点，过A点作ATx轴交终边或其延长线（在二三象限）于T点，过B点作BSy轴交终边或其延长线（在三四象限）于S点，则sin的数量，cos的数量tan的数量，cot的数量 y 三角函数用三角函数线表示，即可以实现数向形的转化，由单位圆中函数线不难看出：（1）|sin|1 ，|cos|

9、1；（2）sintan , (0,) (实质为SOPMS扇形OPASOAT)二、三角函数值1.三角函数的诱导公式(不列出，参照课本)2.八个基本关系平方关系：sincos1, tan1sec, cot1csc . 商的关系：tan, cot .倒数关系：csc, sec,cot.三、三角函数的性质1.正、余弦函数的有界性2.三角函数的单调性3.三角函数的奇偶性4.三角函数的周期性三角恒等变形一、基本公式为了叙述方便，我们不妨用S,C,T分别代表sin,cos,tan.二、一些常用的结果(1)(sincos) 1sin2.(2)tan(),(k,k,k)(3)tancot,(, k), tancot2cot2, (, k).(4)sin()sin()sinsincoscos, cos()cos()cossin(5)tansintansin,( k, k), cotcoscotcos,( k, k).(6)k(k)等价tantantantantantan(,n,n)(7) k(k)等价于(1tan)(1tan)2, (,n,n). (8)注：下列结果个人认为比较少用：cos34cos(60)coscos(60),sin34sin(60)sinsin(60),tan3tan(60)tantan(60).