高中数学指导函数知识点总汇.docx
《高中数学指导函数知识点总汇.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学指导函数知识点总汇.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学指导函数知识点总汇
函数的性质与图像
一、单调性
设函数y=f(x)在区间[a,b]上满足:
若x1,x2∈[a,b]且x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2))成立,则称y=f(x)在区间[a,b]上是单调递增(单调递减)函数,称区间[a,b]是函数y=f(x)的单调递增区间(单调递减区间).
(1)所谓函数的单调性是指函数在什么区间上是单调增的,什么区间是单调减的.单调函数是指函数在整个定义域上是单调增(或减)的.若函数在某区间上具有单调性且在两端有意义,这时单调区间应为闭区间.反之,则为开区间.
(2)设f(x)在区间I1和I2上都分别是单调递增(或递减),且I1∩I2≠Φ,则f(x)在I1∪I2上也是单调递增(或递减)的.【若I1∩I2=Φ,则不一定成立.如y=
在(0,+∞)和(-∞,0)上均为单调递减,但在(0,+∞)∪(-∞,0)上不是单调递减的.】
(3)设y=f(x)在区间I上单调递增(单调递减)函数,且f(x)的值域为E,则它在I上必存在反函数,且反函数在E上必是单调递增(或递减)函数.
特别地,单调函数必有反函数,且反函数的单调性与原函数是一致的.
(4)关于复合函数y=f(ψ(x))(u=ψ(x)).
①若y=f(u)与u=ψ(x)单调性相同,则F(x)=f(ψ(x))是增函数.
②若y=f(u)与u=ψ(x)单调性相反,则F(x)=f(ψ(x))为减函数.
(5)若f(x),g(x)是定义在同一区间上的两个函数.
①f(x),g(x)是增函数(或减函数),则f(x)+g(x)也必为增函数(或减函数).
②若f(x),g(x)恒大于零,且f(x),g(x)都是单调增(或减)的,则f(x)·g(x)也为增函数(或减函数).
二、奇偶性
若函数y=f(x)对定义域内一切x,都有f(﹣x)=f(x)(或f(﹣x)=﹣f(x)),则称y=f(x)为偶函数(或奇函数).
(1)奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域.
(2)既是奇函数又是偶函数的函数是存在的,且有无数多个,其函数值均为0,定义域是关于原点对称的区域.
(3)在共同的定义域上,两个偶(奇)函数和、差仍为偶(奇)函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,两个奇(偶)函数的积为偶函数.
(4)f(x)与
具有相同的奇偶性.
(5)偶函数必不存在反函数.
(6)定义域关于原点对称的任何一个函数,都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和.
三、周期性
函数y=f(x)满足:
对定义域内任意x,存在常数T≠0,使f(x)=f(x+T)恒成立,则称y=f(x)为周期函数,T为y=f(x)的周期
(1)周期函数的定义域是无界的.
(2)若T为y=f(x)的周期,则nT(n∈Ζ且n≠0)均为y=f(x)的周期.
(3)若函数y=f(x)有最小正周期T,那么它除nT(n∈Ζ且n≠0)外,函数f(x)无其他周期.
(4)设f(x)的最小正周期T,则f(λx)(λ≠0,λ∈R)有最小正周期
.
(5)若函数u=ψ(x)是周期函数,函数f(u)是任意函数,则f(ψ(x))是周期函数.
(6)设函数u=ψ(x)在数集D上有最小正周期T0,函数f(u)在数集E=﹛u|u=ψ(x),x∈D﹜上严格单调,则复合函数f(ψ(x))在D上也有最小正周期T0.
(7)若函数f(u)是D上的周期函数,u=ψ(x)=ax+b(a≠0)是线性函数,则复合函数f(ax+b)是E=﹛x|ax+b∈D,x∈R﹜上的周期函数,且当f(u)的最小正周期为T时,f(ax+b)的最小正周期为
.
四、函数的图像
1.图像的对称性
若函数y=f(x)对定义域内一切x,有:
(1)f(-x)=f(x),则函数图像关于y轴对称.
(2)f(-x)=-f(x),则函数图像关于原点对称
(3)f(x+a)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)(a为常数),则函数图像关于x=a对称
(4)y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称,y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称,y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称,y=f(x)与x=f(y)关于y=x对称.
2.平移变换
(1)y=f(x-a)(a>0)是将y=f(x)的图像向右平移a个单位
(2)y=f(x+a)(a>0)是将y=f(x)的图像向左平移a个单位
(3)y=f(x)+b(b≠0,b∈R)是将y=f(x)的图像向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位
3.翻折变换
(1)y=|f(x)|的图像可以看作y=f(x)的图像在x轴上方不变,x轴下方沿x轴向上翻折后所得.
(2)y=f(|x|)的图像可以看作y=f(x)的图像在y轴右方不变,并将y轴右方的图像沿y轴向左翻折后所得.
(3)x=f(y)的图像可以看作y=f(x)的图像关于y=x翻折后所得.
4.压缩变换
(1)y=f(ax)(a>0)的图像可以看作函数y=f(x)的图像沿x轴方向向y轴压缩(a>1)或伸长(0<a<1)到原来的
倍后所得.
(2)y=bf(x)(b>0)的图像可以看作函数y=f(x)的图像沿y轴方向向x轴伸长(b>1)或压缩(0<b<1)到原来的b倍后所得
五、反函数
从A到B的映射f,满足对B中的每个元素,在A中都有唯一的元素是它的原象,则把这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射.
我们称从B到A的映射叫做f的逆映射,记作f-1:
B→A,由此确定的函数x=f-1(y)叫做函数y=f(x)的反函数.一般记作y=f-1(x).
(1)反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域,其图像关于y=x对称
(2)单调函数一定具有反函数,任何函数在某一单调区间上都存在反函数
(3)f-1(f(x))=x,f(f-1(y))=y.
三角函数
一、三角函数线及其应用
在单位圆中(如图所示),设单位圆与x轴正向交于A点,与y轴正向交于B点,并设α角与单位圆交于P点,过P点作PM⊥x轴与M点,过A点作AT⊥x轴交α终边或其延长线(α在二三象限)于T点,过B点作BS⊥y轴交α终边或其延长线(α在三四象限)于S点,则
sinα=
的数量,cosα=
的数量
tanα=
的数量,cotα=
的数量
y
三角函数用三角函数线表示,即可以实现数向形的转化,由单位圆中函数线不难看出:
(1)|sinα|≤1,|cosα|≤1;
(2)sinα<α<tanα,α∈(0,
)(实质为SΔOPM<S扇形OPA<SΔOAT)
二、三角函数值
1.三角函数的诱导公式(不列出,参照课本)
2.八个基本关系
平方关系:
sin²α+cos²α=1,tan²α+1=sec²α,
cot²α+1=csc²α.
商的关系:
tanα=
cotα=
.
倒数关系:
cscα=
secα=
cotα=
.
三、三角函数的性质
1.正、余弦函数的有界性2.三角函数的单调性3.三角函数的奇偶性
4.三角函数的周期性
三角恒等变形
一、基本公式
为了叙述方便,我们不妨用Sα,Cα,Tα分别代表sinα,cosα,tanα.
二、一些常用的结果
(1)(sinα±cosα)²=1±sin2α.
(2)
=
=tan(α+
),(α≠kπ+
kπ+
k∈Ζ)
(3)tanα+cotα=
(α≠
k∈Ζ),
tanα-cotα=-2cot2α,(α≠
k∈Ζ).
(4)sin(α+β)sin(α-β)=sin²α-sin²β=cos²β-cos²α,
cos(α+β)cos(α-β)=cos²α-sin²β
(5)tan²α-sin²α=tan²α·sin²α,(α≠kπ+
k∈Ζ),
cot²α-cos²α=cot²αcos²α,(α≠kπ,k∈Ζ).
(6)α+β+γ=kπ(k∈Ζ)等价
tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ(α,β,γ≠nπ+
n∈Ζ)
(7)α+β=kπ+
(k∈Ζ)等价于
(1+tanα)(1+tanβ)=2,(α,β≠nπ+
n∈Ζ).
(8)注:
下列结果个人认为比较少用:
cos3θ=4cos(60°-θ)cosθcos(60°+θ),
sin3θ=4sin(60°-θ)sinθsin(60°+θ),
tan3θ=tan(60°-θ)tanθtan(60°+θ).