高数易错题大全.docx

1、高数易错题大全高数易错题大全6分-五、解答下列各题( 本 大 题6分 )设 SKIPIF 1 0 具有连续偏导数， SKIPIF 1 0 ，试证明：SKIPIF 1 0 五、解答下列各题( 本 大 题6分 )SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （4分）故 SKIPIF 1 0 （6分）-六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )判别级数 SKIPIF 1 0 的敛散性。六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )记 SKIPIF 1 0 (2分)而 SKIPIF 1 0 收敛 （3分）故 SKIPIF 1 0 收敛。 （4分） =SKIPIF 1 0 解一：原方程化为SKIPIF 1 0 （

2、3分）SKIPIF 1 0 （6分）积分得： SKIPIF 1 0 即为所求方程，或SKIPIF 1 0 （10分）解二：方程（1）化为SKIPIF 1 0 （3） （3分）解（3）得SKIPIF 1 0 （4） （8分）由初始条件（2）得 SKIPIF 1 0 故（1），（2）问题的解为SKIPIF 1 0 （10分）=已知二阶齐次线性方程的一个基本解组为： SKIPIF 1 0 ，写出此方程。3、(本小题5分)解法一：SKIPIF 1 0 （1） （2分）SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 （3） （4分）SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 为所求方程。 （10

3、分）解法二：设所作二阶齐次线性方程为SKIPIF 1 0 （1） （2分）以 SKIPIF 1 0 代入（1）得SKIPIF 1 0 解得SKIPIF 1 0 （8分）所求方程为SKIPIF 1 0 （10分）解法三：由SKIPIF 1 0 （1） （2分）SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 （3） （4分）SKIPIF 1 0 是任意常数，(1)，(2)，(3)相容 （6分）SKIPIF 1 0 （8分）即SKIPIF 1 0 （10分）=判别级数 SKIPIF 1 0 的敛散性。设 SKIPIF 1 0 ，于是SKIPIF 1 0 （6分）故 SKIPIF 1 0 发散。

4、（10分）=-设 SKIPIF 1 0 ，问 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 是否存在？若存在，求其值。SKIPIF 1 0 不存在即 SKIPIF 1 0 不存在 （5分）SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 （10分）=求级数1+3_+5 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内的和函数。解法一原式= SKIPIF 1 0 2分=2 SKIPIF 1 0 4分=2 SKIPIF 1 0 6分解法二SKIPIF 1 0 于是： SKIPIF 1 0 1分两式相减 得：SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 因此 SKIPIF 1 0 5分故而 SK

5、IPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 6分=设 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 。 SKIPIF 1 0 （6分）SKIPIF 1 0 （10分）（注：答案为 SKIPIF 1 0 者扣3分）=求函数 SKIPIF 1 0 展开成 SKIPIF 1 0 的幂级数，并计算 SKIPIF 1 0 的值。 由于 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 2分所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 6分 SKIPIF 1 0 10分=求微分方程初值问题 SKIPIF 1 0 的解 。SKIPIF 1 0 （4分）SKIPIF 1 0 （8分）由初始条件得： SKIP

6、IF 1 0 解为： SKIPIF 1 0 （10分）=计算二重积分其中D：0_1,0y1. =4、若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 =(A) SKIPIF 1 0 (B) SKIPIF 1 0 (C) SKIPIF 1 0 (D) SKIPIF 1 0 答（ ）-=求微分方程 SKIPIF 1 0 的一个特解。特征方程 SKIPIF 1 0 的根为 SKIPIF 1 0 2分设特解为 SKIPIF 1 0 4分代入方程得 SKIPIF 1 0 10分=求微分方程 SKIPIF 1 0 的通解。解： SKIPIF 1 0 ， 3分SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0

7、。10分=设 SKIPIF 1 0 由方程 SKIPIF 1 0 所确定，其中 SKIPIF 1 0 具有一阶连续偏导数，证明： SKIPIF 1 0 =1。： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， 4分SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 8分所以 SKIPIF 1 0 (10分)=试讨论函数 SKIPIF 1 0 的连续性。解：由于 SKIPIF 1 0 是初等函数，所以除 SKIPIF 1 0 以外的点都连续，但在 SKIPIF 1 0 上的点处不连续。=判别级数 SKIPIF 1 0 的敛散性。记 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0

8、 （3分）SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 因而 SKIPIF 1 0 （8分）由此得 SKIPIF 1 0 ，故所论级数发散。 （10分）=求内接于半径为R的球且具有最大体积的圆柱体的尺寸。设圆柱体的底圆半径为 SKIPIF 1 0 米，高为 SKIPIF 1 0 米则圆柱体体积 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 4分由 SKIPIF 1 0 得驻点 SKIPIF 1 0 8分由于实际问题必定存在最大值，因此满足条件圆柱体的底圆半径为 SKIPIF 1 0 ，高为 SKIPIF 1 0 。=证明：不存在函数 SK

9、IPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 。设存在函数 SKIPIF 1 0 ，则由 SKIPIF 1 0 知SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 无关） （4分）而 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 矛盾。 （10分）解二：SKIPIF 1 0 因 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 处处连续，故 SKIPIF 1 0 处处成立，矛盾。=4、幂级数 SKIPIF 1 0 的收敛区间为 。4、 SKIPIF 1 0 =求微分方程 SKIPIF 1 0 的通解。解：令 SKIPIF 1 0 2分原方程化为： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

10、6分积分得： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以通解为 SKIPIF 1 0 。 10分=将 SKIPIF 1 0 展开为_的幂级数。： SKIPIF 1 0 ， 2分SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 8分所以 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 =设 SKIPIF 1 0 有连续偏导数， SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 。SKIPIF 1 0 （10分）=证明级数 SKIPIF 1 0 绝对收敛。SKIPIF 1 0 （6分）而 SKIPIF 1 0 收敛。 （8分）=设 SKIPIF 1 0 ，试判别级数 SKIPIF 1

11、0 的敛散性。因 SKIPIF 1 0 （4分）而 SKIPIF 1 0 （8分）所以 SKIPIF 1 0 ，故原级数发散。 （10分）=3、设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 = 。3、1 （10分）=试确定级数 SKIPIF 1 0 ，使它的和为 SKIPIF 1 0 ，且满足余项 SKIPIF 1 0 并问它是绝对收敛还是条件收敛。由 SKIPIF 1 0 ，得SKIPIF 1 0 （3分）即所求级数是一个公比为 SKIPIF 1 0 的等比级数 （5分）又由 SKIPIF 1 0 ，得SKIPIF 1 0 （7分）故级数为 SKIPIF 1 0 （9分）该级数绝对收

12、敛。 （10分）=求方程 SKIPIF 1 0 的通解。原方程化为 SKIPIF 1 0 1分令 SKIPIF 1 0 代入（1）得 SKIPIF 1 0 4分积分得 SKIPIF 1 0 ，通解为 SKIPIF 1 0 。 （10分）=试确定出定义在 SKIPIF 1 0 的正实值函数，使它对于每一正数 SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 在闭区间 SKIPIF 1 0 上的积分平均值等于 SKIPIF 1 0 =1与 SKIPIF 1 0 的几何平均值。依题意得SKIPIF 1 0 （2分）两边关于 SKIPIF 1 0 求导，并记 SKIPIF 1 0 ，得方程SKIPI

13、F 1 0 解得SKIPIF 1 0 （8分）即 SKIPIF 1 0 （10分）=如果幂级数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处条件收敛，那么该级数的收敛半径是多少? 试证之.5、(本小题6分)由题意,知:当 SKIPIF 1 0 时, 级数绝对收敛； 4分当 SKIPIF 1 0 时, 级数不可能收敛.8分故收敛半径是2.10分=求方程 SKIPIF 1 0 的通解。SKIPIF 1 0 5分 SKIPIF 1 0 （10分）=SKIPIF 1 0 因为级数SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 2分均收敛，所以有SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 6分SKIPIF 1 0 10分