高数易错题大全.docx

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高数易错题大全

高数易错题大全

……6分

------------------------------------------------------------------------------------------

五、解答下列各题

（本大题6分）

设SKIPIF1<0具有连续偏导数，SKIPIF1<0，试证明：

SKIPIF1<0

五、解答下列各题

（本大题6分）

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0（4分）

故SKIPIF1<0（6分）

------------------------------------------------------------------------------------

六、解答下列各题

（本大题4分）

判别级数SKIPIF1<0的敛散性。

六、解答下列各题

（本大题4分）

记SKIPIF1<0（2分）

而SKIPIF1<0收敛（3分）

故SKIPIF1<0收敛。

（4分）

==========================================================

SKIPIF1<0

解一：

原方程化为

SKIPIF1<0（3分）

SKIPIF1<0（6分）

积分得：

SKIPIF1<0即为所求方程，或

SKIPIF1<0（10分）

解二：

方程

（1）化为

SKIPIF1<0（3）（3分）

解（3）得

SKIPIF1<0（4）（8分）

由初始条件

（2）得SKIPIF1<0

故

（1），

（2）问题的解为

SKIPIF1<0（10分）

=================================================

已知二阶齐次线性方程的一个基本解组为：

SKIPIF1<0，写出此方程。

3、（本小题5分）

解法一：

SKIPIF1<0

（1）（2分）

SKIPIF1<0

（2）

SKIPIF1<0（3）（4分）

SKIPIF1<0

或SKIPIF1<0为所求方程。

（10分）

解法二：

设所作二阶齐次线性方程为

SKIPIF1<0

（1）（2分）

以SKIPIF1<0代入

（1）得

SKIPIF1<0

解得

SKIPIF1<0（8分）

所求方程为

SKIPIF1<0（10分）

解法三：

由

SKIPIF1<0

（1）（2分）

SKIPIF1<0

（2）

SKIPIF1<0（3）（4分）

SKIPIF1<0是任意常数，

（1），

（2），（3）相容（6分）

SKIPIF1<0（8分）

即

SKIPIF1<0（10分）

==============================================

判别级数SKIPIF1<0的敛散性。

设SKIPIF1<0，于是

SKIPIF1<0（6分）

故SKIPIF1<0发散。

（10分）

=============================-

设SKIPIF1<0，问SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是否存在？

若存在，求其值。

SKIPIF1<0不存在

即SKIPIF1<0不存在（5分）

SKIPIF1<0

即SKIPIF1<0（10分）

============================================

求级数1+3_+5SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的和函数。

解法一

原式=SKIPIF1<02分

=2SKIPIF1<04分

=2SKIPIF1<06分

解法二

SKIPIF1<0

于是：

SKIPIF1<01分

两式相减得：

SKIPIF1<0

=SKIPIF1<0

因此SKIPIF1<05分

故而SKIPIF1<0，SKIPIF1<06分

================================================

设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。

SKIPIF1<0（6分）

SKIPIF1<0（10分）

（注：

答案为SKIPIF1<0者扣3分）

============================================

求函数SKIPIF1<0展开成SKIPIF1<0的幂级数，并

计算SKIPIF1<0的值。

由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0……2分

所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0……6分

SKIPIF1<0……10分

=============================================

求微分方程初值问题SKIPIF1<0的解。

SKIPIF1<0（4分）

SKIPIF1<0（8分）

由初始条件得：

SKIPIF1<0

解为：

SKIPIF1<0（10分）

====================================================

计算二重积分其中D：

0≤_≤1,0≤y≤1.

================================================

4、若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=

（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0

（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0

答（）

-===========================================================

求微分方程SKIPIF1<0的一个特解。

特征方程SKIPIF1<0的根为SKIPIF1<02分

设特解为SKIPIF1<04分

代入方程得SKIPIF1<010分

======================================================

求微分方程SKIPIF1<0的通解。

解：

SKIPIF1<0，3分

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0。

10分

===========================================

设SKIPIF1<0由方程SKIPIF1<0所确定，其中SKIPIF1<0具有一阶连续偏导数，

证明：

SKIPIF1<0=1。

：

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，4分

SKIPIF1<0，SKIPIF1<08分

所以SKIPIF1<0（10分）

===============================================

试讨论函数SKIPIF1<0的连续性。

解：

由于SKIPIF1<0是初等函数，所以除SKIPIF1<0以外的点都连续，但在SKIPIF1<0上的点处不连续。

===================================================

判别级数SKIPIF1<0的敛散性。

记SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0（3分）

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0

因而SKIPIF1<0（8分）

由此得SKIPIF1<0，故所论级数发散。

（10分）

=============================================================

求内接于半径为R的球且具有最大体积的圆柱体的尺寸。

设圆柱体的底圆半径为SKIPIF1<0米，高为SKIPIF1<0米

则圆柱体体积SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0

令SKIPIF1<04分

由SKIPIF1<0

得驻点SKIPIF1<08分

由于实际问题必定存在最大值，因此满足条件圆柱体的底圆半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0。

================================================================

证明：

不存在函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0。

设存在函数SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0知

SKIPIF1<0与SKIPIF1<0无关）（4分）

而SKIPIF1<0

故SKIPIF1<0矛盾。

（10分）

解二：

SKIPIF1<0

因SKIPIF1<0与SKIPIF1<0处处连续，故SKIPIF1<0处处成立，矛盾。

===================================================================

4、幂级数SKIPIF1<0的收敛区间为。

4、SKIPIF1<0

===========================================================

求微分方程SKIPIF1<0的通解。

解：

令SKIPIF1<02分

原方程化为：

SKIPIF1<0，SKIPIF1<06分

积分得：

SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

所以通解为SKIPIF1<0。

10分

====================================================

将SKIPIF1<0展开为_的幂级数。

：

SKIPIF1<0，2分

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

8分

所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0

=====================================================

设SKIPIF1<0有连续偏导数，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。

SKIPIF1<0（10分）

============================================

证明级数SKIPIF1<0绝对收敛。

SKIPIF1<0（6分）

而SKIPIF1<0收敛。

（8分）

=========================================

设SKIPIF1<0，试判别级数SKIPIF1<0的敛散性。

因SKIPIF1<0（4分）

而SKIPIF1<0（8分）

所以SKIPIF1<0，故原级数发散。

（10分）

===================================================

3、设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=。

3、1（10分）

===============================================

试确定级数SKIPIF1<0，使它的和为SKIPIF1<0，且满足

余项SKIPIF1<0

并问它是绝对收敛还是条件收敛。

由SKIPIF1<0，得

SKIPIF1<0（3分）

即所求级数是一个公比为SKIPIF1<0的等比级数（5分）

又由SKIPIF1<0，得

SKIPIF1<0（7分）

故级数为SKIPIF1<0（9分）

该级数绝对收敛。

（10分）

============================================================

求方程SKIPIF1<0的通解。

原方程化为SKIPIF1<01分

令SKIPIF1<0代入

（1）得SKIPIF1<04分

积分得SKIPIF1<0，通解为SKIPIF1<0。

（10分）

===========================================

试确定出定义在SKIPIF1<0的正实值函数，使它对于每一正数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在闭区间SKIPIF1<0上的积分平均值等于SKIPIF1<0=1与SKIPIF1<0的几何平均值。

依题意得

SKIPIF1<0（2分）

两边关于SKIPIF1<0求导，并记SKIPIF1<0，得方程

SKIPIF1<0

解得

SKIPIF1<0（8分）

即SKIPIF1<0（10分）

====================================================

如果幂级数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处条件收敛，那么该

级数的收敛半径是多少?

试证之.

5、（本小题6分）由题意,知:

当SKIPIF1<0时,级数绝对收敛；……4分

当SKIPIF1<0时,级数不可能收敛.

……8分

故收敛半径是2.

……10分

====================================================

求方程SKIPIF1<0的通解。

SKIPIF1<05分SKIPIF1<0（10分）

===================================================

SKIPIF1<0

因为级数

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

……2分

均收敛，所以有

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0……6分

SKIPIF1<0……10分