第5章系统稳定性分析.ppt

1、主讲人：董惠娟,机电工程学院,机械类专业技术基础课,2013年5月,2,教学内容,第6章 系统稳态误差分析和计算,第1章 绪 论,第3章 系统的时域分析法,第2章 系统的数学模型,第4章 系统的频域分析法,第5章 系统稳定性分析,第8章 计算机控制系统,第7章 系统的设计与校正,5.1 系统稳定性的基本概念5.2 系统稳定的充要条件5.3 代数稳定判据（Routh判据和Hurwitz判据）5.4 奈奎斯特稳定判据（Nyquist判据）5.5 应用奈奎斯特判据分析延时系统稳定性5.6 由伯德图判断系统的稳定性5.7 控制系统的相对稳定性,哈尔滨工业大学机电工程学院,本章目录,2.闭环控制系统的稳

2、定性问题,1.单摆,系统受扰动后能否恢复原来的状态?,5.1 系统稳定性的基本概念,单摆,倒立 摆,定义：系统在初始状态作用下,5,无输入时的初态输入引起的初态,输出(响应),收敛(回复平衡位置)发散(偏离越来越大),系统稳定系统不稳定,结论：系统是否稳定，取决于系统自身的结构参数，与输入无关,反馈削弱偏差，则稳定反馈加强偏差，则不稳定,稳定性是指自由响应的收敛性,若系统存在反馈,5.1 系统稳定性的基本概念,5.1 系统稳定性的基本概念,如上图，系统的输入是什么？机械系统的表现是什么？,5.1 系统稳定性的基本概念,5.1 系统稳定性的基本概念,5.2 系统稳定性的充要条件,N(s)到Xo(

3、s)的传递函数,Xi(s),设输入Xi(s)=0，则,设n(t)为单位脉冲函数,5.2 系统稳定性的充要条件,闭环特征方程F(s)=0,问题:已知系统的开环传递函数,是否可以写出闭环特征方程?开环极点和闭环特征方程的根哪一个更容易求解?,5.2 系统稳定性的充要条件,控制系统稳定性的充分必要条件是：闭环特征方程式的根全部具有负实部,系统特征根即闭环极点，故也可以说：闭环传递函数的极点全部在s平面的左半平面,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,基于方程式的根与系数的关系设系统闭环特征方程为,s1,s2,sn 为系统的特征根,将上式因式乘开，可求得根与系数的关系,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,要使全

4、部特征根均具有负实部，必须满足：（1）特征方程的各项系数 ai 0(i=0,1,2,n)（2）特征方程的各项系数的符号都相同 ai一般取正值，则上述 两条件简化为 ai 0 必要条件,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,充要条件：如果“劳斯判据”中第一列所有项均为正，则系统稳定。,劳斯阵列：,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,其中：,劳斯判据还说明，实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,一撇一捺除以左下脚,例5-1 设控制系统的特征方程式为：试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：首先，由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯

5、阵列：,劳斯阵列第一列中系数符号全为正，所以控制系统稳定。,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,例题5-1,情形1：第一列没有零元素,例5-2 设控制系统的特征方程式为：试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳斯阵列：,第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有两个实部为正，控制系统不稳定。,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,例题5-2,对于特征方程阶次低(n3)的系统，劳斯判据可简化为：二阶系统特征式为，劳斯表为,故二阶系统稳定性的充要条件是：,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,三阶系统特征式为，劳斯表为：,故三阶系统稳定性的充要条件是：,5.3

6、劳斯稳定性判据代数判据,例5-3 设某反馈控制系统如下图 所示，试计算使系统稳定的K值范围。,解：系统的传递函数为,特征方程？,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,例题5-3,特征方程为,根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定需满足,故使系统稳定的K值范围为0 K 6,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,例5-4 设控制系统的闭环特征方程式为：应用劳斯稳定判断系统的稳定性。,解：劳斯阵列表为,第一列系数改变符号2次，2个正实根。,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,例题5-4,情形2：首列有零元素，且零元素所在的行存在非零元素,例5-5 设控制系统的闭环特征方程式为：应用劳斯稳定判断系统的稳定性。,解

7、：劳斯阵列表为,无正实根，有虚根。,临界稳定,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,例题5-5,情形3：首列有零元素，且零元素所在的行其他元素均为零,例5-6 设控制系统的闭环特征方程式为：应用劳斯稳定判断系统的稳定性。,解：劳斯阵列表为,临界稳定,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,例题5-6,代数稳定判据使用的多项式是系统闭环特征多项式。,劳斯判据的不足：定性不能从量上判断系统的稳定性；对含有延迟环节的系统无效；不能对改善系统的稳定性给出提示。,5.3 劳斯稳定性判据代数判据,5.4乃（奈）奎斯特稳定性判据（Nyquist）,利用开环系统乃奎斯特图（极坐标图）来判断系统闭环后的稳定性。（几何判据）,

8、某些环节传递函数无法分析列写，通过实验获得系统开环频率特性曲线；奈氏判据可以解决代数判据不能解决的问题：如包含延迟环节的系统稳定性问题。能定量指出系统的稳定储备，以及提高动态性能（包括稳定性）的途径。,几何判据,系统Nyquist图（极坐标图）,频率响应 是输入频率的复变函数，是一种变换，当 从-增长至时，作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率响应的极坐标图，亦称乃氏图（乃奎斯特Nyquist曲线）。,5.4 乃奎斯特稳定性判据（Nyquist）,频率响应描述了系统对正弦输入的稳态响应,问题:对于任何多项式都可以作极坐标图?Nyquist图?,Nyquist图 步骤：,写出|G(j)

9、|和 G(j)表达式；分别求出=0和时的G(j)；求乃氏图与实轴的交点，交点可利用ImG(j)=0的关系式求出，也可以利用关系式 G(j)=n180（其中n为整数）求出；求乃氏图与虚轴的交点，交点可利用ReG(j)=0的关系式求出，也可以利用关系式 G(j)=n90（其中n为奇数）求出；必要时画出乃氏图中间几点；勾画大致曲线=-0，关于实轴对称,5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist）,s1=zpk(,-10-20,8000)nyquist(s1);,matlab,s1=tf(40,0.005 0.15 1)nyquist(s1);,30,其中N1(s)，D1(s)，N2(s)，D2(s)均

10、为s的多项式。,5.4 Nyquist稳定性判据,开环传递函数：,闭环传递函数：,问题:已知开环传递函数,是否可以直接给出闭环传递函数?为什么要引入开环极点?开环极点和闭环极点数量相同吗?为什么?哪一个更容易求解?,闭环特征方程：,5.4 Nyquist稳定性判据,闭环特征多项式F(s)零/极点、开环传递函数的零/极点、闭环传递函数的零/极点、闭环特征方程的根之间的关系,问题:已知开环传递函数,是否可以直接给出闭环特征方程和闭环特征多项式？引入闭环特征方程和闭环特征多项式的作用？,闭环特征多项式:,5.4 Nyquist稳定性判据,系统稳定的充要条件是闭环传函GB(s)的全部极点均具有负实部，

11、即，F(s)函数的全部零点均须具有负实部。即，闭环特征方程F(s)的特征根全部具有负实部,闭环特征方程F(s)与开环、闭环的传递函数零点和极点的关系,由H.Nyquist于1932年提出的稳定判据，在1940年后得到了广泛应用。利用开环系统乃奎斯特图（极坐标图），来判断系统闭环后的稳定性，是一种几何判据。,Nyquist将 与 联系起来,利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性,而无需实际求出闭环极点。,5.4 乃奎斯特稳定性判据（Nyquist）,米哈伊洛夫（）定理 米哈伊洛夫定理-证明乃奎斯特稳定性判据的一个引理，其表述为：设n次多项式D(s)有p个零点(特征根)位于复平面的右半面，有q个零点

12、(特征根)在原点上，其余n-p-q个零点位于左半面，则当以s=j代入D(s)并令从-连续增大到时，D(j)的角增量等于,5.4 Nyquist稳定性判据,角增量对应极坐标图的角度变化量？,证明(1)设s1为负实根，对于矢量(s-s1),当s=j 变化时,5.4 Nyquist稳定性判据,（2）设 sm为正实根，对于矢量(s-sm),当s=j 变化时,什么是当 时频率响应G(j)=(j-s1)的角增量？,5.4 Nyquist稳定性判据,（3）设s2、s3为具有负实部的共轭复根，s2=-a+jb(a0,b0)s3=-a-jb 对于矢量(s-s2)和(s-s3),当s=j 变化时,5.4 Nyqu

13、ist稳定性判据,（4）设sm+1、sm+2为具有正实部的共轭复根，sm+1=c+jd(c0,d0)sm+2=c-jd,对于矢量(s-sm+1)和(s-sm+2),当s=j 变化时,另外，原点根不引起角变化量。,5.4 Nyquist稳定性判据,如果n次多项式D(s)有p个根在右半平面，q个在原点，其余(n-p-q)个在s左半面，则,5.4 Nyquist稳定性判据,如何知道闭环特征多项式F(j)相对原点的角变化量？闭环特征多项式F(j)和G(j)H(j)的角变化量的关系,闭环特征多项式：,已知：,判断闭环稳定性，即,（1）如果n个开环极点均在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理,5.4 Nyqu

14、ist稳定性判据,设开环极点均在s左半平面，且当从-到变化时，F(j)的乃氏图相对原点的角变化量为零，则系统闭环后稳定。,且F(j)的乃氏图相对原点的角变化量,所以：,F(s)=1+G(s)H(s)与 G(s)H(s)的乃氏图差向量（-1，j0）,5.4 Nyquist稳定性判据,设开环极点均在左半平面，且当从-到变化时，开环系统G(j)H(j)乃氏图相对（-1，j0）点的角变化量为零时，系统闭环后稳定。,乃奎斯特稳定判据表述一：,设开环极点均在左半平面，且当从-到变化时，系统开环乃氏图不包围（-1，j0）点时，系统闭环后稳定。,（2）如果n个开环极点中p个在s右半平面，原点没有极点，其余(n

15、-p)个在s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论：,5.4 Nyquist稳定性判据,设n个开环极点p个在右半平面，其余在左半平面，F(j)的乃氏图原点p圈，则系统闭环后稳定。,且F(j)的乃氏图相对原点的角变化量为,所以：,5.4 Nyquist稳定性判据,设开环特征多项式在右半平面有p个零点(开环极点p个)，没有原点根，则开环乃氏图，当从-到变化时，其相对(-1，j0)点的角变化量为 时，系统闭环稳定。,乃奎斯特稳定判据表述二：,如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(1,j0)点的圈数（角增量）等于开环右极点的个数，则闭环系统稳定。,闭环稳定的充要条件,问题:特征多项式F(s)的作用?

16、,开环传递函数，判断闭环稳定性。,的幅值和相角,例题5-7,该乃氏图随着频率的增加，幅值减小的意义？频率为3.2rad/s的意义？频率为0.76rad/s，幅值为79.6，相角为-41度的意义？该对数频率特性图在零分贝以下的频率是多少？为什么从0到时，针对该系统，乃氏图相角为负？该系统由两个惯性环节组成，哪一个时间滞后较多？,在s平面上的一点，必定在F(s)平面上对应一点，称为点映射。,例题5-8,5.4.1 映射定理-证明乃氏判据的另一方法,问题：为什么引入两个复平面，s平面和F(s)平面？他们的关系？,5.4.1 映射定理(围线映射)(保角映射),为什么称为围线映射，保角映射？如果封闭曲线包围两个零点，映射到F(s)平面的像曲线包围原点的周数？角增量？和利用闭环特征多项式判稳定性的关系？,映射定理（柯西幅角定理）(相角原理),s 平面上不通过 F(s)任何零、极点的任意封闭曲线 s，包围 s 平面上F(s)的 z个零点和 p 个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 s移动1周时，在 F(s)平面映射的封闭曲线 F 将顺时针方向绕原点旋转 n=z-p 圈。,若n为正，表示 F 顺时针运动