第5章系统稳定性分析.ppt

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主讲人：

董惠娟,机电工程学院,机械类专业技术基础课,2013年5月,2,教学内容,第6章系统稳态误差分析和计算,第1章绪论,第3章系统的时域分析法,第2章系统的数学模型,第4章系统的频域分析法,第5章系统稳定性分析,第8章计算机控制系统,第7章系统的设计与校正,5.1系统稳定性的基本概念5.2系统稳定的充要条件5.3代数稳定判据（Routh判据和Hurwitz判据）5.4奈奎斯特稳定判据（Nyquist判据）5.5应用奈奎斯特判据分析延时系统稳定性5.6由伯德图判断系统的稳定性5.7控制系统的相对稳定性,哈尔滨工业大学机电工程学院,本章目录,2.闭环控制系统的稳定性问题,1.单摆,系统受扰动后能否恢复原来的状态?

5.1系统稳定性的基本概念,单摆,倒立摆,定义：

系统在初始状态作用下,5,无输入时的初态输入引起的初态,输出（响应）,收敛（回复平衡位置）发散（偏离越来越大）,系统稳定系统不稳定,结论：

系统是否稳定，取决于系统自身的结构参数，与输入无关,反馈削弱偏差，则稳定反馈加强偏差，则不稳定,稳定性是指自由响应的收敛性,若系统存在反馈,5.1系统稳定性的基本概念,5.1系统稳定性的基本概念,如上图，系统的输入是什么？

机械系统的表现是什么？

5.1系统稳定性的基本概念,5.1系统稳定性的基本概念,5.2系统稳定性的充要条件,N（s）到Xo（s）的传递函数,Xi（s）,设输入Xi（s）=0，则,设n（t）为单位脉冲函数,5.2系统稳定性的充要条件,闭环特征方程F（s）=0,问题:

已知系统的开环传递函数,是否可以写出闭环特征方程?

开环极点和闭环特征方程的根哪一个更容易求解?

5.2系统稳定性的充要条件,控制系统稳定性的充分必要条件是：

闭环特征方程式的根全部具有负实部,系统特征根即闭环极点，故也可以说：

闭环传递函数的极点全部在s平面的左半平面,5.3劳斯稳定性判据代数判据,基于方程式的根与系数的关系设系统闭环特征方程为,s1,s2,sn为系统的特征根,将上式因式乘开，可求得根与系数的关系,5.3劳斯稳定性判据代数判据,要使全部特征根均具有负实部，必须满足：

（1）特征方程的各项系数ai0（i=0,1,2,n）

（2）特征方程的各项系数的符号都相同ai一般取正值，则上述两条件简化为ai0必要条件,5.3劳斯稳定性判据代数判据,充要条件：

如果“劳斯判据”中第一列所有项均为正，则系统稳定。

劳斯阵列：

5.3劳斯稳定性判据代数判据,其中：

劳斯判据还说明，实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。

5.3劳斯稳定性判据代数判据,一撇一捺除以左下脚,例5-1设控制系统的特征方程式为：

试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。

解：

首先，由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。

其次，排劳斯阵列：

劳斯阵列第一列中系数符号全为正，所以控制系统稳定。

5.3劳斯稳定性判据代数判据,例题5-1,情形1：

第一列没有零元素,例5-2设控制系统的特征方程式为：

试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。

解：

由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。

其次，排劳斯阵列：

第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有两个实部为正，控制系统不稳定。

5.3劳斯稳定性判据代数判据,例题5-2,对于特征方程阶次低（n3）的系统，劳斯判据可简化为：

二阶系统特征式为，劳斯表为,故二阶系统稳定性的充要条件是：

5.3劳斯稳定性判据代数判据,三阶系统特征式为，劳斯表为：

故三阶系统稳定性的充要条件是：

5.3劳斯稳定性判据代数判据,例5-3设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。

解：

系统的传递函数为,特征方程？

5.3劳斯稳定性判据代数判据,例题5-3,特征方程为,根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定需满足,故使系统稳定的K值范围为0K6,5.3劳斯稳定性判据代数判据,例5-4设控制系统的闭环特征方程式为：

应用劳斯稳定判断系统的稳定性。

解：

劳斯阵列表为,第一列系数改变符号2次，2个正实根。

5.3劳斯稳定性判据代数判据,例题5-4,情形2：

首列有零元素，且零元素所在的行存在非零元素,例5-5设控制系统的闭环特征方程式为：

应用劳斯稳定判断系统的稳定性。

解：

劳斯阵列表为,无正实根，有虚根。

临界稳定,5.3劳斯稳定性判据代数判据,例题5-5,情形3：

首列有零元素，且零元素所在的行其他元素均为零,例5-6设控制系统的闭环特征方程式为：

应用劳斯稳定判断系统的稳定性。

解：

劳斯阵列表为,临界稳定,5.3劳斯稳定性判据代数判据,例题5-6,代数稳定判据使用的多项式是系统闭环特征多项式。

劳斯判据的不足：

定性不能从量上判断系统的稳定性；对含有延迟环节的系统无效；不能对改善系统的稳定性给出提示。

5.3劳斯稳定性判据代数判据,5.4乃（奈）奎斯特稳定性判据（Nyquist）,利用开环系统乃奎斯特图（极坐标图）来判断系统闭环后的稳定性。

（几何判据）,某些环节传递函数无法分析列写，通过实验获得系统开环频率特性曲线；奈氏判据可以解决代数判据不能解决的问题：

如包含延迟环节的系统稳定性问题。

能定量指出系统的稳定储备，以及提高动态性能（包括稳定性）的途径。

几何判据,系统Nyquist图（极坐标图）,频率响应是输入频率的复变函数，是一种变换，当从-增长至时，作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率响应的极坐标图，亦称乃氏图（乃奎斯特Nyquist曲线）。

5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist）,频率响应描述了系统对正弦输入的稳态响应,问题:

对于任何多项式都可以作极坐标图?

Nyquist图?

Nyquist图步骤：

写出|G（j）|和G（j）表达式；分别求出=0和时的G（j）；求乃氏图与实轴的交点，交点可利用ImG（j）=0的关系式求出，也可以利用关系式G（j）=n180（其中n为整数）求出；求乃氏图与虚轴的交点，交点可利用ReG（j）=0的关系式求出，也可以利用关系式G（j）=n90（其中n为奇数）求出；必要时画出乃氏图中间几点；勾画大致曲线=-0，关于实轴对称,5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist）,s1=zpk（,-10-20,8000）nyquist（s1）;,matlab,s1=tf（40,0.0050.151）nyquist（s1）;,30,其中N1（s），D1（s），N2（s），D2（s）均为s的多项式。

5.4Nyquist稳定性判据,开环传递函数：

闭环传递函数：

问题:

已知开环传递函数,是否可以直接给出闭环传递函数?

为什么要引入开环极点?

开环极点和闭环极点数量相同吗?

为什么?

哪一个更容易求解?

闭环特征方程：

5.4Nyquist稳定性判据,闭环特征多项式F（s）零/极点、开环传递函数的零/极点、闭环传递函数的零/极点、闭环特征方程的根之间的关系,问题:

已知开环传递函数,是否可以直接给出闭环特征方程和闭环特征多项式？

引入闭环特征方程和闭环特征多项式的作用？

闭环特征多项式:

5.4Nyquist稳定性判据,系统稳定的充要条件是闭环传函GB（s）的全部极点均具有负实部，即，F（s）函数的全部零点均须具有负实部。

即，闭环特征方程F（s）的特征根全部具有负实部,闭环特征方程F（s）与开环、闭环的传递函数零点和极点的关系,由H.Nyquist于1932年提出的稳定判据，在1940年后得到了广泛应用。

利用开环系统乃奎斯特图（极坐标图），来判断系统闭环后的稳定性，是一种几何判据。

Nyquist将与联系起来,利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性,而无需实际求出闭环极点。

5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist）,米哈伊洛夫（）定理米哈伊洛夫定理-证明乃奎斯特稳定性判据的一个引理，其表述为：

设n次多项式D（s）有p个零点（特征根）位于复平面的右半面，有q个零点（特征根）在原点上，其余n-p-q个零点位于左半面，则当以s=j代入D（s）并令从-连续增大到时，D（j）的角增量等于,5.4Nyquist稳定性判据,角增量对应极坐标图的角度变化量？

证明

（1）设s1为负实根，对于矢量（s-s1）,当s=j变化时,5.4Nyquist稳定性判据,

（2）设sm为正实根，对于矢量（s-sm）,当s=j变化时,什么是当时频率响应G（j）=（j-s1）的角增量？

5.4Nyquist稳定性判据,（3）设s2、s3为具有负实部的共轭复根，s2=-a+jb（a0,b0）s3=-a-jb对于矢量（s-s2）和（s-s3）,当s=j变化时,5.4Nyquist稳定性判据,（4）设sm+1、sm+2为具有正实部的共轭复根，sm+1=c+jd（c0,d0）sm+2=c-jd,对于矢量（s-sm+1）和（s-sm+2）,当s=j变化时,另外，原点根不引起角变化量。

5.4Nyquist稳定性判据,如果n次多项式D（s）有p个根在右半平面，q个在原点，其余（n-p-q）个在s左半面，则,5.4Nyquist稳定性判据,如何知道闭环特征多项式F（j）相对原点的角变化量？

闭环特征多项式F（j）和G（j）H（j）的角变化量的关系,闭环特征多项式：

已知：

判断闭环稳定性，即,

（1）如果n个开环极点均在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理,5.4Nyquist稳定性判据,设开环极点均在s左半平面，且当从-到变化时，F（j）的乃氏图相对原点的角变化量为零，则系统闭环后稳定。

且F（j）的乃氏图相对原点的角变化量,所以：

F（s）=1+G（s）H（s）与G（s）H（s）的乃氏图差向量（-1，j0）,5.4Nyquist稳定性判据,设开环极点均在左半平面，且当从-到变化时，开环系统G（j）H（j）乃氏图相对（-1，j0）点的角变化量为零时，系统闭环后稳定。

乃奎斯特稳定判据表述一：

设开环极点均在左半平面，且当从-到变化时，系统开环乃氏图不包围（-1，j0）点时，系统闭环后稳定。

（2）如果n个开环极点中p个在s右半平面，原点没有极点，其余（n-p）个在s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论：

5.4Nyquist稳定性判据,设n个开环极点p个在右半平面，其余在左半平面，F（j）的乃氏图原点p圈，则系统闭环后稳定。

且F（j）的乃氏图相对原点的角变化量为,所以：

5.4Nyquist稳定性判据,设开环特征多项式在右半平面有p个零点（开环极点p个），没有原点根，则开环乃氏图，当从-到变化时，其相对（-1，j0）点的角变化量为时，系统闭环稳定。

乃奎斯特稳定判据表述二：

如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围（1,j0）点的圈数（角增量）等于开环右极点的个数，则闭环系统稳定。

闭环稳定的充要条件,问题:

特征多项式F（s）的作用?

开环传递函数，判断闭环稳定性。

的幅值和相角,例题5-7,该乃氏图随着频率的增加，幅值减小的意义？

频率为3.2rad/s的意义？

频率为0.76rad/s，幅值为79.6，相角为-41度的意义？

该对数频率特性图在零分贝以下的频率是多少？

为什么从0到时，针对该系统，乃氏图相角为负？

该系统由两个惯性环节组成，哪一个时间滞后较多？

在s平面上的一点，必定在F（s）平面上对应一点，称为点映射。

例题5-8,5.4.1映射定理-证明乃氏判据的另一方法,问题：

为什么引入两个复平面，s平面和F（s）平面？

他们的关系？

5.4.1映射定理（围线映射）（保角映射）,为什么称为围线映射，保角映射？

如果封闭曲线包围两个零点，映射到F（s）平面的像曲线包围原点的周数？

角增量？

和利用闭环特征多项式判稳定性的关系？

映射定理（柯西幅角定理）（相角原理）,s平面上不通过F（s）任何零、极点的任意封闭曲线s，包围s平面上F（s）的z个零点和p个极点。

当s以顺时针方向沿封闭曲线s移动1周时，在F（s）平面映射的封闭曲线F将顺时针方向绕原点旋转n=z-p圈。

若n为正，表示F顺时针运动