高考理科数学新课标全国3卷逐题解析.docx

1、高考理科数学新课标全国3卷逐题解析2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共 12小题，每小题 5分，共 60分）1已知集合2 2A (x, y) x y 1 ， B (x, y) y x ，则 A B 中元素的个数为（） A3 B2 C1 D0【答案】 B【解析】 A 表示圆2 2x y 1上所有点的集合， B 表示直线 y x 上所有点的集合，故 A B 表示两直线与圆的交点， 由图可知交点的个数为 2，即 A B 元素的个数为 2，故选 B.2设复数 z满足 (1 i) z 2i ，则 z （）A12B22C 2 D2【答案】 C【解析】

2、由题，2i 2i 1 i 2i 2z i 1，则 z 12 12 2 ，故选 C.1 i 1 i 1 i 23某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图- 1 -2014年 2015年 2016年根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8月 D各年 1月至6月的月接待游客量相对于 7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】 A【解析】由题图可知， 2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则 A选项错误，故

3、选 A.45(x y)(2 x y) 的展开式中3 3x y 的系数为（） A B C40 D80【答案】 C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含3 3x y 的项为2 3 3 22 3 3 3x C 2x y y C 2x y 40x y ，则5 53 3x y 的系数为 40，故选 C.2 2x y5已知双曲线 C： 2 2 1 （ a 0 ， b 0 ）的一条渐近线方程为a b2 2x y1 有公共焦点则 C 的方程为（）12 3 2 2 2 2 2 2 x y x y x yA 1 B 1 C 18 10 4 5 5 4【答案】 B5y x ，且与椭圆2D2 2x y4 315 b

4、5【解析】 双曲线的一条渐近线方程为 y x ，则 2 a 22 2x y2 2 2 9 又 椭圆1 与双曲线有公共焦点，易知 c 3 ，则a b c 12 3 2 2 x y 1由 解得 a 2,b 5 ，则双曲线 C 的方程为 ，故选 B.4 5- 2 -6设函数f (x) cos(x ) ，则下列结论错误的是（）3A f (x) 的一个周期为 2 B y f (x) 的图像关于直线 8x 对称 3C f (x ) 的一个零点为x D f (x) 在6( , )2单调递减【答案】 D【解析】函数f x cos x 的图象可由 y cos x 向左平移3个单位得到，3如图可知， f x 在,

5、2上先递减后递增， D选项错误，故选 D.y O x-67执行右图的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为（）A5B4C3D2 【答案】 D【解析】程序运行过程如下表所示：S M 初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10 2第2次循环结束 90 1 3此时 S 90 91首次满足条件， 程序需在 t 3时跳出循环， 即N 2为满足条件的最小值，故选 D.8已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A B34CD4【答案】 B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2 2 1 3r 1 ，

6、 2 2则圆柱体体积2 3V r h ，故选 B.4- 3 -9等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0若（）a ，a3 ， a6 成等比数列，则 an 前6项的和为2 A 24 B 3 C3 D8【答案】 A【解析】 an 为等差数列，且 a2 , a3 ,a6 成等比数列，设公差为 .则2a a a ，即3 2 62a1 2d a1 d a1 5d又 a1 1 ，代入上式可得又 d 0 ，则 d 22 2 0d d6 5 6 5S a d ，故选 A.6 1 6 2 24 6 12 210已知椭圆 C2 2x y: 1（a b 0 ）的左、右顶点分别为 A1 ， A2 ，且以线段 A1

7、A2 为直径2 2a b的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为（）6A3【答案】 AB33C2D13【解析】 以 A1 A2 为直径为圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，圆心到直线距离等于半径，2abd a2 2a b又 a 0,b 0 ，则上式可化简为 a2 3b22 2c2 2 22 3 2 2 b a c ，可得b a c ，可得a a c ，即a23eca63，故选 A11已知函数2 x 1 x 1f x x x a 有唯一零点，则 a （）( ) 2 (e e )A1B13C12D1【答案】 C【解析】由条件，2 x 1 x 1f (x) x 2x a(e

8、e ) ，得：2 2 x 1 (2 x) 1f (2 x) (2 x) 2(2 x) a(e e )2 1 x x 1x 4x 4 4 2x a(e e )2 x 1 x 1x 2x a(e e ) f (2 x) f (x) ，即 x 1 为 f (x) 的对称轴，由题意， f (x) 有唯一零点， f (x) 的零点只能为 x 1，- 4 -即2 1 1 1 1f (1) 1 2 1 a(e e ) 0 ，解得 1a 212在矩形 ABCD 中， AB 1 ， AD 2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若AP AB AD ，则的最大值为（）A3 B 2 2 C 5 D2

9、【答案】 A【解析】由题意，画出右图 设 BD 与 C 切于点 E ，连接CE 以 A 为原点， AD 为轴正半轴， AB为轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为 (2,1) |CD | 1 ， |BC | 2 BD 12 22 5 BD 切 C 于点 E CE BD CE 是 RtBCD 中斜边BD 上的高 12 | BC | | CD |2S 2 2 2BCD| EC | 5 | BD | | BD | 5 5即 C 的半径为255 P 在 C 上 42 2(x 2) (y 1) P 点的轨迹方程为5设 P 点坐标 (x0 , y0 ) ，可以设出 P 点坐标满足的参数方程如下：yBCPg

10、x022 5 cos 5EA O D x( )y021 5 sin 5而 AP (x0 , y0 ) ， AB (0,1) ， AD (2,0) AP AB AD (0,1) (2,0) (2 , )21 5y 1 5 sin x 1 cos ， 0052 5两式相加得： 2 51 5 sin 1 cos 5 52 5 52 22 ( ) ( ) sin( ) 5 52 sin( ) 3(其中 sin55，cos2 55)当且仅当22k ， k Z 时， 取得最大值 3- 5 -二、填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）x y 0, x y 2 0, 则 z 3x 4y 的最小值

11、为 _13若 x，y满足约束条件y 0,【答案】 1【解析】由题，画出可行域如图： 3 z目标函数为 z 3x 4y ，则直线y x 纵截距越大，值越小 4 4由图可知：在A 1,1 处取最小值，故zmin 3 1 4 1 1 x y y2 0A(1,1)x B(2,0)x y 014设等比数列 an 满足【答案】 8a1 a2 1， a1 a3 3 ，则a _4【解析】 an 为等比数列，设公比为a a1 2a a1 313，即a a q1 1a a q1 1213，显然q 1， a1 0 ，得 1 q 3 q 2 a 1 ，即 ，代入 式可得 ， 133a a q 1 2 8 4 115设

12、函数f (x)x x1, 0,x2 , x 0,则满足1f (x) f (x ) 1 的x的取值范围是_2【答案】14,【解析】 f xx x1, 0x2 , x 0，1f x f x 1 ，即21f x 1 f x2由图象变换可画出1y f x 与 y 1 f x 的图象如下：2y1y f (x )2 1 1( , ) 4 41 1 x2 2 y 1 f (x)- 6 -由图可知，满足1f x 1 f x 的解为214,.16，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与，都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与成 60

13、角时， AB 与成 30 角； 当直线 AB 与成 60 角时， AB 与成 60 角；直线 AB与所成角的最小值为 45 ； 直线 AB与所成角的最大值为 60 其中正确的是 _（填写所有正确结论的编号）【答案】 【解析】由题意知， a、b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图 不妨设图中所示正方体边长为 1，故 | AC | 1， AB 2 ，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，则 A点保持不变，B 点的运动轨迹是以 C 为圆心， 1为半径的圆 以 C 为坐标原点，以 CD 为轴正方向， CB 为轴正方向，CA 为轴正方向建立空间直角坐标系 则 D (1,0,0) ， A(0,0,

14、1) ，直线的方向单位向量 a (0,1,0) ，| a | 1B 点起始坐标为 (0,1,0) ，直线的方向单位向量 b (1,0,0) ，|b | 1设 B 点在运动过程中的坐标 B (cos ,sin ,0) ，其中为 B C 与CD 的夹角， 0,2 ) 那么 AB 在运动过程中的向量 AB ( cos , sin ,1)， | AB | 2 设 AB 与所成夹角为则 0, 2，( cos , sin ,1) (0,1,0) 2 2cos | sin | 0, 2 2a AB故 , 4 2，所以 正确， 错误 设 AB 与所成夹角为 0, 2，cosAB bb AB( cos ,sin

15、 ,1) (1,0,0) .b AB22| cos |当 AB 与夹角为 60 时，即，31 2sin 2 cos 2 cos 23 2 22 2cos sin 1，- 7 - | cos | 222 1cos | cos |2 20, 2=，此时 AB 与夹角为 60 3 正确， 错误 三、解答题：（共 70分第 17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60分17（12分） ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin A 3 cos A 0 ，a 2 7 ，b 2 （1）求c；（2）设 D 为 BC 边上

16、一点，且 AD AC ，求 ABD 的面积【解析】 （1）由 sin A 3 cos A 0 得2sin A 0 ，3即A k k Z ，又 A 0,，3A ，得3 2A . 3由余弦定理2 2 2a b c bc A .又2 cos1a 2 7,b 2, cosA 代入并整理得22c 1 25，故 c 4.（2） AC 2, BC 2 7, AB 4 ，2 2 2 2 7 a b c由余弦定理 cos C .2ab 7 AC AD ，即 ACD 为直角三角形，则 AC CD cosC ，得 CD 7 .由勾股定理2 2AD CD AC 3.又 2A ，则 3 2 DAB ， 3 2 61 S

17、 AD AB sin 3 .ABD2 618（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间 20，25 ，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15 15，20 20 ，25 25，30 30 ，35 35，40天数 2 16 36 25 7 4以最高气温

18、位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率- 8 -（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？【解析】 易知需求量可取 200,300,500P X 2002 16 130 3 5P X 30036 230 3 5 25 7 4 2P X 500 . 30 3 5则分布列为：X 200 300 500P2525 当 n 200 时： Y n 6 4 2n ，此时Ymax 400 ，当 n 200 时取到 .当 200 n 300 时：4 1

19、Y 2n 200 2 n 200 2 5 58 800 2n 6n 800n5 5 5此时 Ymax 520 ，当 n 300 时取到 .当 300 n 500 时，1 2 2Y 200 2 n 200 2 300 2 n 300 2 n 25 5 53200 2n5此时 Y 520 .当 n 500 时，易知一定小于 的情况 .综上所述：当 n 300 时，取到最大值为 520 .19（12分）如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， ACD 是直角三角形 ? ABD ? CBD ，AB= BD （1）证明：平面 ACD 平面 ABC ；D（2）过AC 的平面交 BD 于点 E ，

20、若平面 AEC把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分求二面角 D - AE - C 的余弦值CEBD【解析】 取 AC 中点为 O ，连接BO ， DO ； AABC 为等边三角形 BO AC AB BCAB BCCEOBD BDABD CBD .BABD DBC AD CD ,即 ACD 为等腰直角三角形， ADCA 为直角又O 为底边 AC 中点- 9 - DO AC令 AB a ，则 AB AC BC BD a2 3易得： OD a ， OB a2 2 2 2 2OD OB BD由勾股定理的逆定理可得DOB2即 OD OBOD ACOD OB zAC OB OAC ABC平面OD 平面

21、ABCDOB ABC平面又 OD 平面ADC由面面垂直的判定定理可得 平面ADC 平面ABCC E 由题意可知 V VD ACE B ACEO即 B , D 到平面 ACE 的距离相等B y 即 E 为 BD 中点以 O 为原点， OA 为轴正方向， OB 为轴正方向，OD 为轴正方向，设 AC a ，建立空间直角坐标系，xA a a则 O 0,0,0 ， A ,0,0 ， D 0,0, ， 2 23B 0, a,0 ，23 aE 0, a,4 4易得： a 3 a a a aAE , a, ， AD ,0, ，OA ,0,0 2 4 4 2 2 2设平面 AED的法向量为n ，平面 AEC 的法向量为1n ，2则AE n1AD n100，解得 n1 3,1, 3AE n2OA n200，解得 n2 0,1, 3若二面角 D AE C 为，易知为锐角，则cosn n1 2n n1 27720（12分）已知抛物线2C : y = 2x，过点（ 2，0）的直线交 C 于 A ， B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点