高考理科数学新课标全国3卷逐题解析.docx
《高考理科数学新课标全国3卷逐题解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理科数学新课标全国3卷逐题解析.docx（33页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高考理科数学新课标全国3卷逐题解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）
理科数学
（试题及答案解析）
一、选择题：
（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合
22
A（x,y）xy1，B（x,y）yx，则AB中元素的个数为（）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】A表示圆
22
xy1上所有点的集合，B表示直线yx上所有点的集合，
故AB表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB元素的个数为2，
故选B.
2．设复数z满足（1i）z2i，则z（）
A．
1
2
B．
2
2
C．2D．2
【答案】C
【解析】由题，
2i2i1i2i2
zi1，则z12122，故选C.
1i1i1i2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016
年12月期间月接待游客量（单位：
万人）的数据，绘制了下面的折线图．
-1-
2014年2015年2016年
根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.
4．
5
（xy）（2xy）的展开式中
33
xy的系数为（）
A．B．C．40D．80
【答案】C
【解析】由二项式定理可得，原式展开中含
33
xy的项为
2332
2333
xC2xyyC2xy40xy，则
55
33
xy的系数为40，故选C.
22
xy
5．已知双曲线C：
221（a0，b0）的一条渐近线方程为
ab
22
xy
1有公共焦点．则C的方程为（）
123
222222
xyxyxy
A．1B．1C．1
8104554
【答案】B
5
yx，且与椭圆
2
D．
22
xy
43
1
5b5
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为yx，则
①2a2
22
xy
2229又∵椭圆
1与双曲线有公共焦点，易知c3，则
abc②
123
22
xy
1
由①②解得a2,b5，则双曲线C的方程为，故选B.
45
-2-
6．设函数
π
f（x）cos（x），则下列结论错误的是（）
3
A．f（x）的一个周期为2πB．yf（x）的图像关于直线
8π
x对称
3
C．f（x）的一个零点为
π
xD．f（x）在
6
π
（,π）
2
单调递减
【答案】D
【解析】函数
π
fxcosx的图象可由ycosx向左平移
3
π
个单位得到，
3
如图可知，fx在
π
π
2
上先递减后递增，D选项错误，故选D.
y
Ox
-
6
7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）
A．5
B．4
C．3
D．2【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示：
SM初始状态01001第1次循环结束100102
第2次循环结束9013
此时S9091首次满足条件，程序需在t3时跳出循环，即
N2为满足条件的最小值，故选D.
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积
为（）
A．πB．
3π
4
C．
π
２
D．
π
4
【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径
2
213
r1，
22
则圆柱体体积
23π
Vrh，故选B.
π
4
-3-
9．等差数列an的首项为1，公差不为0．若
（）
a，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为
2
A．24B．3C．3D．8
【答案】A
【解析】∵an为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为.
则
2
aaa，即
326
2
a12da1da15d
又∵a11，代入上式可得
又∵d0，则d2
220
dd
6565
Sad，故选A.
616224∴61
22
10．已知椭圆C
22
xy
:
1
（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径
22
ab
的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为（）
6
A．
3
【答案】A
B．
3
3
C．
2
３
D．
1
3
【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bxay2ab0相切，∴圆心到直线距离等于半径，
∴
2ab
da
22
ab
又∵a0,b0，则上式可化简为a23b2
2
2
c
222
2322
∵bac，可得
bac，可得
aac，即
a
2
3
∴
e
c
a
6
3
，故选A
11．已知函数
2x1x1
fxxxa有唯一零点，则a（）
（）2（ee）
A．
1
２
B．
1
3
C．
1
2
D．1
【答案】C
【解析】由条件，
2x1x1
f（x）x2xa（ee），得：
22x1（2x）1
f（2x）（2x）2（2x）a（ee）
21xx1
x4x442xa（ee）
2x1x1
x2xa（ee）
∴f（2x）f（x），即x1为f（x）的对称轴，
由题意，f（x）有唯一零点，
∴f（x）的零点只能为x1，
-4-
即
21111
f
（1）121a（ee）0，
解得
1
a．
2
12．在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若
APABAD，则的最大值为（）
A．3B．22C．5D．2
【答案】A
【解析】由题意，画出右图．
设BD与C切于点E，连接CE．
以A为原点，AD为轴正半轴，
AB为轴正半轴建立直角坐标系，
则C点坐标为（2,1）．
∵|CD|1，|BC|2．
∴BD12225．
∵BD切C于点E．∴CE⊥BD．
∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高．
1
2|BC||CD|
2S222
△BCD
|EC|5
|BD||BD|55
即C的半径为
2
5
5
．
∵P在C上．
4
22
（x2）（y1）
∴P点的轨迹方程为
5
．
设P点坐标（x0,y0），可以设出P点坐标满足
的参数方程如下：
y
B
C
Pg
x
0
2
25cos
5
E
AODx
（）
y
0
2
15sin
5
而AP（x0,y0），AB（0,1），AD（2,0）．
∵APABAD（0,1）（2,0）（2,）
∴
2
15
y15sin．
x1cos，0
0
5
25
两式相加得：
25
15sin1cos
55
255
22
2（）（）sin（）
55
2sin（）≤3
（其中sin
5
5
，
cos
25
5
）
当且仅当
π
2
2kπ，kZ时，取得最大值3．
-5-
二、填空题：
（本题共4小题，每小题5分，共20分）
xy≥0,
xy2≤0,则z3x4y的最小值为________．
13．若x，y满足约束条件
y0,
≥
【答案】1
【解析】由题，画出可行域如图：
3z
目标函数为z3x4y，则直线yx纵截距越大，值越小．
44
由图可知：
在A1,1处取最小值，故
zmin31411．
xyy
20
A
（1,1）
xB
（2,0）
xy0
14．设等比数列an满足
【答案】8
a1a21，a1a33，则
a________．
4
【解析】an为等比数列，设公比为．
aa
12
aa
13
1
3
，即
aaq
11
aaq
11
2
1
3
①
②
，
显然q1，a10，
②
得1q3q2a1
，即，代入①式可得
，
1
①
3
3
aaq128
．
41
15．设函数
f（x）
xx≤
1,0,
x
2,x0,
则满足
1
f（x）f（x）1的x的取值范围是________．
2
【答案】
1
4
【解析】fx
xx≤
1,0
x
2,x0
，
1
fxfx1，即
2
1
fx1fx
2
由图象变换可画出
1
yfx与y1fx的图象如下：
2
y
1
yf（x）
2
11
（,）
44
11x
22
y1f（x）
-6-
由图可知，满足
1
fx1fx的解为
2
1
4
.
16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与
，都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与成60角时，AB与成30角；②当直线AB与成60角时，AB与成60角；
③直线AB与所成角的最小值为45；④直线AB与所成角的最大值为60．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）
【答案】②③
【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1，
故|AC|1，AB2，
斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
以C为坐标原点，以CD为轴正方向，CB为轴正方向，
CA为轴正方向建立空间直角坐标系．
则D（1,0,0），A（0,0,1），
直线的方向单位向量a（0,1,0），|a|1．
B点起始坐标为（0,1,0），
直线的方向单位向量b（1,0,0），|b|1．
设B点在运动过程中的坐标B（cos,sin,0），
其中为BC与CD的夹角，[0,2π）．
那么AB'在运动过程中的向量AB（cos,sin,1），|AB|2．
设AB与所成夹角为
则
π
[0,]
2
，
（cos,sin,1）（0,1,0）22
cos|sin|[0,]
22
aAB
．
故
ππ
[,]
42
，所以③正确，④错误．
设AB与所成夹角为
π
[0,]
2
，
cos
ABb
bAB
（cos,sin,1）（1,0,0）
.
bAB
2
2
|cos|
当AB与夹角为60时，即
π
，
3
12
sin2cos2cos2
322
．
∵
22
cossin1，
-7-
∴|cos|2
2
．
∴
21
cos|cos|
22
．
∵
π
[0,]
2
．
∴
=
π
，此时AB与夹角为60．
3
∴②正确，①错误．
三、解答题：
（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考
题，考生根据要求作答）
（一）必考题：
共60分．
17．（12分）
ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA3cosA0，a27，b2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求△ABD的面积．
【解析】
（1）由sinA3cosA0得
π
2sinA0，
3
即
π
AkkZ，又A0,π，
π
3
∴
π
Aπ，得
3
2π
A.
3
由余弦定理
222
abcbcA.又∵
2cos
1
a27,b2,cosA代入并整理得
2
2
c125，故c4.
（2）∵AC2,BC27,AB4，
22227abc
由余弦定理cosC.
2ab7
∵ACAD，即△ACD为直角三角形，
则ACCDcosC，得CD7.
由勾股定理
22
ADCDAC3.
又
2π
A，则
3
2πππ
DAB，
326
1π
S△ADABsin3.
ABD
26
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶
6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，
每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；
如果最高气温位于区间20，25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数
分布表：
最高气温10，1515，2020，2525，3030，3535，40
天数216362574
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
-8-
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元）．当六月份这种酸奶一天的进
货量（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【解析】⑴易知需求量可取200,300,500
PX200
2161
3035
PX300
362
3035
25742
PX500.
3035
则分布列为：
X200300500
P
2
5
2
5
⑵①当n≤200时：
Yn642n，此时
Ymax400，当n200时取到.
②当200n≤300时：
41
Y2n2002n2002
55
88002n6n800
n
555
此时Ymax520，当n300时取到.
③当300n≤500时，
122
Y2002n20023002n3002n2
555
32002n
5
此时Y520.
④当n≥500时，易知一定小于③的情况.
综上所述：
当n300时，取到最大值为520.
19（．12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形．?
ABD?
CBD，
AB=BD．
（1）证明：
平面ACD^平面ABC；
D
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC
把四面体ABCD分成体积相等的两部分．求二
面角D-AE-C的余弦值．
C
E
B
D
【解析】⑴取AC中点为O，连接BO，DO；A
ABC为等边三角形
∴BOAC
∴ABBC
ABBC
C
E
O
BDBD
ABDCBD.
B
ABDDBC
∴ADCD,即ACD为等腰直角三角形，ADC
A为直角又O为底边AC中点
-9-
∴DOAC
令ABa，则ABACBCBDa
23
易得：
ODa，OBa
22222
∴
ODOBBD
由勾股定理的逆定理可得
DOB
2
即ODOB
ODAC
ODOB
z
ACOBO
ACABC
平面
OD平面ABC
D
OBABC
平面
又∵OD平面ADC
由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面ABC
CE
⑵由题意可知VV
DACEBACE
O
即B,D到平面ACE的距离相等
By即E为BD中点
以O为原点，OA为轴正方向，OB为轴正方向，
OD为轴正方向，设ACa，建立空间直角坐标
系，
x
A
aa
则O0,0,0，A,0,0，D0,0,，
22
3
B0,a,0，
2
3a
E0,a,
44
易得：
a3aaaa
AE,a,，AD,0,，OA,0,0
244222
设平面AED的法向量为
n，平面AEC的法向量为
1
n，
2
则
AEn
1
ADn
1
0
0
，解得n13,1,3
AEn
2
OAn
2
0
0
，解得n20,1,3
若二面角DAEC为，易知为锐角，
则
cos
nn
12
nn
12
7
7
20．（12分）已知抛物线
2
C:
y=2x，过点（2，0）的直线交C于A，B两点，圆M是以线
段AB为直径的圆．
（1）证明：
坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点
升级会员 