运筹学讲义3.docx

1、运筹学讲义3第三讲 整数规划一、整数规划模型（12年，第一题，15分）一家公司打算在甲地、乙地或甲乙两地新建工厂，一地至多建一个工厂，并且在甲乙两地至多建一个仓库，仓库位置随工厂地点而定（即，如某地有工厂，该地可设仓库或不设仓库；但如该地不设工厂，则该地一定不设仓库），若总资本可用量为20（百万元），其他数据如下表所示，问一个最大化净现值收益的决策是什么？只建模不求解。选址决策问题的数据表序号是或否净现值收益（百万元）资本需求（百万元）1工厂在甲地18122工厂在乙地963仓库在甲地12104仓库在乙地64例：一辆货车的有效载重量是20吨，载货有效空间是35立方米。现有六件货物可选择运输，每件

2、货物的重量、体积及收入见下表。货物编号123456重量（吨）653472体积（立方米）5107896收入（千元）695784另外，货物2和货物3不能混装；如果装载货物4，就必须装载货物5。问怎样安排货物装载才能使收入最大，建立数学模型（不用求解）。例：某大型企业每年需要进行多种类型的员工培训。假设共有需要培训的需求（如技术类、管理类）为6种，每种需求的最低培训人数为ai，i=1,.,6，可供选择的培训方式（如内部自行培训、外部与高校合作培训）有5种，每种的最高培训人数为bj，j=1,.,5。又设若选择了第1种培训方式，则第3种培训方式也要选择。记xij为第i种需求由第j种方式培训的人员数量，Z

3、为培训总费用。费用的构成包括固定费用和可变费用，第j种方式的固定培训费用为hj（与人数无关），与人数xij相应的可变费用为cij。如果以成本费用为优化目标，试建立该培训问题的结构优化模型。二、分支定界法（07年，第三题15分）设有整数规划问题如下，其松弛问题的最优解为（7/6，8/3），若要用分支定界法求其整数解，需要对其进行分支（仅作一级分支，不要求求解）。是以x1为分之对象，用示意图表示其分支问题的可行域，并写出可行域的约束方程。三、割平面法（11年，第五题，10分）对于MAX型整数规划问题，若其松弛问题的最优单纯形表中有一行数据如表3。表3XBbx1x2x3x4x27/4011/25/2

4、要求：(1) 给出其对应的割平面方程；(2) 写出在下一步两个分枝问题中各要增加的约束条件。解： （08年，第三题，15分）某全整数规划问题（决策变量x1，x2，x3全为整数）的松弛问题（略去整数要求）的最优单纯形表为：CBXBbx1x2x3x4x5x22011/2-1/20x13/210-1/83/80x54001-21检验数00-1/4-1/40(1) 若用分支定界法求其整数解，写出在下一步分支问题重要增加的约束条件；(2) 若用割平面法求整数解，写出割平面方程，将其加到上表，并简述继续求解的步骤。解：（1）松弛问题中，求的非整数解，因此在下一步分支问题中需要增加两个约束条件。（2）由最终

5、计算表中得到变量间的关系式：分解移项得引入松弛变量x6，得到等式将这新的约束方程加到原表中，得下表CBXBbx1x2x3x4x5x6x22011/2-1/200x13/210-1/83/800x54001-210x6-400-7*-301检验数00-1/4-1/400以x3为换入变量，以-7为转轴元素，运用对偶单纯形法继续迭代，如果所有变量的值全为非负整数，则终止，否则，继续添加切割方程。四、0-1整数规划的隐枚举法（05年，第二题，20分）某公司有5个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望投资净收益见下表：项目投资额（万元）投资收益（万元）1210150230021031006041308

6、05260180该公司只有600万元资金可用与投资，由于技术上的原因，投资受到以下约束：(1) 在项目1、2、3中必有一项被选中；(2) 项目3、4只能选中一项；(3) 项目5可能被选中的前提是项目1必须被选中。如何在上述条件下选择一个最好的投资方案，使投资净收益最大？1) 建立求解该问题的0-1规划模型；2) 叙述求解0-1规划问题方法的基本步骤。解： 2) 求解0-1整数规划的隐枚举方法的基本步骤（假设求最大值）：(1) 试探法找出一个可行解，求出目标函数Z值；(2) 根据条件及（1）中的Z值增加约束条件（过滤条件）(3) 对所有的约束条件按顺序排列，对每个解代入约束条件进行筛选；(4)

7、若遇到Z值超过过滤条件的右边值，则改变过滤条件，继续做，直到求出最优解。五、指派问题人员 地区ABC甲151821乙192322丙261716求指派问题就可归结为设法变换系数矩阵，使其含有n个独立0元素。 在原指派问题的效益矩阵中同行同列加上某一常数，所得指派问题与原问题同解。指派问题是一类特殊的运输问题n=m, ai=bi=1求解指派问题的步骤（匈牙利法）第一步：变换效率矩阵，使每行每列至少有一个零 行变换：找出每行最小元素， 从该行各元素中减去之 列变换：找出每列最小元素， 从该列各元素中减去之第二步：试求最优指派方案1、逐行检查，若该行只有一个未标记的零，对其加( )标记，将( )标记元

8、素同列上其它的零打上*标记。若该行有二个以上未标记的零，暂不标记，转下一行检查，直到所有行检查完；2、逐列检查，若该列只有一个未标记的零，对其加( )标记，将( )标记元素同行上其它的零打上*标记。若该列有二个以上未标记的零，暂不标记，转下一列检查，直到所有列检查完；3、重复1、2后，可能出现三种情况：情况a.每行都有一个(0)，显然已找到最优解，令对应(0)位置的xij =1；情况b.仍有零元素未标记，此时，一定存在某些行和列同时有多个零，称为僵局状态，因为无法采用1、2中的方法继续标记。情况c.所有零都已标记，但标有( )的零的个数少于n；转下一步4、打破僵局。令未标记零对应的同行同列上其

9、它未标记零的个数为该零的指数，选指数最小的先标记( )；采用这种方法直至所有零都被标记，或出现情况a，或情况c。第三步：开始划线过程，以确定系数矩阵中能找到多少个独立的零元素： 对没有标 记( )的行打 对打 行上所有其它零元素对应的列打 再对打列上有( )标 记的零元素对应的行打 重复 以上步骤， 直至无法继续 对没有打的行划横线， 对所有打的列划竖线第四步：进一步变换； 在未划线的元素中找最小者， 设为 对未被直线覆盖的各元素减去 对两条直线交叉点覆盖的元素加上 只有一条直线覆盖的元素保持不 变（06年，第四题，20分）某公司要分派3个推销员去3个地区推销某种产品，要求每个推销员只能去一个

10、地区，每个地区只需一个推销员，各推销员在各地区推销该产品的预期费用见下表：求使总费用最少的指派方案。人员 地区ABC甲151821乙192322丙261716解：因此，最优指派方案为：。（09年，第六题，15分）有五个工人甲、乙、丙、丁、戊，要指派他们分别完成5种工作A、B、C、D、E，每人做各种工作所消耗的时间如下，求最优指派使总的消耗时间为最小？解：因此，最优指派方案为：。 目标函数为min型 对于max型目标函数，将效率矩阵中所有 cij 反号，则等效于求min型问题；再利用定理1进行变换，使所有 cij 0，则可采用上述算法 要求所有cij 0若第i行有部分cij 0，令ki=minc

11、ij| cij 0 ，则第i行所有元素加上| ki |即可。 系数矩阵（cij）为方阵 若不满足，可添加行或列，相应的cij=0；例：现要在五个工人中确定四个人来分别完成四项工作中的一项工作，由于每个人的技术特长不同，他们完成各项工作所需的工时也不同，每个工人完成每项工作所需的工时见下表，试找出一个工作分配方案，使总工时最小。工人 工作ABCD943746565475752310674例：从甲、乙、丙、丁、戊五人中挑选四人去完成四项工作，一直每人完成各项工作的时间如下表所示。规定每项工作只能由一个人单独完成，每个人最多承担一项工作，假定甲必须保证分配到工作，丁因某种原因不愿意承担第四项工作，在

12、满足上述条件下，如何分配工作使完成四项工作总的花费时间最少？ 人 工作一二三四甲1051520乙210515丙3151413丁15276戊94158解：人 工作一二三四五甲1051520M乙2105150丙31514130丁1527M0戊941580例：已知指派问题各人完成各项工作的效率矩阵如下表所示。用匈牙利法分别求下述两种情况下的最优解：（1）指定甲完成两项工作，乙、丙、丁各完成一项工作。（2）某人兼完成两项工作，其余每人完成一项工作。 人 工作ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345解：（1） 人 工作ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345戊2529314237（2） 人 工作ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345戊2427262032