运筹学讲义3.docx
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运筹学讲义3
第三讲整数规划
一、整数规划模型
（12年，第一题，15分）一家公司打算在甲地、乙地或甲乙两地新建工厂，一地至多建一个工厂，并且在甲乙两地至多建一个仓库，仓库位置随工厂地点而定（即，如某地有工厂，该地可设仓库或不设仓库；但如该地不设工厂，则该地一定不设仓库），若总资本可用量为20（百万元），其他数据如下表所示，问一个最大化净现值收益的决策是什么？
只建模不求解。
选址决策问题的数据表
序号
是或否
净现值收益（百万元）
资本需求（百万元）
1
工厂在甲地
18
12
2
工厂在乙地
9
6
3
仓库在甲地
12
10
4
仓库在乙地
6
4
例：
一辆货车的有效载重量是20吨，载货有效空间是35立方米。
现有六件货物可选择运输，每件货物的重量、体积及收入见下表。
货物编号
1
2
3
4
5
6
重量（吨）
6
5
3
4
7
2
体积（立方米）
5
10
7
8
9
6
收入（千元）
6
9
5
7
8
4
另外，货物2和货物3不能混装；如果装载货物4，就必须装载货物5。
问怎样安排货物装载才能使收入最大，建立数学模型（不用求解）。
例：
某大型企业每年需要进行多种类型的员工培训。
假设共有需要培训的需求（如技术类、管理类）为6种，每种需求的最低培训人数为ai，i=1,...,6，可供选择的培训方式（如内部自行培训、外部与高校合作培训）有5种，每种的最高培训人数为bj，j=1,...,5。
又设若选择了第1种培训方式，则第3种培训方式也要选择。
记xij为第i种需求由第j种方式培训的人员数量，Z为培训总费用。
费用的构成包括固定费用和可变费用，第j种方式的固定培训费用为hj（与人数无关），与人数xij相应的可变费用为cij。
如果以成本费用为优化目标，试建立该培训问题的结构优化模型。
二、分支定界法
（07年，第三题15分）设有整数规划问题如下，其松弛问题的最优解为（7/6，8/3），若要用分支定界法求其整数解，需要对其进行分支（仅作一级分支，不要求求解）。
是以x1为分之对象，用示意图表示其分支问题的可行域，并写出可行域的约束方程。
三、割平面法
（11年，第五题，10分）对于MAX型整数规划问题，若其松弛问题的最优单纯形表中有一行数据如表3。
表3
XB
b
x1
x2
x3
x4
x2
7/4
0
1
1/2
－5/2
要求：
（1）给出其对应的割平面方程；
（2）写出在下一步两个分枝问题中各要增加的约束条件。
解：
（08年，第三题，15分）某全整数规划问题（决策变量x1，x2，x3全为整数）的松弛问题（略去整数要求）的最优单纯形表为：
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x2
2
0
1
1/2
-1/2
0
x1
3/2
1
0
-1/8
3/8
0
x5
4
0
0
1
-2
1
检验数
0
0
-1/4
-1/4
0
（1）若用分支定界法求其整数解，写出在下一步分支问题重要增加的约束条件；
（2）若用割平面法求整数解，写出割平面方程，将其加到上表，并简述继续求解的步骤。
解：
（1）松弛问题中，求的非整数解
，因此在下一步分支问题中需要增加两个约束条件
。
（2）由最终计算表中得到变量间的关系式：
分解移项得
引入松弛变量x6，得到等式
将这新的约束方程加到原表中，得下表
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x2
2
0
1
1/2
-1/2
0
0
x1
3/2
1
0
-1/8
3/8
0
0
x5
4
0
0
1
-2
1
0
x6
-4
0
0
-7*
-3
0
1
检验数
0
0
-1/4
-1/4
0
0
以x3为换入变量，以-7为转轴元素，运用对偶单纯形法继续迭代，如果所有变量的值全为非负整数，则终止，否则，继续添加切割方程。
四、0-1整数规划的隐枚举法
（05年，第二题，20分）某公司有5个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望投资净收益见下表：
项目
投资额（万元）
投资收益（万元）
1
210
150
2
300
210
3
100
60
4
130
80
5
260
180
该公司只有600万元资金可用与投资，由于技术上的原因，投资受到以下约束：
（1）在项目1、2、3中必有一项被选中；
（2）项目3、4只能选中一项；
（3）项目5可能被选中的前提是项目1必须被选中。
如何在上述条件下选择一个最好的投资方案，使投资净收益最大？
1）建立求解该问题的0-1规划模型；
2）叙述求解0-1规划问题方法的基本步骤。
解：
2）求解0-1整数规划的隐枚举方法的基本步骤（假设求最大值）：
（1）试探法找出一个可行解，求出目标函数Z值；
（2）根据条件及
（1）中的Z值增加约束条件（过滤条件）
（3）对所有的约束条件按顺序排列，对每个解代入约束条件进行筛选；
（4）若遇到Z值超过过滤条件的右边值，则改变过滤条件，继续做，直到求出最优解。
五、指派问题
人员地区
A
B
C
甲
15
18
21
乙
19
23
22
丙
26
17
16
求指派问题就可归结为设法变换系数矩阵，使其含有n个独立0元素。
在原指派问题的效益矩阵中同行同列加上某一常数，所得指派问题与原问题同解。
指派问题是一类特殊的运输问题n=m,ai=bi=1
求解指派问题的步骤（匈牙利法）
第一步：
变换效率矩阵，使每行每列至少有一个零
–行变换：
找出每行最小元素，–从该行各元素中减去之
–列变换：
找出每列最小元素，–从该列各元素中减去之
第二步：
试求最优指派方案
1、逐行检查，若该行只有一个未标记的零，对其加（）标记，将（）标记元素同列上其它的零打上*标记。
若该行有二个以上未标记的零，暂不标记，转下一行检查，直到所有行检查完；
2、逐列检查，若该列只有一个未标记的零，对其加（）标记，将（）标记元素同行上其它的零打上*标记。
若该列有二个以上未标记的零，暂不标记，转下一列检查，直到所有列检查完；
3、重复1、2后，可能出现三种情况：
情况a.每行都有一个（0），显然已找到最优解，令对应（0）位置的xij=1；
情况b.仍有零元素未标记，此时，一定存在某些行和列同时有多个零，称为僵局状态，因为无法采用1、2中的方法继续标记。
情况c.所有零都已标记，但标有（）的零的个数少于n；转下一步
4、打破僵局。
令未标记零对应的同行同列上其它未标记零的个数为该零的指数，选指数最小的先标记（）；采用这种方法直至所有零都被标记，或出现情况a，或情况c。
第三步：
开始划线过程，以确定系数矩阵中能找到多少个独立的零元素：
Ø对没有标Ø记（）的行打√
⌝对打√行上所有其它零元素对应的列打√
⌝再对打√列上有（）标⌝记的零元素对应的行打√
⌝重复Ø以上步骤，Ø直至无法继续
Ø对没有打√的行划横线，⌝对所有打√的列划竖线
第四步：
进一步变换；
⌝在未划线的元素中找最小者，Ø设为δ
⌝对未被直线覆盖的各元素减去δ
⌝对两条直线交叉点覆盖的元素加上δ
⌝只有一条直线覆盖的元素保持不Ø变
（06年，第四题，20分）某公司要分派3个推销员去3个地区推销某种产品，要求每个推销员只能去一个地区，每个地区只需一个推销员，各推销员在各地区推销该产品的预期费用见下表：
求使总费用最少的指派方案。
人员地区
A
B
C
甲
15
18
21
乙
19
23
22
丙
26
17
16
解：
因此，最优指派方案为：
。
（09年，第六题，15分）有五个工人甲、乙、丙、丁、戊，要指派他们分别完成5种工作A、B、C、D、E，每人做各种工作所消耗的时间如下，求最优指派使总的消耗时间为最小？
解：
因此，最优指派方案为：
。
•目标函数为min型
–
对于max型目标函数，将效率矩阵中所有cij反号，则等效于求min型问题；再利用定理1进行变换，使所有cij’0，则可采用上述算法
•要求所有cij0
若第i行有部分cij<0，令ki=min{cij|cij<0}，则第i行所有元素加上|ki|即可。
•系数矩阵（cij）为方阵
若不满足，可添加行或列，相应的cij=0；
例：
现要在五个工人中确定四个人来分别完成四项工作中的一项工作，由于每个人的技术特长不同，他们完成各项工作所需的工时也不同，每个工人完成每项工作所需的工时见下表，试找出一个工作分配方案，使总工时最小。
工人工作
A
B
C
D
Ⅰ
9
4
3
7
Ⅱ
4
6
5
6
Ⅲ
5
4
7
5
Ⅳ
7
5
2
3
Ⅴ
10
6
7
4
例：
从甲、乙、丙、丁、戊五人中挑选四人去完成四项工作，一直每人完成各项工作的时间如下表所示。
规定每项工作只能由一个人单独完成，每个人最多承担一项工作，假定甲必须保证分配到工作，丁因某种原因不愿意承担第四项工作，在满足上述条件下，如何分配工作使完成四项工作总的花费时间最少？
人工作
一
二
三
四
甲
10
5
15
20
乙
2
10
5
15
丙
3
15
14
13
丁
15
2
7
6
戊
9
4
15
8
解：
人工作
一
二
三
四
五
甲
10
5
15
20
M
乙
2
10
5
15
0
丙
3
15
14
13
0
丁
15
2
7
M
0
戊
9
4
15
8
0
例：
已知指派问题各人完成各项工作的效率矩阵如下表所示。
用匈牙利法分别求下述两种情况下的最优解：
（1）指定甲完成两项工作，乙、丙、丁各完成一项工作。
（2）某人兼完成两项工作，其余每人完成一项工作。
人工作
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
解：
（1）
人工作
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
戊
25
29
31
42
37
（2）
人工作
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
戊
24
27
26
20
32
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