人教版九年级数学上册教案《实际问题与二次函数》.docx

1、人教版九年级数学上册教案实际问题与二次函数实际问题与二次函数教学设计（第1课时）教材分析: 本节涉及求函数的最大值.要先求出函数的解析式，再求出使函数值最大的自变量的值.在此问题的基础上，引出直接根据函数解析式求二次函数的最大值或最小值的结论，即当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值.教学目标：【知识与能力目标】1.能根据实际问题构造二次函数模型.2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度与价值观】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受

2、数学的应用价值，增强数学的应用意识.教学重难点：【教学重点】用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.【教学难点】将实际问题转化为数学问题，并用二次函数性质进行决策.课前准备：多媒体教学过程：问题1：（1）请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：y6x212x；y4x28x10.（2）以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少.师生活动学生自主进行解答，教师做好指导和点评.提示求解二次函数的最值可以选择两种方法：一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解.解（1）y6（x1）26，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x1，顶点坐标

3、为（1，6），当x1时，y有最小值6.（2）y4（x1）26，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，6），当x1时，y有最大值6. 【设计意图】通过回顾二次函数的最值问题，为讲解新课做铺垫，两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持.问题2：例1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0t6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师以课件形式展示教材中的图，并向学生提问：（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是

4、什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？解当t=3时，h有最大值=45.即小球运动的时间是3 s时，小球最高，小球运动的最大高度是45 m.结论一般地，当a0（a0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值.师生活动教师通过以上问题让学生体会：求最值问题都可转化为求抛物线的顶点坐标，引导学生看图时，要让学生明白为什么图象只有t轴上面的一部分.【设计意图】利用二次函数解决几何图形的最大（小）面积问题，先利用几何图形的面积公式得到关于面积（或体积）的二次函数解析式，再由二次函数的图象或性质确定二次

5、函数的最大（小）值，从而确定二次函数实际问题的最大（小）值。问题3：练习1如图，用12 m长的木料，做一个有一条横档的矩形的窗子，为了使透进的光线最多，窗子的长、宽应各是多少？解设宽为x米，面积为S米2.根据题意并结合图形得Sx（6x）x26x.0，S有最大值，当x2时，S最大，此时6x3，即当窗子的长为3米，宽为2米时，透进的光线最多.练习2张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米.（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；（2）当x为何值时，S有最

6、大值？并求出其最大值.解（1）由题意可知AB=x m，则BC=（32-2x）m，S=x(32-2x)=-2x2+32x.（2）S=-2x2+32x=-2(x-8)2+128，当x=8时，S有最大值，最大值为128m2.【设计意图】通过典型问题的设计和解答，让学生体会函数模型在解决实际问题中的作用。 问题4：例2如图所示，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x(cm).（1）

7、若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的V;（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？解（1）根据题意，知这个正方体的底面边长GH=GF=，EF=GF=2x，x+2x+x=24,x=6.V=GH3=()3=()3= (cm3).（2）GH=，GF=，S=4GHGF+GH2=-6x2+96x=-6(x-8)2+384.0x12，当x=8时，S取得最大值为384cm2.练习3 如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？师生活动学生小组内讨论、交流，教师参与小组合作，并引导学生理清

8、解题思路.教师做好总结和展示：解设AEx，AB1，正方形EFGH的面积为y.根据题意，得y12x（1x）.整理，得y2x22x1，所以当x0.5时，正方形EFGH的面积最小为0.5，即当点E在AB的中点处时，正方形EFGH的面积最小.【设计意图】拓展提升是对于基础知识的提高和应用，培养学生实际应用能力，提升思维能力。问题5：1.课堂总结：谈一谈你在本节课中有哪些收获？有哪些进步？还有哪些困惑？教师强调利用面积公式列函数解析式是解答问题的主要方法.2. 布置作业：教材第52页习题22.3第4，6题.3. 知识结构图：【设计意图】反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质。教学反思：1.

9、在创设情境和探究新知环节中，利用实际问题激发学生的求知欲，渗透转化思想，把知识回归生活，又从生活走出来，使学生乐学、好学；通过层层设疑、由易到难，符合学生的认知水平和认知规律，引导学生不断思考、积极探索.2.教师提醒学生注意：（1）一般地，面积问题中常把面积作为函数，边长作为自变量；（2）确定自变量的取值范围是解答问题的注意点；（3）求最值问题可选用公式法或将函数解析式由一般式化为顶点式.3.从课堂发言和检测来看，学生能够积极发言、小组讨论富有实效，能够把知识进行化归，建立函数模型.实际问题与二次函数教学设计（第2课时）本课时编写：襄阳市第41中学 李刚教材分析: 二次函数是单变量最优化问题的

10、数学模型，如生活中涉及的求最大利润，最大面积等这体现了数学的实用性，是理论与实践结合的集中体现本节课主要来研究利润问题教学目标：【知识与能力目标】能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.【过程与方法】再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.【情感态度与价值观】进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.教学重难点：【教学重点】用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.【教学难点】根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.课前准备：多媒体教学过程：问题1：某商品

11、现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，应如何定价才能使利润最大？师生活动教师引导学生分析调整价格包括涨价和降价两种情况教师展示问题：那么该如何定价呢？学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题解分两种情况讨论：设每件涨价x元，利润为y元根据题意，得y(60x)(30010x)40(30010x)10x2100x6000(0x30)因为a100，所以函数有最大值当x5时，y有最大值为6250.设每件降价x元，利润为y元根据题意，得y(60x)(30020

12、x)40(30020x)20x2100x6000(0x20)当x2.5时，y有最大值为6125元综上所述，当定价为每件65元时，利润最大为6250元师生总结教师指导学生总结解答问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路：确定自变量和函数；利用数量关系列函数解析式；确定自变量的取值范围；利用函数的性质求出最大利润练习1某商店购进一批单价为20元/件的日用品，如果以单价30元/件销售，那么半个月内可以售出400件根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件售价定为多少，才能在半个月内获得最大利润？师生活动学生自主进行解答，教师巡视

13、、指导、点评解设单价提高x元，利润为y元根据题意，列函数解析式为y(30x20)(40020x)20x2200x4000(0x20)所以当x5时，y有最大值为4500元【设计意图】1.通过解答此题，使学生明确利润问题可以利用“总利润单位利润数量”列函数解析式;2.通过解答此题，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考虑问题的全面性.问题2：例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，则平均每天销售105箱；若每箱以50元的价格销售，则平均每天销售90箱，假定每天的销售量y(箱)与销售价x(元

14、/箱)之间满足一次函数关系(1)求每天的销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数解析式；(3)当每箱苹果的销售价为多少时，可以获得最大利润？最大利润是多少？师生活动学生小组内讨论、交流，教师参与小组合作，并引导学生理清解题思路教师做好总结和展示：解：(1)y3x240.(2)由题意，得w(x40)(3x240)3x2360x9600.(3)当x60时，w有最大值，因为x55，所以当x55时，w的值最大，为1125元练习2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的

15、日销量y（件）之间的关系如下表：且日销量y（件）是销售价x(元)的一次函数.（1）求日销量y（件）与x(元)的一次函数.（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时最大销售利润是多少？解：（1）设此一次函数解析式为y=kx+b，解得，即一次函数的解析式为y=-x+40.（2）设销售利润为w元，则W=（x-10）（-x+40）=-（x-25）2+225，当x=25时，w有最大值225.即产品的销售价定为25元时，每日获得销售利润最大为225元.练习3某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房

16、间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元（x为10的正整数倍）.（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解（1）y=50-x(0x160，且x是10的正整数倍).(2) W=（50-x）（180+x-20）=-x2+34x+8000.(3) W=-x2+34x+8000=- (x-170)2+10890.当x170时，W随x增大而增大，但0x160，当

17、x=160时，y=50-x=34.答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润为10880元.【设计意图】拓展提升是对基础知识的提高和应用，培养学生实际应用能力和提升思维能力.问题3：1.课堂总结：(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？2布置作业：教材第51页习题22.3第2，8题3.知识结构图：【设计意图】小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.教学反思：本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的

18、形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考.实际问题与二次函数教学设计（第3课时）本课时编写：襄阳市第41中学 李刚教材分析: 二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中涉及的求最大利润，最大面积等这体现了数学的实用性，是理论与实践结合的集中体现本节课主要研究建立坐标系解决实际问题教学目标：【知识与能力目标】1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性；2.学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力.【过程与方法】

19、1.通过对实际问题的研究，体会建模的数学思想（2）经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会转化和数形结合的思想. 2.通过问题的设计、解答，使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法，获得解决问题的经验.【情感态度与价值观】1.通过小组合作交流，提高合作意识，培养创新精神；2.通过用二次函数的知识解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系，提高学习数学的兴趣，增强应用数学的意识.教学重难点：【教学重点】用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.【教学难点】根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.课前准备：多媒体教学过程： 问题1：（1）欣赏一组石拱桥的图片（如图22326

20、），观察桥拱的形状.这组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗？（2）步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉（如图22327），喷泉的形状和抛物线像吗？有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？ 【设计意图】从学生生活中熟知的拱桥和喷泉引入新课，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情，同时为探索二次函数的实际应用提供背景材料.建议：让学生欣赏这一组图片以后，引入问题.从问题中你知道该抛物线的顶点是什么吗 ？与y轴的交点是什么？你能求出函数解析式吗？问题2：如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米.若水面下降1米，则水面宽度将增

21、加多少米？师生活动教师进行引导，提出问题：对于本题你认为应该运用什么知识进行解答？根据问题中的图形为抛物线，由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答.学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.提示要解答二次函数的问题，必须把抛物线放在平面直角坐标系中，所以必须建立适当的平面直角坐标系；求水面宽度增加的长度，实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标；求出函数解析式，进而求点的坐标；求函数解析式应该用待定系数法.解以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图.根据图象的特殊性，设抛物线的解析式为yax2，由抛物线经过点A（2，2），可得a，所以抛物线的解析式为yx

22、2.把y3代入函数解析式，得x，所以CDAB（24）米，所以水面宽度将增加（24）米.追问教师提出如果建立不同的平面直角坐标系能够进行解答？学生独立完成解题思路，小组内交流比较：平面直角坐标系建立是否相同，计算结果是否一致.归纳解题步骤：建立适当的平面直角坐标系；根据题意找出题目中的点的坐标；求出抛物线的解析式；直接利用图象解决实际问题.【设计意图】1.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数解析式，但结果是相同的，选择合适的平面直角坐标系可以使得解答简便，明确易懂.2.通过总结抛物线类型的实际问题的解题步骤，使学生明确问题的解答方法，思路清晰，明确了方向.问题3：例1 一自动喷灌设备的喷流

23、情况如右图所示，设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头，其喷出的水流成抛物线形.喷头B与水流最高点C的连线与水管AB之间夹角为135（即ABC=135），且水流最高点C比喷头B高2米.试求水流落点D与A点的距离.（精确到0.1米）师生活动这个环节的教学自主性很强，可以让学生在小组内完成，也可以采用分组的方法进行.教师巡视，对优胜者给予鼓励，让他们体验成功的快乐；对尚有困难的学生应给予指导，鼓励他们探究下去.最后教师可展示优秀者作品，或在黑板上进行评析，尽量让学生能掌握这类建立坐标系的问题的解法.解如图所示，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系

24、.连BC,则ABC=135，过C点作CEx轴，垂足为E，又过B点作BFCE，垂足为F.由题意易证四边形AEFB为矩形，ABF=90，CBF=135-90=45，BCF=45，RtCBF为等腰直角三角形，又由题意易知AB=1.5米，CF=2米，BF=CF=2米,而CE=CF+EF=CF+AB=3.5米，则B（0，1.5），C（2，3.5）.设该图象解析式为y=a(x-h)2+k,则y=a(x-2)2+3.5,将B（0，1.5）代入可求得a=-.y=- (x-2)2+3.5.设D（m,0）代入，得m=+24.6.（负值已舍去）即DA=4.6米.例2 如图，一位篮球运动员在离篮筐水平距离4m处跳起投

25、篮，球沿一条抛物线运行，球的出手高度为1.8m.当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内.已知篮筐中心离地面的距离为3.05m,你能求出球所能达到的最大高度约是多少吗？（精确到0.01m）解如图所示，以篮框所在直线为y轴，地面所在直线为x轴，其交点为坐标原点O.建立平面直角坐标系，设篮框中心点为A点，运动员出手点为B点，顶点为C点，依题意可得A(0,3.05),B(-4,1.8),设C(-1.5,m），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将A、B代入可求得1.8=16a-4b+3.05又由图象可知-=-1.5,b=3a,将其代入中，可求得a=-0.3125,则b=-

26、0.9375.y=-0.3125x2-0.9375x+3.05.则m=3.75（m）.即球所能达到的最大高度约是3.75m.【设计意图】激发学生的学习欲望和兴趣，让学生切实感受到数学就在身边的亲切感.让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移.并让学生体验数学的建模思想，增强应用意识. 问题4：1.课堂总结：（1）谈一谈你在本节课中有哪些收获？有哪些进步？（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？2.布置作业：教材第52页习题22.3第3题.3.知识结构图：【设计意图】小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.教学反思：1.在探究新知环节中，充分利用多媒体手段提高课堂效率，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，有效解决了教学的重难点；课堂训练环节，教师给予学生充分的自由时间，学生能够体会建立平面直角坐标系的作用，明确解答问题的步骤，树立建模思想.2.教师强调重点：（1）明确解决抛物线形问题的步骤；（2）设定抛物线解析式时要根据函数图象的特殊位置.3.在开放、多样的教学活动中，培养学生主动合作的意识及对数学的兴趣和爱好.