人教版九年级数学上册教案《实际问题与二次函数》.docx
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人教版九年级数学上册教案《实际问题与二次函数》
《实际问题与二次函数》教学设计
(第1课时)
教材分析:
本节涉及求函数的最大值.要先求出函数的解析式,再求出使函数值最大的自变量的值.在此问题的基础上,引出直接根据函数解析式求二次函数的最大值或最小值的结论,即当x=
时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值
.
教学目标:
【知识与能力目标】
1.能根据实际问题构造二次函数模型.
2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大(小)值问题.
【过程与方法】
通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究,让学生经历数学建模的基本过程,体会建立数学模型的思想.
【情感态度与价值观】
体会二次函数是一类最优化问题的模型,感受数学的应用价值,增强数学的应用意识.
教学重难点:
【教学重点】用二次函数的最大值(或最小值)来解决实际应用问题.
【教学难点】将实际问题转化为数学问题,并用二次函数性质进行决策.
课前准备:
多媒体
教学过程:
问题1:
(1)请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标:
①y=6x2+12x;②y=-4x2+8x-10.
(2)以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?
并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少.
[师生活动]学生自主进行解答,教师做好指导和点评.
[提示]求解二次函数的最值可以选择两种方法:
一是把一般式化为顶点式;二是利用顶点坐标公式求解.
[解]
(1)y=6(x+1)2-6,所以抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-6),当x=-1时,y有最小值-6.
(2)y=-4(x-1)2-6,所以抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-6),当x=1时,y有最大值-6.
【设计意图】通过回顾二次函数的最值问题,为讲解新课做铺垫,两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持.
问题2:
例1从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:
m)与小球的运动时间t(单位:
s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?
小球运动中的最大高度是多少?
教师以课件形式展示教材中的图,并向学生提问:
(1)图中抛物线的顶点在哪里?
(2)这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点?
(3)小球运动至最高点的时间是什么时间?
(4)通过前面的学习,你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么?
[解]当t=
=
=3时,h有最大值
=
=45.
即小球运动的时间是3s时,小球最高,小球运动的最大高度是45m.
[结论]一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,也就是说,当x=
时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值
.
[师生活动]教师通过以上问题让学生体会:
求最值问题都可转化为求抛物线的顶点坐标,引导学生看图时,要让学生明白为什么图象只有t轴上面的一部分.
【设计意图】利用二次函数解决几何图形的最大(小)面积问题,先利用几何图形的面积公式得到关于面积(或体积)的二次函数解析式,再由二次函数的图象或性质确定二次函数的最大(小)值,从而确定二次函数实际问题的最大(小)值。
问题3:
[练习1]如图,用12m长的木料,做一个有一条横档的矩形的窗子,为了使透进的光线最多,窗子的长、宽应各是多少?
[解]设宽为x米,面积为S米2.
根据题意并结合图形得S= x(6-
x) = -
x2+6x .
∵-
< 0,
∴S有最 大 值,当x= -
=2 时,S最 大 ,
此时6-
x= 3 ,即当窗子的长为 3米 ,宽为 2米 时,透进的光线最多.
[练习2]张大爷要围成一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形.设AB边的长为x米,矩形ABCD的面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写自变量x的取值范围);
(2)当x为何值时,S有最大值?
并求出其最大值.
[解]
(1)由题意可知AB=xm,则BC=(32-2x)m,
∴S=x(32-2x)=-2x2+32x.
(2)S=-2x2+32x=-2(x-8)2+128,
∴当x=8时,S有最大值,最大值为128m2.
【设计意图】通过典型问题的设计和解答,让学生体会函数模型在解决实际问题中的作用。
问题4:
例2 如图所示,在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E、F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x(cm).
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的V;
(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大,试问x应取何值?
[解]
(1)根据题意,知这个正方体的底面边长GH=GF=
,EF=
GF=2x,
∴x+2x+x=24,
∴x=6.
∴V=GH3=(
)3=(
)3=
(cm3).
(2)∵GH=
,GF=
=
=
,
∴S=4GH·GF+GH2=
=-6x2+96x=-6(x-8)2+384.
∵0<x<12,
∴当x=8时,S取得最大值为384cm2.
[练习3]如图,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?
[师生活动]学生小组内讨论、交流,教师参与小组合作,并引导学生理清解题思路.
教师做好总结和展示:
[解]设AE=x,AB=1,正方形EFGH的面积为y.
根据题意,得y=1-2x(1-x).
整理,得y=2x2-2x+1,
所以当x=0.5时,正方形EFGH的面积最小为0.5,
即当点E在AB的中点处时,正方形EFGH的面积最小.
【设计意图】拓展提升是对于基础知识的提高和应用,培养学生实际应用能力,提升思维能力。
问题5:
1.课堂总结:
谈一谈你在本节课中有哪些收获?
有哪些进步?
还有哪些困惑?
[教师强调]利用面积公式列函数解析式是解答问题的主要方法.
2.布置作业:
教材第52页习题22.3第4,6题.
3.知识结构图:
【设计意图】反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质。
教学反思:
1.在创设情境和探究新知环节中,利用实际问题激发学生的求知欲,渗透转化思想,把知识回归生活,又从生活走出来,使学生乐学、好学;通过层层设疑、由易到难,符合学生的认知水平和认知规律,引导学生不断思考、积极探索.
2.教师提醒学生注意:
(1)一般地,面积问题中常把面积作为函数,边长作为自变量;
(2)确定自变量的取值范围是解答问题的注意点;(3)求最值问题可选用公式法或将函数解析式由一般式化为顶点式.
3.从课堂发言和检测来看,学生能够积极发言、小组讨论富有实效,能够把知识进行化归,建立函数模型.
《实际问题与二次函数》教学设计
(第2课时)
本课时编写:
襄阳市第41中学李刚
教材分析:
二次函数是单变量最优化问题的数学模型,如生活中涉及的求最大利润,最大面积等.这体现了数学的实用性,是理论与实践结合的集中体现.本节课主要来研究利润问题.
教学目标:
【知识与能力目标】
能根据实际问题构建二次函数模型,并利用函数性质来解决实际问题.
【过程与方法】
再次经历利用二次函数解决实际问题的过程,进一步体验数学建模思想,培养学生解决实际问题的能力.
【情感态度与价值观】
进一步体会数学知识的应用价值,感受数学来自于生活又服务于生活,激发学习数学的兴趣.
教学重难点:
【教学重点】用函数知识解决实际问题,感受数学建模思想.
【教学难点】根据抛物线型实际问题,建立恰当的平面直角坐标系,建立二次函数模型.
课前准备:
多媒体
教学过程:
问题1:
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:
如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,应如何定价才能使利润最大?
[师生活动]教师引导学生分析调整价格包括涨价和降价两种情况.教师展示问题:
那么该如何定价呢?
学生分组讨论,如何利用函数模型解决问题,教师帮助学生解决问题.
[解]分两种情况讨论:
①设每件涨价x元,利润为y元.根据题意,得
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)=-10x2+100x+6000(0≤x≤30).
因为a=-10<0,所以函数有最大值.
当x=5时,y有最大值为6250.
②设每件降价x元,利润为y元.根据题意,得
y=(60-x)·(300+20x)-40(300+20x)=-20x2+100x+6000(0≤x≤20).
当x=2.5时,y有最大值为6125元.
综上所述,当定价为每件65元时,利润最大为6250元.
[师生总结]教师指导学生总结解答问题的步骤和方法,学生代表进行说明,全班互相交流,师生共同确定解题思路:
①确定自变量和函数;
②利用数量关系列函数解析式;
③确定自变量的取值范围;
④利用函数的性质求出最大利润.
[练习1]某商店购进一批单价为20元/件的日用品,如果以单价30元/件销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价定为多少,才能在半个月内获得最大利润?
[师生活动]学生自主进行解答,教师巡视、指导、点评.
[解]设单价提高x元,利润为y元.根据题意,列函数解析式为
y=(30+x-20)(400-20x)=-20x2+200x+4000(0≤x≤20).
所以当x=5时,y有最大值为4500元.
【设计意图】 1.通过解答此题,使学生明确利润问题可以利用“总利润=单位利润×数量”列函数解析式;
2.通过解答此题,让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的,培养学生考虑问题的全面性.
问题2:
例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元.市场调查发现,若每箱以45元的价格销售,则平均每天销售105箱;若每箱以50元的价格销售,则平均每天销售90箱,假定每天的销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间满足一次函数关系.
(1)求每天的销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围);
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数解析式;
(3)当每箱苹果的销售价为多少时,可以获得最大利润?
最大利润是多少?
[师生活动]学生小组内讨论、交流,教师参与小组合作,并引导学生理清解题思路.
教师做好总结和展示:
解:
(1)y=-3x+240.
(2)由题意,得w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600.
(3)当x=60时,w有最大值,因为x≤55,所以当x=55时,w的值最大,为1125元.
[练习2]某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销量y(件)之间的关系如下表:
且日销量y(件)是销售价x(元)的一次函数.
(1)求日销量y(件)与x(元)的一次函数.
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?
此时最大销售利润是多少?
解:
(1)设此一次函数解析式为y=kx+b,
∴
,
解得,
,即一次函数的解析式为y=-x+40.
(2)设销售利润为w元,则W=(x-10)(-x+40)=-(x-25)2+225,
当x=25时,w有最大值225.
即产品的销售价定为25元时,每日获得销售利润最大为225元.
[练习3]某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元(x为10的正整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为W元,求W与x的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?
最大利润是多少元?
[解]
(1)y=50-
x(0≤x≤160,且x是10的正整数倍).
(2)W=(50-
x)(180+x-20)=-
x2+34x+8000.
(3)W=-
x2+34x+8000=-
(x-170)2+10890.
当x<170时,W随x增大而增大,但0≤x≤160,
∴当x=160时,y=50-
x=34.
答:
一天订住34个房间时,宾馆的利润最大,最大利润为10880元.
【设计意图】拓展提升是对基础知识的提高和应用,培养学生实际应用能力和提升思维能力.
问题3:
1.课堂总结:
(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获?
哪些进步?
(2)学习本节课后,还存在哪些困惑?
2.布置作业:
教材第51页习题22.3第2,8题.
3.知识结构图:
【设计意图】小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.
教学反思:
本课时教学与上一课时基本相同,所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系,使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系,并求出相应抛物线表达式,在这一过程中让学生体验探究发现的快乐,体会数学的最优化思考.
《实际问题与二次函数》教学设计
(第3课时)
本课时编写:
襄阳市第41中学李刚
教材分析:
二次函数是单变量最优化问题的数学模型,如生活中涉及的求最大利润,最大面积等.这体现了数学的实用性,是理论与实践结合的集中体现.本节课主要研究建立坐标系解决实际问题.
教学目标:
【知识与能力目标】
1.能根据具体的问题情境建立数学模型,应用二次函数的知识求解,并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性;
2.学会从多个角度思考问题,逐步提高解决问题的能力.
【过程与方法】
1.通过对实际问题的研究,体会建模的数学思想
(2)经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体会转化和数形结合的思想.
2.通过问题的设计、解答,使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法,获得解决问题的经验.
【情感态度与价值观】
1.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神;
2.通过用二次函数的知识解决实际问题,体会数学与现实生活的紧密联系,提高学习数学的兴趣,增强应用数学的意识.
教学重难点:
【教学重点】用函数知识解决实际问题,感受数学建模思想.
【教学难点】根据抛物线型实际问题,建立恰当的平面直角坐标系,建立二次函数模型.
课前准备:
多媒体
教学过程:
问题1:
(1)欣赏一组石拱桥的图片(如图22-3-26),观察桥拱的形状.这组石拱桥图案中,桥拱的形状和抛物线像吗?
有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗?
(2)步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉(如图22-3-27),喷泉的形状和抛物线像吗?
有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗?
【设计意图】从学生生活中熟知的拱桥和喷泉引入新课,为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境,激发学生的学习热情,同时为探索二次函数的实际应用提供背景材料.建议:
让学生欣赏这一组图片以后,引入问题.从问题中你知道该抛物线的顶点是什么吗?
与y轴的交点是什么?
你能求出函数解析式吗?
问题2:
如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2米时,水面宽4米.若水面下降1米,则水面宽度将增加多少米?
[师生活动]教师进行引导,提出问题:
对于本题你认为应该运用什么知识进行解答?
根据问题中的图形为抛物线,由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答.学生分组讨论,如何利用函数模型解决问题,教师帮助学生解决问题.
[提示]①要解答二次函数的问题,必须把抛物线放在平面直角坐标系中,所以必须建立适当的平面直角坐标系;②求水面宽度增加的长度,实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标;③求出函数解析式,进而求点的坐标;④求函数解析式应该用待定系数法.
[解]以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,
如图.根据图象的特殊性,设抛物线的解析式为y=ax2,
由抛物线经过点A(-2,-2),可得a=-
,
所以抛物线的解析式为y=-
x2.
把y=-3代入函数解析式,得x=±
,
所以CD-AB=(2
-4)米,
所以水面宽度将增加(2
-4)米.
[追问]教师提出如果建立不同的平面直角坐标系能够进行解答?
学生独立完成解题思路,小组内交流比较:
平面直角坐标系建立是否相同,计算结果是否一致.
[归纳]解题步骤:
①建立适当的平面直角坐标系;②根据题意找出题目中的点的坐标;③求出抛物线的解析式;④直接利用图象解决实际问题.
【设计意图】1.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数解析式,但结果是相同的,选择合适的平面直角坐标系可以使得解答简便,明确易懂.
2.通过总结抛物线类型的实际问题的解题步骤,使学生明确问题的解答方法,思路清晰,明确了方向.
问题3:
例1一自动喷灌设备的喷流情况如右图所示,设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头,其喷出的水流成抛物线形.喷头B与水流最高点C的连线与水管AB之间夹角为135°(即∠ABC=135°),且水流最高点C比喷头B高2米.试求水流落点D与A点的距离.(精确到0.1米)
[师生活动]这个环节的教学自主性很强,可以让学生在小组内完成,也可以采用分组的方法进行.教师巡视,对优胜者给予鼓励,让他们体验成功的快乐;对尚有困难的学生应给予指导,鼓励他们探究下去.最后教师可展示优秀者作品,或在黑板上进行评析,尽量让学生能掌握这类建立坐标系的问题的解法.
[解]如图所示,以A为坐标原点,AD所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
连BC,则∠ABC=135°,过C点作CE⊥x轴,垂足为E,又过B点作BF⊥CE,垂足为F.由题意易证四边形AEFB为矩形,
∴∠ABF=90°,
∴∠CBF=135°-90°=45°,
∴∠BCF=45°,Rt△CBF为等腰直角三角形,
又由题意易知AB=1.5米,CF=2米,
∴BF=CF=2米,而CE=CF+EF=CF+AB=3.5米,则B(0,1.5),C(2,3.5).
设该图象解析式为y=a(x-h)2+k,则y=a(x-2)2+3.5,
将B(0,1.5)代入可求得a=-
.
∴y=-
(x-2)2+3.5.
设D(m,0)代入,得m=
+2≈4.6.(负值已舍去)即DA=4.6米.
例2如图,一位篮球运动员在离篮筐水平距离4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,球的出手高度为1.8m.当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度,然后准确落入篮筐内.已知篮筐中心离地面的距离为3.05m,你能求出球所能达到的最大高度约是多少吗?
(精确到0.01m)
[解]如图所示,以篮框所在直线为y轴,地面所在直线为x轴,其交点为坐标原点O.
建立平面直角坐标系,设篮框中心点为A点,运动员出手点为B点,顶点为C点,依题意可得A(0,3.05),B(-4,1.8),
设C(-1.5,m),设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
将A、B代入可求得1.8=16a-4b+3.05①
又由图象可知-
=-1.5,b=3a,
将其代入①中,可求得a=-0.3125,则b=-0.9375.
∴y=-0.3125x2-0.9375x+3.05.
则m=
≈3.75(m).
即球所能达到的最大高度约是3.75m.
【设计意图】激发学生的学习欲望和兴趣,让学生切实感受到数学就在身边的亲切感.让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移.并让学生体验数学的建模思想,增强应用意识.
问题4:
1.课堂总结:
(1)谈一谈你在本节课中有哪些收获?
有哪些进步?
(2)学习本节课后,还存在哪些困惑?
2.布置作业:
教材第52页习题22.3第3题.
3.知识结构图:
【设计意图】小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力.
教学反思:
1.在探究新知环节中,充分利用多媒体手段提高课堂效率,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,有效解决了教学的重难点;课堂训练环节,教师给予学生充分的自由时间,学生能够体会建立平面直角坐标系的作用,明确解答问题的步骤,树立建模思想.
2.教师强调重点:
(1)明确解决抛物线形问题的步骤;
(2)设定抛物线解析式时要根据函数图象的特殊位置.
3.在开放、多样的教学活动中,培养学生主动合作的意识及对数学的兴趣和爱好.