人教版九年级数学上册教案《实际问题与二次函数》.docx

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人教版九年级数学上册教案《实际问题与二次函数》

《实际问题与二次函数》教学设计

（第1课时）

教材分析:

本节涉及求函数的最大值.要先求出函数的解析式，再求出使函数值最大的自变量的值.在此问题的基础上，引出直接根据函数解析式求二次函数的最大值或最小值的结论，即当x=

时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值

.

教学目标：

【知识与能力目标】

1.能根据实际问题构造二次函数模型.

2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.

【过程与方法】

通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.

【情感态度与价值观】

体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.

教学重难点：

【教学重点】用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.

【教学难点】将实际问题转化为数学问题，并用二次函数性质进行决策.

课前准备：

多媒体

教学过程：

问题1：

（1）请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：

①y＝6x2＋12x；②y＝－4x2＋8x－10.

（2）以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？

并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少.

[师生活动]学生自主进行解答，教师做好指导和点评.

[提示]求解二次函数的最值可以选择两种方法：

一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解.

[解]

（1）y＝6（x＋1）2－6，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，－6），当x＝－1时，y有最小值－6.

（2）y＝－4（x－1）2－6，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－6），当x＝1时，y有最大值－6.

【设计意图】通过回顾二次函数的最值问题，为讲解新课做铺垫，两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持.

问题2：

例1从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：

m）与小球的运动时间t（单位：

s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）.小球运动的时间是多少时，小球最高？

小球运动中的最大高度是多少？

教师以课件形式展示教材中的图，并向学生提问：

（1）图中抛物线的顶点在哪里？

（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？

（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？

（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？

[解]当t=

=

=3时，h有最大值

=

=45.

即小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动的最大高度是45m.

[结论]一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=

时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值

.

[师生活动]教师通过以上问题让学生体会：

求最值问题都可转化为求抛物线的顶点坐标，引导学生看图时，要让学生明白为什么图象只有t轴上面的一部分.

【设计意图】利用二次函数解决几何图形的最大（小）面积问题，先利用几何图形的面积公式得到关于面积（或体积）的二次函数解析式，再由二次函数的图象或性质确定二次函数的最大（小）值，从而确定二次函数实际问题的最大（小）值。

问题3：

[练习1]如图，用12m长的木料，做一个有一条横档的矩形的窗子，为了使透进的光线最多，窗子的长、宽应各是多少？

[解]设宽为x米，面积为S米2.

根据题意并结合图形得S＝　x（6－

x）　＝　－

x2＋6x　.

∵－

　＜　0，

∴S有最　大　值，当x＝　－

＝2　时，S最　大　，

此时6－

x＝　3　，即当窗子的长为　3米　，宽为　2米　时，透进的光线最多.

[练习2]张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米.

（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；

（2）当x为何值时，S有最大值？

并求出其最大值.

[解]

（1）由题意可知AB=xm，则BC=（32-2x）m，

∴S=x（32-2x）=-2x2+32x.

（2）S=-2x2+32x=-2（x-8）2+128，

∴当x=8时，S有最大值，最大值为128m2.

【设计意图】通过典型问题的设计和解答，让学生体会函数模型在解决实际问题中的作用。

问题4：

例2　如图所示，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）.

（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的V;

（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

[解]

（1）根据题意，知这个正方体的底面边长GH=GF=

，EF=

GF=2x，

∴x+2x+x=24,

∴x=6.

∴V=GH3=（

）3=（

）3=

（cm3）.

（2）∵GH=

，GF=

=

=

，

∴S=4GH·GF+GH2=

=-6x2+96x=-6（x-8）2+384.

∵0＜x＜12，

∴当x=8时，S取得最大值为384cm2.

[练习3]如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？

[师生活动]学生小组内讨论、交流，教师参与小组合作，并引导学生理清解题思路.

教师做好总结和展示：

[解]设AE＝x，AB＝1，正方形EFGH的面积为y.

根据题意，得y＝1－2x（1－x）.

整理，得y＝2x2－2x＋1，

所以当x＝0.5时，正方形EFGH的面积最小为0.5，

即当点E在AB的中点处时，正方形EFGH的面积最小.

【设计意图】拓展提升是对于基础知识的提高和应用，培养学生实际应用能力，提升思维能力。

问题5：

1.课堂总结：

谈一谈你在本节课中有哪些收获？

有哪些进步？

还有哪些困惑？

[教师强调]利用面积公式列函数解析式是解答问题的主要方法.

2.布置作业：

教材第52页习题22.3第4，6题.

3.知识结构图：

【设计意图】反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质。

教学反思：

1.在创设情境和探究新知环节中，利用实际问题激发学生的求知欲，渗透转化思想，把知识回归生活，又从生活走出来，使学生乐学、好学；通过层层设疑、由易到难，符合学生的认知水平和认知规律，引导学生不断思考、积极探索.

2.教师提醒学生注意：

（1）一般地，面积问题中常把面积作为函数，边长作为自变量；

（2）确定自变量的取值范围是解答问题的注意点；（3）求最值问题可选用公式法或将函数解析式由一般式化为顶点式.

3.从课堂发言和检测来看，学生能够积极发言、小组讨论富有实效，能够把知识进行化归，建立函数模型.

《实际问题与二次函数》教学设计

（第2课时）

本课时编写：

襄阳市第41中学李刚

教材分析:

二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中涉及的求最大利润，最大面积等．这体现了数学的实用性，是理论与实践结合的集中体现．本节课主要来研究利润问题．

教学目标：

【知识与能力目标】

能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.

【过程与方法】

再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.

【情感态度与价值观】

进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.

教学重难点：

【教学重点】用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.

【教学难点】根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.

课前准备：

多媒体

教学过程：

问题1：

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：

如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，应如何定价才能使利润最大？

[师生活动]教师引导学生分析调整价格包括涨价和降价两种情况．教师展示问题：

那么该如何定价呢？

学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题．

[解]分两种情况讨论：

①设每件涨价x元，利润为y元．根据题意，得

y＝（60＋x）（300－10x）－40（300－10x）＝－10x2＋100x＋6000（0≤x≤30）．

因为a＝－10<0，所以函数有最大值．

当x＝5时，y有最大值为6250.

②设每件降价x元，利润为y元．根据题意，得

y＝（60－x）·（300＋20x）－40（300＋20x）＝－20x2＋100x＋6000（0≤x≤20）．

当x＝2.5时，y有最大值为6125元．

综上所述，当定价为每件65元时，利润最大为6250元．

[师生总结]教师指导学生总结解答问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路：

①确定自变量和函数；

②利用数量关系列函数解析式；

③确定自变量的取值范围；

④利用函数的性质求出最大利润．

[练习1]某商店购进一批单价为20元/件的日用品，如果以单价30元/件销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价定为多少，才能在半个月内获得最大利润？

[师生活动]学生自主进行解答，教师巡视、指导、点评．

[解]设单价提高x元，利润为y元．根据题意，列函数解析式为

y＝（30＋x－20）（400－20x）＝－20x2＋200x＋4000（0≤x≤20）．

所以当x＝5时，y有最大值为4500元．

【设计意图】　1.通过解答此题，使学生明确利润问题可以利用“总利润＝单位利润×数量”列函数解析式;

2.通过解答此题，让学生体会函数模型在同一个问题中的不同情况下可以是不同的，培养学生考虑问题的全面性.

问题2：

例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元．市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，则平均每天销售105箱；若每箱以50元的价格销售，则平均每天销售90箱，假定每天的销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间满足一次函数关系．

（1）求每天的销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数解析式；

（3）当每箱苹果的销售价为多少时，可以获得最大利润？

最大利润是多少？

[师生活动]学生小组内讨论、交流，教师参与小组合作，并引导学生理清解题思路．

教师做好总结和展示：

解：

（1）y＝－3x＋240.

（2）由题意，得w＝（x－40）（－3x＋240）＝－3x2＋360x－9600.

（3）当x＝60时，w有最大值，因为x≤55，所以当x＝55时，w的值最大，为1125元．

[练习2]某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销量y（件）之间的关系如下表：

且日销量y（件）是销售价x（元）的一次函数.

（1）求日销量y（件）与x（元）的一次函数.

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？

此时最大销售利润是多少？

解：

（1）设此一次函数解析式为y=kx+b，

∴

，

解得，

，即一次函数的解析式为y=-x+40.

（2）设销售利润为w元，则W=（x-10）（-x+40）=-（x-25）2+225，

当x=25时，w有最大值225.

即产品的销售价定为25元时，每日获得销售利润最大为225元.

[练习3]某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元（x为10的正整数倍）.

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;

（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？

最大利润是多少元？

[解]

（1）y=50-

x（0≤x≤160，且x是10的正整数倍）.

（2）W=（50-

x）（180+x-20）=-

x2+34x+8000.

（3）W=-

x2+34x+8000=-

（x-170）2+10890.

当x＜170时，W随x增大而增大，但0≤x≤160，

∴当x=160时，y=50-

x=34.

答：

一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润为10880元.

【设计意图】拓展提升是对基础知识的提高和应用，培养学生实际应用能力和提升思维能力.

问题3：

1.课堂总结：

（1）谈一谈你在本节课中有哪些收获？

哪些进步？

（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？

2．布置作业：

教材第51页习题22.3第2，8题．

3.知识结构图：

【设计意图】小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.

教学反思：

本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考.

《实际问题与二次函数》教学设计

（第3课时）

本课时编写：

襄阳市第41中学李刚

教材分析:

二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中涉及的求最大利润，最大面积等．这体现了数学的实用性，是理论与实践结合的集中体现．本节课主要研究建立坐标系解决实际问题．

教学目标：

【知识与能力目标】

1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性；

2.学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力.

【过程与方法】

1.通过对实际问题的研究，体会建模的数学思想

（2）经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会转化和数形结合的思想.

　2.通过问题的设计、解答，使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法，获得解决问题的经验.

【情感态度与价值观】

1.通过小组合作交流，提高合作意识，培养创新精神；

2.通过用二次函数的知识解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系，提高学习数学的兴趣，增强应用数学的意识.

教学重难点：

【教学重点】用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.

【教学难点】根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.

课前准备：

多媒体

教学过程：

问题1：

（1）欣赏一组石拱桥的图片（如图22－3－26），观察桥拱的形状.这组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？

有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗？

（2）步行街广场中心处有高低不同的各种喷泉（如图22－3－27），喷泉的形状和抛物线像吗？

有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗？

【设计意图】从学生生活中熟知的拱桥和喷泉引入新课，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情，同时为探索二次函数的实际应用提供背景材料.建议：

让学生欣赏这一组图片以后，引入问题.从问题中你知道该抛物线的顶点是什么吗？

与y轴的交点是什么？

你能求出函数解析式吗？

问题2：

如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米.若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？

[师生活动]教师进行引导，提出问题：

对于本题你认为应该运用什么知识进行解答？

根据问题中的图形为抛物线，由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答.学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.

[提示]①要解答二次函数的问题，必须把抛物线放在平面直角坐标系中，所以必须建立适当的平面直角坐标系；②求水面宽度增加的长度，实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标；③求出函数解析式，进而求点的坐标；④求函数解析式应该用待定系数法.

[解]以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，

如图.根据图象的特殊性，设抛物线的解析式为y＝ax2，

由抛物线经过点A（－2，－2），可得a＝－

，

所以抛物线的解析式为y＝－

x2.

把y＝－3代入函数解析式，得x＝±

，

所以CD－AB＝（2

－4）米，

所以水面宽度将增加（2

－4）米.

[追问]教师提出如果建立不同的平面直角坐标系能够进行解答？

学生独立完成解题思路，小组内交流比较：

平面直角坐标系建立是否相同，计算结果是否一致.

[归纳]解题步骤：

①建立适当的平面直角坐标系；②根据题意找出题目中的点的坐标；③求出抛物线的解析式；④直接利用图象解决实际问题.

【设计意图】1.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数解析式，但结果是相同的，选择合适的平面直角坐标系可以使得解答简便，明确易懂.

2.通过总结抛物线类型的实际问题的解题步骤，使学生明确问题的解答方法，思路清晰，明确了方向.

问题3：

例1一自动喷灌设备的喷流情况如右图所示，设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头，其喷出的水流成抛物线形.喷头B与水流最高点C的连线与水管AB之间夹角为135°（即∠ABC=135°），且水流最高点C比喷头B高2米.试求水流落点D与A点的距离.（精确到0.1米）

[师生活动]这个环节的教学自主性很强，可以让学生在小组内完成，也可以采用分组的方法进行.教师巡视，对优胜者给予鼓励，让他们体验成功的快乐；对尚有困难的学生应给予指导，鼓励他们探究下去.最后教师可展示优秀者作品，或在黑板上进行评析，尽量让学生能掌握这类建立坐标系的问题的解法.

[解]如图所示，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.

连BC,则∠ABC=135°，过C点作CE⊥x轴，垂足为E，又过B点作BF⊥CE，垂足为F.由题意易证四边形AEFB为矩形，

∴∠ABF=90°，

∴∠CBF=135°-90°=45°，

∴∠BCF=45°，Rt△CBF为等腰直角三角形，

又由题意易知AB=1.5米，CF=2米，

∴BF=CF=2米,而CE=CF+EF=CF+AB=3.5米，则B（0，1.5），C（2，3.5）.

设该图象解析式为y=a（x-h）2+k,则y=a（x-2）2+3.5,

将B（0，1.5）代入可求得a=-

.

∴y=-

（x-2）2+3.5.

设D（m,0）代入，得m=

+2≈4.6.（负值已舍去）即DA=4.6米.

例2如图，一位篮球运动员在离篮筐水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，球的出手高度为1.8m.当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内.已知篮筐中心离地面的距离为3.05m,你能求出球所能达到的最大高度约是多少吗？

（精确到0.01m）

[解]如图所示，以篮框所在直线为y轴，地面所在直线为x轴，其交点为坐标原点O.

建立平面直角坐标系，设篮框中心点为A点，运动员出手点为B点，顶点为C点，依题意可得A（0,3.05）,B（-4,1.8）,

设C（-1.5,m），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

将A、B代入可求得1.8=16a-4b+3.05①

又由图象可知-

=-1.5,b=3a,

将其代入①中，可求得a=-0.3125,则b=-0.9375.

∴y=-0.3125x2-0.9375x+3.05.

则m=

≈3.75（m）.

即球所能达到的最大高度约是3.75m.

【设计意图】激发学生的学习欲望和兴趣，让学生切实感受到数学就在身边的亲切感.让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移.并让学生体验数学的建模思想，增强应用意识.

问题4：

1.课堂总结：

（1）谈一谈你在本节课中有哪些收获？

有哪些进步？

（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？

2.布置作业：

教材第52页习题22.3第3题.

3.知识结构图：

【设计意图】小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.

教学反思：

1.在探究新知环节中，充分利用多媒体手段提高课堂效率，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，有效解决了教学的重难点；课堂训练环节，教师给予学生充分的自由时间，学生能够体会建立平面直角坐标系的作用，明确解答问题的步骤，树立建模思想.

2.教师强调重点：

（1）明确解决抛物线形问题的步骤；

（2）设定抛物线解析式时要根据函数图象的特殊位置.

3.在开放、多样的教学活动中，培养学生主动合作的意识及对数学的兴趣和爱好.