数字信号处理第章时域离散信号与时域离散系统.docx

1、数字信号处理第章时域离散信号与时域离散系统第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.2 时域离散信号1.2.1 常用的典型序列(7种） 1. 单位采样序列(单位脉冲序列) (n) = 特点:仅在n=0时取值为1，其它均为零。2. 单位阶跃序列u(n)= 单位阶跃序列如图1.2.2所示。模拟信号中单位阶跃函数u(t) 1,t 0 0,t 0 ,t0(n)与u(n)之间的关系如下式所示： (n)=u(n)-u(n-1) (1.2.5) (1.2.6) 令n-k=m，代入上式得到 3. 矩形序列RN(n) 1, 0nN-1 0， 其它n (1.2.8) 上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n

2、)的波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式： RN(n)=u(n)-u(n-N) (1.2.9) 4. 实指数序列 x(n)=anu(n)， a为实数 如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图1.2.4所示。 5. 正弦序列 x(n)=sin(n) 式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号Xa(t)采样得到，那么 xa(t)=sin(t) xa (t)|t=nT=sin(nT) x(n)=sin(n) 因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为 =

3、T (1.2.10) (1.2.10)式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式： 6. 复指数序列 x(n)=e(+j0)n 式中0为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式： x(n)=e j0n x(n)=cos(0n)+jsin(0n) 由于n取整数，下面等式成立： e j(0+2M)n= e j0n, M=0,1,2 7. 周期序列 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -唴n0时称为x(n)的延时序列；当n0 0时，序列右移；n0

4、时，序列左移； 将x(m)和h(n-m)相同m的序列值对应相乘后，再相加。 按照以上三个步骤可得到卷积结果y(n)。 例1.3.4设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。 解 按照(1.3.7)式， 上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0m3， R4(n-m)的非零值区间为：0n-m3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式： 0m3 n-3mn 因此， 卷积过程以及y(n)波形如图1.3.2所示，y(n)用公式表示为 n+1 0n3 y(n)= 7-n 4n6 0 其它 卷

5、积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为N+M-1。线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下： x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (1.3.8) x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n) (1.3.9) x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) (1.3.10) 以上三个性质请自己证明。(1.3.8)式表示卷积服从交换律。(1.3.9)和(1.3.10)式分别表示其结合律和分配律。 再考查(1.2.13)式，它也是一个线性卷积公式，

6、它表示的是序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身，表示如下： 如果序列与一个移位的单位取样序列(n-n0)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0(n0是整常数)，如下式表示： 上式中只有当m=n-n0时，才可能有非零值，因此得到 y(n)=x(n- n0) x(n- n0)=x(n)*(n- n0) (1.3.12) 例1.3.5在图1.3.4中，h1(n)系统与h2(n)系统级联，设 x(n)=u(n) h1(n)=(n)-(n-4) h2(n)=anu(n)， |a|1 求系统的输出y(n)。 解先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。 m(n)=x(n)*h1(n) =u(n)*(n)-(n-4) =u(n)*(n)-u(n)*(n-4) =u(n)-u(n-4) =R4(n) y(n)=m(n)*h2(n) =R4(n)*anu(n) =anu(n)*(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3) =anu(n)+a n-1 u(n-1)+a n-2 u(n-2)+a n-3 u(n-3)还可以将y(n)用下式表示 y(n)=(n)+(1+a)(n-1)+(1+a+a2)(n-2)+ u(n-3)