数字信号处理第章时域离散信号与时域离散系统.docx

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数字信号处理第章时域离散信号与时域离散系统

第1章时域离散信号和时域离散系统

1.2时域离散信号

1.2.1常用的典型序列（7种）

1.单位采样序列（单位脉冲序列）δ（n）=

特点:

仅在n=0时取值为1，其它均为零。

2.单位阶跃序列u（n）=

单位阶跃序列如图1.2.2所示。

模拟信号中单位阶跃函数u（t）

1,t＞0

0,t＜0

½,t＝0

δ（n）与u（n）之间的关系如下式所示：

δ（n）=u（n）-u（n-1）（1.2.5）

（1.2.6）

令n-k=m，代入上式得到

3.矩形序列RN（n）

1,0≤n≤N-1

0，其它n（1.2.8）

上式中N称为矩形序列的长度。

当N=4时，R4（n）的波形如图1.2.3所示。

矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：

RN（n）=u（n）-u（n-N）（1.2.9）

4.实指数序列

x（n）=anu（n），a为实数

如果|a|<1，x（n）的幅度随n的增大而减小，称x（n）为收敛序列；如|a|>1，则称为发散序列。

其波形如图1.2.4所示。

5.正弦序列

x（n）=sin（ωn）

式中ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。

如果正弦序列是由模拟信号Xa（t）采样得到，那么

xa（t）=sin（Ωt）

xa（t）|t=nT=sin（ΩnT）

x（n）=sin（ωn）

因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为

ω=ΩT（1.2.10）

（1.2.10）式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系。

由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：

6.复指数序列

x（n）=e（σ+jω0）n

式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：

x（n）=ejω0n

x（n）=cos（ω0n）+jsin（ω0n）

由于n取整数，下面等式成立：

ej（ω0+2πM）n=ejω0n,M=0,±1,±2…

7.周期序列

如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：

x（n）=x（n+N）,-唴n<唴（1.2.12）

则称序列x（n）为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。

例如：

上式中，数字频率是π/4，由于n取整数，可以写成下式：

上式表明是周期为8的周期序列，也称正弦序列，如图1.2.5所示。

下面讨论一般正弦序列的周期性。

设x（n）=Asin（ω0n+φ）

那么

x（n+N）=Asin（ω0（n+N）+φ）=Asin（ω0n+ω0N+φ）

如果

x（n+N）=x（n）

则要求N=（2π/ω0）k，式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。

具体正弦序列有三种情况：

（1）当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ω0为周期的周期序列。

例如sin（π/8）n，ω0=π/8，2π/ω0=16,该正弦序列周期为16。

（2）2π/ω0不是整数，是一个有理数时，设2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的周期序列。

例如sin（4/5）πn，ω0=（4/5）π，2π/ω0=5/2，k=2，该正弦序列是以5为周期的周期序列。

（3）2π/ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。

例如，ω0=1/4,sin（ω0n）即不是周期序列。

对于复指数序列ejω0n的周期性也有同样的分析结果。

以上介绍了几种常用的典型序列，对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即

这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。

例如：

x（n）的波形如图1.2.6所示，可以用（1.2.13）式表示成：

x（n）=-2δ（n+2）+0.5δ（n+1）+2δ（n）+δ（n-1）+1.5δ（n-2）-δ（n-4）+2δ（n-5）+δ（n-6）

1.2.2序列的运算

在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。

1.乘法和加法

序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加，如图1.2.7所示。

2.移位、翻转及尺度变换

设序列x（n）用图1.2.8（a）表示，其移位序列x（n-n0）（当n0=2时）用图1.2.8（b）表示；当n0>0时称为x（n）的延时序列；当n0<0时，称为x（n）的超前序列。

x（-n）则是x（n）的翻转序列，用图1.2.8（c）表示。

x（mn）是x（n）序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。

当m=2时，其波形如图1.2.8（d）所示。

1.3时域离散系统

设时域离散系统的输入为x（n），经过规定的运算，系统输出序列用y（n）表示。

设运算关系用T［·］表示，输出与输入之间关系用下式表示：

y（n）=T［x（n）］（1.3.1）

其框图如图1.3.1所示。

1.3.1线性系统

满足叠加原理的系统称为线性系统。

设x1（n）和x2（n）分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1（n）和y2（n）表示，即

y1（n）=T［x1（n）］，y2（n）=T［x2（n）］

那么线性系统一定满足下面两个公式：

T［x1（n）+x2（n）］=y1（n）+y2（n）（1.3.2）

T［ax1（n）］=ayy1（n）（1.3.3）

满足（1.3.2）式称为线性系统的可加性；满足（1.3.3）式称为线性系统的比列性或齐次性，式中a是常数。

将以上两个公式结合起来，可表示成：

y（n）=T［ax1（n）+bx2（n）］=ay1（n）+by2（n）（1.3.4）

上式中，a和b均是常数。

例1.3.1证明y（n）=ax（n）+b（a和b是常数），所代表的系统是非线性系统。

证明:

y1（n）=T［x1（n）］=ax1（n）+b

y2（n）=T［x2（n）］=ax2（n）+b

y（n）=T［x1（n）+x2（n）］=ax1（n）+ax2（n）+b

y（n）≠y1（n）+y2（n）

因此，该系统不是线性系统。

用同样方法可以证明所代表的系统是线性系统。

1.3.2时不变系统

如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：

y（n）=T［x（n）］

y（n-n0）=T［x（n-n0）］（1.3.5）

例1.3.2检查y（n）=ax（n）+b代表的系统是否是时不变系统，上式中a和b是常数。

解y（n）=ax（n）+b

y（n-n0）=ax（n-n0）+b

y（n-n0）=T［x（n-n0）］

因此该系统是时不变系统。

例1.3.3检查y（n）=nx（n）所代表的系统是否是时不变系统。

解y（n）=nx（n）

y（n-n0）=（n-n0）x（n-n0）

T［x（n-n0）］=nx（n-n0）

y（n-n0）≠T［x（n-n0）］

因此该系统不是时不变系统。

同样方法可以证明

所代表的系统不是时不变系统。

1.3.3线性时不变系统输入与输出之间的关系

设系统的输入x（n）=δ（n），系统输出y（n）的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h（n）表示。

换句话说，单位取样响应即是系统对于δ（n）的零状态响应。

用公式表示为

h（n）=T［δ（n）］（1.3.6）

h（n）和模拟系统中的h（t）单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。

设系统的输入用x（n）表示，按照（1.2.13）式表示成单位采样序列移位加权和为

式中的符号“*”代表卷积运算，（1.3.7）式表示线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积。

只要知道系统的单位取样响应，按照（1.3.7）式，对于任意输入x（n）都可以求出系统的输出。

下面介绍卷积运算的求解过程。

步骤：

按照（1.3.7）式：

①将x（n）和h（n）用x（m）和h（m）表示，并将h（m）进行翻转，形成h（-m）；

②将h（-m）移位n，得到h（n-m）。

当n>0时，序列右移；n<0时，序列左移；

③将x（m）和h（n-m）相同m的序列值对应相乘后，再相加。

按照以上三个步骤可得到卷积结果y（n）。

例1.3.4设x（n）=R4（n），h（n）=R4（n），求y（n）=x（n）*h（n）。

解按照（1.3.7）式，

上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4（m）的非零值区间为：

0≤m≤3，R4（n-m）的非零值区间为：

0≤n-m≤3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式：

0≤m≤3

n-3≤m≤n

因此，

卷积过程以及y（n）波形如图1.3.2所示，y（n）用公式表示为

n+10≤n≤3

y（n）=7-n4≤n≤6

0其它

卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。

设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为N+M-1。

线性卷积服从交换律、结合律和分配律。

它们分别用公式表示如下：

x（n）*h（n）=h（n）*x（n）（1.3.8）

x（n）*［h1（n）*h2（n）］=（x（n）*h1（n））*h2（n）（1.3.9）

x（n）*［h1（n）+h2（n）］=x（n）*h1（n）+x（n）*h2（n）（1.3.10）

以上三个性质请自己证明。

（1.3.8）式表示卷积服从交换律。

（1.3.9）和（1.3.10）式分别表示其结合律和分配律。

再考查（1.2.13）式，它也是一个线性卷积公式，它表示的是序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身，表示如下：

如果序列与一个移位的单位取样序列δ（n-n0）进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0（n0是整常数），如下式表示：

上式中只有当m=n-n0时，才可能有非零值，因此得到

y（n）=x（n-n0）

x（n-n0）=x（n）*δ（n-n0）（1.3.12）

例1.3.5在图1.3.4中，h1（n）系统与h2（n）系统级联，设

x（n）=u（n）

h1（n）=δ（n）-δ（n-4）

h2（n）=anu（n），|a|<1

求系统的输出y（n）。

解先求第一级的输出m（n），再求y（n）。

m（n）=x（n）*h1（n）

=u（n）*［δ（n）-δ（n-4）］

=u（n）*δ（n）-u（n）*δ（n-4）

=u（n）-u（n-4）

=R4（n）

y（n）=m（n）*h2（n）

=R4（n）*anu（n）

=anu（n）*［δ（n）+δ（n-1）+δ（n-2）+δ（n-3）］

=anu（n）+an-1u（n-1）+an-2u（n-2）+an-3u（n-3）

还可以将y（n）用下式表示

y（n）=δ（n）+（1+a）δ（n-1）+（1+a+a2）δ（n-2）+

u（n-3）