初中二次函数知识点总结与练习题.docx

1、初中二次函数知识点总结与练习题二次函数知识点总结、二次函数概念:1二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c（ a ,b ,c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0,而b , c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.92.二次函数y ax bx c的结构特征: 等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式，x的最高次数是2.a, b , c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式： y ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0,

2、0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0 .a 0向下0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0 .22.y ax c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0向下0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .23.y a x h的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, 0X=hx h时，

3、y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值0 .a 0向下h, 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值0 .4.y a x h k的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0向下h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1.平移步骤：2方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k，确定其顶点坐标 h , k

4、 ；保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到 h，k处，具体平移方法如下:2.平移规律 在原有函数的基础上 h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：y ax2 bx c沿y轴平移：向上(下)平移 m个单位，y ax2 bx c变成y ax bx c m (或 y ax bx c m)y ax2 bx c沿x轴平移：向左(右)平移 m个单位，y ax2 bx c变成2 2y a(x m) b(x m) c (或 y a(x m) b(x m) c)四、二次函数y a x h $ k与y ax2 bx c的比较从解析式上看,ax2 bx c是两种不

5、同的表达形式，后者通过配方可以得到前五、二次函数y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴 的交点0, c、以及0, c关于对称轴对称的点 2h，c、与x轴的交点x1, 0， x2, 0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数y ax2 bx c的性质1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为 x舟，顶点坐标为b 4

6、ac b22a 4a当 b当x2a时，y随x的增大而减小；当x习时，y随x的增大而增大；当xF时，2ay有最小2值4ac b 4a2.当a 0时，抛物线开口向下,对称轴为x玄,顶点坐标为b 4ac b2 当ix A2a时，y随 2a 4ax的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y有最大值 竺 2a 2a 4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y2 axbx c （ a , b , c 为常数，a 0）；2.顶点式：ya（xh）2 k （ a , h , k 为常数，a 0）；3.两根式：ya（xXi)(x X2)( a 0 , Xi, X2是抛物线与x轴两交点的横坐标)注

7、意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式 的这三种形式可以互化八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然 a 0 当a 0时，抛物线开口向上， a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下， a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向， a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小.2.一次项系数b在二次项

8、系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a0的前提下，当b0时，0 ,2a即抛物线的对称轴在y轴左侧;当b0时，-0 ,2a即抛物线的对称轴就是y轴；当b 0时， 0，即抛物线对称轴在 y轴的右侧.2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，b0 ,即抛物线的对称轴在y轴右侧;2a当b0时，b0 ,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b0时，b2a0即抛物线对称轴在y轴的左侧.九、1.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适

9、当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式;3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 .二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x轴对称2y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是y2 axbxc关于顶点对称后，得到的解析式是 y2ax bx cb22a ；ya x2 hk关于顶点对称后，得到的解析式是 y2a x hk .5.关于点m,n对称ya x2 hk关于点 m , n对

10、称后，得到的解析式是y a x2h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）：一兀二次方程ax bx c 0是二次函数y ax bx c当函数值y 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：2.抛物线y ax当 b 4ac 0时，图象

11、与x轴交于两点A Xi , 0 , B x?, 0 （冷x?），其中的为,沁是一元二次方程ax2bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离 AB 沁b24aca当0时，图象与x轴只有一个交点；当0时，图象与x轴没有交点.1当a 0时，图象洛在x轴的上方，无论x为任何实数,都有y0 ；2当a 0时，图象洛在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0 .2bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 , c)；3.二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一兀二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 y

12、 ax2 bx c中a , b , c的符号，或由二次函数中 a, b , c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称， 可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标， 或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标0抛物线与x轴有 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负一兀二次方程有两个不相等实根 次 有 还0抛物线与x轴只 有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根与二 函数 关的 有二0抛物线与x轴无 交占八、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根次 三项式，二次三项式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母 x的二次函数；下面以a

13、 0时为例，揭示二次函数、 二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考:十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数 y (m 2)x2 m2 m 2的图像经过原点， 则m的值是 2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如:如图，如果函数y kx b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2 bx 1的图像大致是（3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率

14、很高，习题类型有中档解答题和选 拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过（0,3） , （4,6）两点，对称轴为x ，求这条抛物线的解析式。34.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线y ax2 bx c （0）与x轴的两个交点的横坐标是一 1、3，与y轴交点的纵坐标是（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标5 考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1 （1 ）二次函数y ax2 bx c的图像如图1,则点M（b,C）在（）aA 第一象限 B 第二象限 C

15、第三象限 D 第四象限（2）已知二次函数 y=ax2+bx+c （a丰0）的图象如图 2所示，？则下列结论：a、b同号；当x=1 和x=3时，函数值相等；4a+b=0;当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A. 1个 B 2个 C 3个 D 4个（1） （2）【点评】弄清抛物线的位置与系数 a, b, c之间的关系，是解决问题的关键.例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2 , 0）、（x 1, 0），且1X12，与y轴的正半轴的交点在点（0,2）的下方.下列结论：abO4a+cO,其中正确结论的个数为（）A 1 个B. 2 个C. 3 个D 4个答案：D会

16、用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程2 2ax +bx+c=3的一个根为x=-2 ,且二次函数y=ax +bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）积为ym2.(1)写出y与x的关系式；(2)当x=2, 3.5时，y分别是多少？(3 )当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴15例5、已知抛物线y= x2+x22(1 )用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与x轴的两个交点为 A、B,求线段AB的长.【点评】本题(1 )是对二次函数的“基本方法”的考查，第( 2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系

17、.例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4,10)，交x轴于a(x1,0) , B(x2,0)两点(x x2),交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OBM 使锐角/ MC0N A C0?若存在，请你求出-6) , (5 , 24).(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.(1)解：如图抛物线交 x轴于点A(X1, 0) , B(x2 , O), 则 X1 X2=30,又t X10, X1O,t 30A=OB 二 X2=-3X1.2 2 X1 X2=-3x 1 =-3 . X1 =1.x 10,

18、X1=-1 . X2=3.点A(-1 , 0), P(4 , 10)代入解析式得解得 a=2 b=3 二次函数的解析式为 y-2x 2-4x-6 .存在点M使/ MC0/ AC0 解：点A关于y轴的对称点A (1 , 0),直线A, C解析式为y=6x-6直线AC与抛物线交点为(0 , 符合题意的x的范围为-1x0或0x5.当点 M的横坐标满足-1x0或0x5时，/ MC02 AC01 2 . .例7、 “已知函数 y x2 bx c的图象经过点 A (c, 2),2求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。(1)根据已知和结论中现有的信息

19、，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程， 并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评： 对于第(1)小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结 论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A (c， 2)”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第( 2)小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第( 1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上

20、的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点 的坐标等。解答(1)根据y -x22bx c的图象经过点 A (c, 2),图象的对称轴是 x=3,(3 . 5,0).5令x=3代入解析式，得y 5,21 2 5所以抛物线y X 3x 2的顶点坐标为(3,),2 25所以也可以填抛物线的顶点坐标为 (3, 5)等等。2函数主要关注：通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE(如图

21、)，其中AF=2，BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学 生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x (元)？与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：x (元)152030y (件)252010若日销售量y是销售价x的一次函数.(1)求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；(2) 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？ ？此时每日销售利润是多少元?15k b 25【解析】(1)设此一

22、次函数表达式为 y=kx+b .贝U 解得k=-1 , b=40, ?即一次函数表达2k b 20式为 y=-x+40 .(2)设每件产品的销售价应定为 x元，所获销售利润为 w元w= (x-10 ) (40-x ) =-x 2+50x-400=- (x-25 ) 2+225.产品的销售价应定为 25元，此时每日获得最大销售利润为 225元.“当(2)【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似， 也有区别，主要有两点：（1）设未知数在某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，？“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数； ?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.例 3.你知道

23、吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示，正在甩绳1m(建的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4m,距地面均为1m学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离2.5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶. 已知学生丙的身高是 1 . 5 m,则学生丁的身高为立的平面直角坐标系如右图所示（）A. 1 . 5 m B . 1. 625 mC. 1 . 66 m D . 1. 67 m分析：本题考查二次函数的应用答案：B.二次函数部分0 :bx c的图象与x轴交于点（2,0）、（为,0），且1 x1 2，与y轴的正半轴的交点在（0,2）的下方下列结论： 4a 2b c 0

24、:a b 0:2a c 0 :2a b 1 4a+c 0的解集是图 6 (1)C的值;(1)试确定b、(2) 过点C作CD / x轴交抛物线于点 D,点M为此抛物线的顶点，试确定 MCD的形状.( ).如图，在平面直角坐标系中， OB 0A，且OB 20A，点A的坐标是（1,2）.14.（10分）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：注：鞋码”是表示鞋子大小的一种号码鞋长（cm） 16 19 21 24鞋码（号） 22 28 32 38（1 ）设鞋长为x, “鞋码”为y,试判断点（x, y）在你学过的哪种函数的图象上?（2） 求x、y之间的函数关

25、系式；（3） 如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？15.（满分8分）阅读材料，解答问题.例 用图象法解一元二次不等式： x2 2x 3 0 .解：设y x2 2x 3，则y是x的二次函数.Qa 1 0, 抛物线开口向上.2又Q 当 y 0 时，x 2x 3 0,解得 x1 1, x2 3.由此得抛物线y x2 2x 3的大致图象如图所示.观察函数图象可知：当 x 1或x 3时，y 0 x2 2x 3 0的解集是：x 1或x 3.以下是二次函数和相似结合的几道经典题:16、（9分）如图11,抛物线y a（x 3）（x 1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的国1. L

26、的长为6.求二次函数的解析式;明理由.18.(本题满分10分)如图，抛物线的顶点为 A (2, 1),且经过原点0,与x轴的另一个交点为 B.(1)求抛物线的解析式；(2) 在抛物线上求点 M，使 M0B的面积是厶AOB面积的3倍；(3) 连结0A, AB,在x轴下方的抛物线上是否存在点 N，使 OBN与厶OAB相似？若存在，求出 N点的坐标；若不存在，说明理由.19.(本题满分10分)3如图，已知抛物线 y = 3x2+ bx + c与坐标轴交于 A、B、C三点， A点的坐标为(一 1, 0),43过点C的直线y= x 3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点，过 P作PH丄0B于点H

27、.若4tPB = 5t，且 0 v tv 1 .(1)填空：点C的坐标是 , b = , c= ;(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);(3)依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、为顶点的三角形与 COQ相似？若存在，求出所有 t的值；若不存在，说明理由.20.(本题满分12分)1 2如图，已知二次函数 y x bx c (c 0)的图象与x轴的正半轴相交于点 A、B，与y轴 相交于点C,且OC2 OA OB .(1)求c的值；(2)若厶ABC的面积为3,求该二次函数的解析式；(3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线 AC上是否存在一点 P使厶PBD的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.21 .(本小题满分15分)如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A( 1,0) , B(0, 3) , 0(0,0)，将此三角板绕原点O顺时针旋转90，得到 ABO .(1) 如图，一抛物线经过点 A、B、B，求该