初中二次函数知识点总结与练习题.docx
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初中二次函数知识点总结与练习题
二次函数知识点总结
、二次函数概念:
1•二次函数的概念：
一般地，形如yax2bxc（a,b,c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数a0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实
数.
9
2.二次函数yaxbxc的结构特征:
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：
yax2的性质:
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
0,0
y轴
x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0.
a0
向下
0,0
y轴
x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0.
2
2.yaxc的性质:
上加下减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
0,c
y轴
x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c.
a0
向下
0,c
y轴
x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c.
2
3.yaxh的性质:
左加右减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
h,0
X=h
xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0.
a0
向下
h,0
X=h
xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0.
4.yaxhk的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a0
向上
h,k
X=h
xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k.
a0
向下
h,k
X=h
xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k.
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
2
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h,k；
⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下:
2.平移规律在原有函数的基础上’h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.
概括成八个字“左加右减，上加下减”
方法二：
⑴yax2bxc沿y轴平移：
向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成
yaxbxcm（或yaxbxcm）
⑵yax2bxc沿x轴平移：
向左（右）平移m个单位，yax2bxc变成
22
ya（xm）b（xm）c（或ya（xm）b（xm）c）
四、二次函数yaxh$k与yax2bxc的比较
从解析式上看,
ax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前
五、二次函数yax2bxc图象的画法
五点绘图法：
利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya（xh）2k,确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：
顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1,0，x2,0（若与x轴
没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）
画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
六、二次函数yax2bxc的性质
1.当a0时，
抛物线开口向上，
对称轴为x
舟，顶点坐标为
b4acb2
2a4a
当b
当x
2a
时，y随x的增大而减小；当x
习时，y随x的增大而增大；当x
F时，
2a
y有最小
2
值4acb4a
2.当a0时，
抛物线开口向下,
对称轴为x
玄,顶点坐标为
b4acb2当
ixA
2a
时，y随
•—
2a4a
x的增大而增大；当x—时，y随x的增大而减小；当x—时，y有最大值竺—
2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
1.
一般式：
y
2ax
bxc（a,b,c为常数，a0）；
2.
顶点式：
y
a（x
h）2k（a,h,k为常数，a0）；
3.
两根式：
y
a（x
Xi）（xX2）（a0,Xi,X2是抛物线与x轴两交点的横坐标）
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化•
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0•
⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.
⑴在a
0的前提下，
当b
0时，
—0,
2a
即抛物线的对称轴在
y轴左侧;
当b
0时，
-0,
2a
即抛物线的对称轴就是
y轴；
当b0时，—0，即抛物线对称轴在y轴的右侧.
2a
⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b
0时，
b
0,
即抛物线的对称轴在
y轴右侧;
2a
当b
0时，
b
0,
即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
当b
0时，
b
2a
0
即抛物线对称轴在
y轴的左侧.
九、
1.
总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式;
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.
二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
关于x轴对称
2
yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是
y
2ax
bx
c关于顶点对称后，得到的解析式是y
2
axbxc
b2
2a；
y
ax
2h
k关于顶点对称后，得到的解析式是y
2
axh
k.
5.关于点
m,
n对称
y
ax
2h
k关于点m,n对称后，得到的解析式是
yax
2
h2m2nk
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变•求
抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一兀二次方程axbxc0是二次函数yaxbxc当函数值y0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数：
2.抛物线yax
①当b4ac0时，图象与x轴交于两点AXi,0,Bx?
0（冷x?
），其中的为,沁是一元二次
方程ax2
bxc0a0的两根.这两点间的距离AB沁
b
2
4ac
a
②当
0时，图象与x轴只有一个交点；
③当
0时，图象与x轴没有交点.
1'当
a0时，图象洛在x轴的上方，无论
x为任何实数,
都有
y
0；
2'当
a0时，图象洛在x轴的下方，无论
x为任何实数，
都有
y
0.
2
bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为
（0,c）；
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一兀二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号
判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一
个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标
0
抛物线与x轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一兀二次方程有两个不相等实根
⑸次有还
0
抛物线与x轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一兀二次方程有两个相等的实数根
与二函数关的有二
0
抛物线与x轴无交占
八、、
二次三项式的值恒为正
一兀二次方程无实数根•
次三项
式，二次三项式ax2bxc（a0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
图像参考:
十一、函数的应用
刹车距离
二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少
二次函数考查重点与常见题型
1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x为自变量的二次函数y（m2）x2m2m2的图像经过原点，则m的值是
2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查
两个函数的图像，试题类型为选择题，如:
如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是（
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
5
已知一条抛物线经过（0,3）,（4,6）两点，对称轴为x，求这条抛物线的解析式。
3
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线yax2bxc（0）与x轴的两个交点的横坐标是一1、3，与y轴交点的纵坐标是
（1）确定抛物线的解析式；
（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
5•考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1
（1）二次函数yax2bxc的图像如图1,则点M（b,C）在（）
a
A•第一象限B•第二象限C•第三象限D•第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象如图2所示，？
则下列结论：
①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0;④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）
A.1个B•2个C•3个D•4个
（1）
（2）
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系，是解决问题的关键.
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2,0）、（x1,0），且1点在点（0,2）的下方.下列结论：
①aO③4a+cO,其中正确结论的个数为（）
A1个B.2个C.3个D•4个
答案：
D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：
关于x的一元二次方程
22
ax+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线
x=2，则抛物线的顶点坐标为（）
积为ym2.
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2,3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
求抛物线顶点坐标、对称轴•
15
例5、已知抛物线y=x2+x「
22
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
【点评】本题
（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第
（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的
关系.
例6.已知：
二次函数y=ax2-（b+1）x-3a的图象经过点P（4,10），交x轴于a（x1,0）,B（x2,0）两点（xx2）,
交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB
M使锐角/MC0NAC0?
若存在，请你求出
-6）,（5,24）.
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数的图象上是否存在点M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.
（1）解：
如图•••抛物线交x轴于点A（X1,0）,B（x2,O）,则X1•X2=3<0,又tX1•••X2>0,X122
•X1•X2=-3x1=-3.•X1=1.
x1<0,•X1=-1.•.X2=3.
•••点A（-1,0）,P（4,10）代入解析式得解得a=2b=3二次函数的解析式为y-2x2-4x-6.
⑵存在点M使/MC0
⑵解：
点A关于y轴的对称点A'（1,0）,
•直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为（0,•符合题意的x的范围为-1当点M的横坐标满足-112..
例7、“已知函数y—x2bxc的图象经过点A（c,—2）,
2
求证：
这个二次函数图象的对称轴是x=3。
”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？
若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评：
对于第
（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，—2）”，就可以列出两个
方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。
对于第
（2）小题，只要给
出的条件能够使求出的二次函数解析式是第
（1）小题中的解析式就可以了。
而从不同的角度考虑可以添
加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
［解答］
（1）根据y-x2
2
bxc的图象经过点A（c,—2）,图象的对称轴是x=3,
（3.5,0）.
5
令x=3代入解析式，得y5,
2
125
所以抛物线y—X3x2的顶点坐标为（3,—）,
22
5
所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3,5）等等。
2
函数主要关注：
通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数;
将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。
用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1.试在AB上求一点
P,使矩形PNDM有最大面积.
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力•同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.
例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）？
与产品的日销售量y（件）之间的关系
如下表：
x（元）
15
20
30
y（件）
25
20
10
若日销售量y是销售价x的一次函数.
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？
？
此时每日销售利润是多少元?
15kb25
【解析】
（1）设此一次函数表达式为y=kx+b.贝U'解得k=-1,b=40,?
即一次函数表达
2kb20
式为y=-x+40.
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225.
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.
“当
（2）
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：
（1）设未知数在
某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，？
“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；?
问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.
例3.你知道吗？
平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示，正在甩绳
1m
（建
的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离
2.5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为
立的平面直角坐标系如右图所示
（）
A.1.5mB.1.625m
C.1.66mD.1.67m
分析：
本题考查二次函数的应用
答案：
B
.二次函数部分
0:
③
bxc的图象与x轴交于点（2,0）、（为,0），且1x12，与y轴的正半轴的
交点在（0,2）的下方•下列结论：
①4a2bc0:
②ab0:
③2ac0:
④2ab14a+c<0其中的正确结论是
3.
在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=—mx2+2x+2（m是常数，且m^0）的图象可能是（
5•把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y
=x2—3x+5，贝Ua+b+c=
6•图6
（1）旦宽4m.
是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在I时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m,
如图6
（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（
水面
7、
2x2
2x2
12
x
2
12-x
2
如图是抛物线y
为直线X=1,若其与
ax2bxc的一部分，其对称轴
X轴一交点为B（3,0）,则
由图象可知，不等式ax2
bxc>0的解集是
图6
（1）
C的值;
（1）试确定b、
（2）过点C作CD//x轴交抛物线于点D,点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状.
（）.
如图，在平面直角坐标系中，OB0A，且OB20A，点A的坐标是（1,2）.
14.（10分）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数
值：
［注：
"鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］
鞋长（cm）16192124
鞋码（号）22283238
（1）设鞋长为x,“鞋码”为y,试判断点（x,y）在你学过的哪种函数的图象上?
（2）求x、y之间的函数关系式；
（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？
15.（满分8分）阅读材料，解答问题.
例用图象法解一元二次不等式：
x22x30.
解：
设yx22x3，则y是x的二次函数.
Qa10,抛物线开口向上.
2
又Q当y0时，x2x30,解得x11,x23.
由此得抛物线yx22x3的大致图象如图所示.
观察函数图象可知：
当x1或x3时，y0•
x22x30的解集是：
x1或x3.
以下是二次函数和相似结合的几道经典题:
16、（9分）如图11,抛物线ya（x3）（x1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的
国1.L
的长为6.
⑴求二次函数的解析式;
明理由.
18.（本题满分10分）
如图，抛物线的顶点为A（2,1）,且经过原点0,与x轴的另一个交点为B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△M0B的面积是厶AOB面积的3倍；
（3）连结0A,AB,在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与厶OAB相似？
若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由.
19.（本题满分10分）
3
如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（一1,0）,
4
3
过点C的直线y=x—3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点，过P作PH丄0B于点H.若
4t
PB=5t，且0vtv1.
（1）填空：
点C的坐标是▲,b=▲,c=▲;
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）;
（3）依点P的变化，是否存在
t的值，使以P、H、
为顶点的三角
形与△COQ相似？
若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由.
20.（本题满分12分）
12
如图，已知二次函数yxbxc（c0）的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C,且OC2OAOB.
（1）求c的值；
（2）若厶ABC的面积为3,求该二次函数的解析式；
（3）设D是
（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使厶PBD的周长
最小?
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分15分）
如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（1,0）,B（0,3）,0（0,0），将此三角板绕原
点O顺时针旋转90°，得到△ABO.
（1）如图，一抛物线经过点A、B、B，求该
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