初中二次函数知识点总结与练习题.docx

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初中二次函数知识点总结与练习题

二次函数知识点总结

、二次函数概念:

1•二次函数的概念：

一般地，形如yax2bxc（a,b,c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。

里需要强调：

和一元二次方程类似，二次项系数a0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实

数.

9

2.二次函数yaxbxc的结构特征:

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.

⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：

yax2的性质:

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a0

向上

0,0

y轴

x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0.

a0

向下

0,0

y轴

x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0.

2

2.yaxc的性质:

上加下减。

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a0

向上

0,c

y轴

x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c.

a0

向下

0,c

y轴

x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c.

2

3.yaxh的性质:

左加右减。

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a0

向上

h,0

X=h

xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0.

a0

向下

h,0

X=h

xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0.

4.yaxhk的性质:

a的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a0

向上

h,k

X=h

xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k.

a0

向下

h,k

X=h

xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k.

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

2

方法一：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h,k；

⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下:

2.平移规律在原有函数的基础上’h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”

方法二：

⑴yax2bxc沿y轴平移：

向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成

yaxbxcm（或yaxbxcm）

⑵yax2bxc沿x轴平移：

向左（右）平移m个单位，yax2bxc变成

22

ya（xm）b（xm）c（或ya（xm）b（xm）c）

四、二次函数yaxh$k与yax2bxc的比较

从解析式上看,

ax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前

五、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya（xh）2k,确定其开口方向、

对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：

顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1,0，x2,0（若与x轴

没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）

画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数yax2bxc的性质

1.当a0时，

抛物线开口向上，

对称轴为x

舟，顶点坐标为

b4acb2

2a4a

当b

当x

2a

时，y随x的增大而减小；当x

习时，y随x的增大而增大；当x

F时，

2a

y有最小

2

值4acb4a

2.当a0时，

抛物线开口向下,

对称轴为x

玄,顶点坐标为

b4acb2当

ixA

2a

时，y随

•—

2a4a

x的增大而增大；当x—时，y随x的增大而减小；当x—时，y有最大值竺—

2a2a4a

七、二次函数解析式的表示方法

1.

一般式：

y

2ax

bxc（a,b,c为常数，a0）；

2.

顶点式：

y

a（x

h）2k（a,h,k为常数，a0）；

3.

两根式：

y

a（x

Xi）（xX2）（a0,Xi,X2是抛物线与x轴两交点的横坐标）

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化•

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0•

⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.

2.一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.

⑴在a

0的前提下，

当b

0时，

—0,

2a

即抛物线的对称轴在

y轴左侧;

当b

0时，

-0,

2a

即抛物线的对称轴就是

y轴；

当b0时，—0，即抛物线对称轴在y轴的右侧.

2a

⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即

当b

0时，

b

0,

即抛物线的对称轴在

y轴右侧;

2a

当b

0时，

b

0,

即抛物线的对称轴就是y轴；

2a

当b

0时，

b

2a

0

即抛物线对称轴在

y轴的左侧.

九、

1.

总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式;

3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.

二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

关于x轴对称

2

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是

y

2ax

bx

c关于顶点对称后，得到的解析式是y

2

axbxc

b2

2a；

y

ax

2h

k关于顶点对称后，得到的解析式是y

2

axh

k.

5.关于点

m,

n对称

y

ax

2h

k关于点m,n对称后，得到的解析式是

yax

2

h2m2nk

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变•求

抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一兀二次方程axbxc0是二次函数yaxbxc当函数值y0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数：

2.抛物线yax

①当b4ac0时，图象与x轴交于两点AXi,0,Bx?

0（冷x?

），其中的为,沁是一元二次

方程ax2

bxc0a0的两根.这两点间的距离AB沁

b

2

4ac

a

②当

0时，图象与x轴只有一个交点；

③当

0时，图象与x轴没有交点.

1'当

a0时，图象洛在x轴的上方，无论

x为任何实数,

都有

y

0；

2'当

a0时，图象洛在x轴的下方，无论

x为任何实数，

都有

y

0.

2

bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为

（0,c）；

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一兀二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号

判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一

个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标

0

抛物线与x轴有两个交点

二次三项式的值可正、可零、可负

一兀二次方程有两个不相等实根

⑸次有还

0

抛物线与x轴只有一个交点

二次三项式的值为非负

一兀二次方程有两个相等的实数根

与二函数关的有二

0

抛物线与x轴无交占

八、、

二次三项式的值恒为正

一兀二次方程无实数根•

次三项

式，二次三项式ax2bxc（a0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考:

十一、函数的应用

刹车距离

二次函数应用何时获得最大利润

最大面积是多少

二次函数考查重点与常见题型

1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x为自变量的二次函数y（m2）x2m2m2的图像经过原点，则m的值是

2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查

两个函数的图像，试题类型为选择题，如:

如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是（

3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

5

已知一条抛物线经过（0,3）,（4,6）两点，对称轴为x，求这条抛物线的解析式。

3

4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

已知抛物线yax2bxc（0）与x轴的两个交点的横坐标是一1、3，与y轴交点的纵坐标是

（1）确定抛物线的解析式；

（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标

5•考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1

（1）二次函数yax2bxc的图像如图1,则点M（b,C）在（）

a

A•第一象限B•第二象限C•第三象限D•第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象如图2所示，？

则下列结论：

①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0;④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）

A.1个B•2个C•3个D•4个

（1）

（2）

【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系，是解决问题的关键.

例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2,0）、（x1,0），且1

点在点（0,2）的下方.下列结论：

①aO③4a+cO,其中正确结论的个数为（）

A1个B.2个C.3个D•4个

答案：

D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：

关于x的一元二次方程

22

ax+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线

x=2，则抛物线的顶点坐标为（）

积为ym2.

（1）写出y与x的关系式；

（2）当x=2,3.5时，y分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？

求抛物线顶点坐标、对称轴•

15

例5、已知抛物线y=x2+x「

22

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴.

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.

【点评】本题

（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第

（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的

关系.

例6.已知：

二次函数y=ax2-（b+1）x-3a的图象经过点P（4,10），交x轴于a（x1,0）,B（x2,0）两点（xx2）,

交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB

M使锐角/MC0NAC0?

若存在，请你求出

-6）,（5,24）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数的图象上是否存在点M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.

（1）解：

如图•••抛物线交x轴于点A（X1,0）,B（x2,O）,则X1•X2=3<0,又tX1

•••X2>0,X1

22

•X1•X2=-3x1=-3.•X1=1.

x1<0,•X1=-1.•.X2=3.

•••点A（-1,0）,P（4,10）代入解析式得解得a=2b=3二次函数的解析式为y-2x2-4x-6.

⑵存在点M使/MC0

⑵解：

点A关于y轴的对称点A'（1,0）,

•直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为（0,•符合题意的x的范围为-1

当点M的横坐标满足-1

12..

例7、“已知函数y—x2bxc的图象经过点A（c,—2）,

2

求证：

这个二次函数图象的对称轴是x=3。

”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？

若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评：

对于第

（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，—2）”，就可以列出两个

方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。

对于第

（2）小题，只要给

出的条件能够使求出的二次函数解析式是第

（1）小题中的解析式就可以了。

而从不同的角度考虑可以添

加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。

［解答］

（1）根据y-x2

2

bxc的图象经过点A（c,—2）,图象的对称轴是x=3,

（3.5,0）.

5

令x=3代入解析式，得y5,

2

125

所以抛物线y—X3x2的顶点坐标为（3,—）,

22

5

所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3,5）等等。

2

函数主要关注：

通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数;

将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1.试在AB上求一点

P,使矩形PNDM有最大面积.

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力•同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.

例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）？

与产品的日销售量y（件）之间的关系

如下表：

x（元）

15

20

30

y（件）

25

20

10

若日销售量y是销售价x的一次函数.

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？

？

此时每日销售利润是多少元?

15kb25

【解析】

（1）设此一次函数表达式为y=kx+b.贝U'解得k=-1,b=40,?

即一次函数表达

2kb20

式为y=-x+40.

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225.

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.

“当

（2）

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：

（1）设未知数在

某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，？

“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；?

问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.

例3.你知道吗？

平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示，正在甩绳

1m

（建

的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离

2.5m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为

立的平面直角坐标系如右图所示

（）

A.1.5mB.1.625m

C.1.66mD.1.67m

分析：

本题考查二次函数的应用

答案：

B

.二次函数部分

0:

③

bxc的图象与x轴交于点（2,0）、（为,0），且1x12，与y轴的正半轴的

交点在（0,2）的下方•下列结论：

①4a2bc0:

②ab0:

③2ac0:

④2ab14a+c<0其中的正确结论是

3.

在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=—mx2+2x+2（m是常数，且m^0）的图象可能是（

5•把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y

=x2—3x+5，贝Ua+b+c=

6•图6

（1）旦宽4m.

是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在I时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m,

如图6

（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（

水面

7、

2x2

2x2

12

x

2

12-x

2

如图是抛物线y

为直线X=1,若其与

ax2bxc的一部分，其对称轴

X轴一交点为B（3,0）,则

由图象可知，不等式ax2

bxc>0的解集是

图6

（1）

C的值;

（1）试确定b、

（2）过点C作CD//x轴交抛物线于点D,点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状.

（）.

如图，在平面直角坐标系中，OB0A，且OB20A，点A的坐标是（1,2）.

14.（10分）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数

值：

［注：

"鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］

鞋长（cm）16192124

鞋码（号）22283238

（1）设鞋长为x,“鞋码”为y,试判断点（x,y）在你学过的哪种函数的图象上?

（2）求x、y之间的函数关系式；

（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？

15.（满分8分）阅读材料，解答问题.

例用图象法解一元二次不等式：

x22x30.

解：

设yx22x3，则y是x的二次函数.

Qa10,抛物线开口向上.

2

又Q当y0时，x2x30,解得x11,x23.

由此得抛物线yx22x3的大致图象如图所示.

观察函数图象可知：

当x1或x3时，y0•

x22x30的解集是：

x1或x3.

以下是二次函数和相似结合的几道经典题:

16、（9分）如图11,抛物线ya（x3）（x1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的

国1.L

的长为6.

⑴求二次函数的解析式;

明理由.

18.（本题满分10分）

如图，抛物线的顶点为A（2,1）,且经过原点0,与x轴的另一个交点为B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△M0B的面积是厶AOB面积的3倍；

（3）连结0A,AB,在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与厶OAB相似？

若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由.

19.（本题满分10分）

3

如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（一1,0）,

4

3

过点C的直线y=x—3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点，过P作PH丄0B于点H.若

4t

PB=5t，且0vtv1.

（1）填空：

点C的坐标是▲,b=▲,c=▲;

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）;

（3）依点P的变化，是否存在

t的值，使以P、H、

为顶点的三角

形与△COQ相似？

若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由.

20.（本题满分12分）

12

如图，已知二次函数yxbxc（c0）的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C,且OC2OAOB.

（1）求c的值；

（2）若厶ABC的面积为3,求该二次函数的解析式；

（3）设D是

（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使厶PBD的周长

最小?

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分15分）

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（1,0）,B（0,3）,0（0,0），将此三角板绕原

点O顺时针旋转90°，得到△ABO.

（1）如图，一抛物线经过点A、B、B，求该