小学奥数几何计数道.docx

1、小学奥数几何计数道【题型】应用题【题目】 用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形如图19-1,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【答案】630【解析】把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了326根火柴；从上向下数第三层用了339根火柴；从上向下数第20层用了32060根火柴所以，总共要用火柴3(1+2+3+20)630根【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】 如图19-2，用长短相同的火柴棍摆成31996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么

2、一共需用多少根火柴棍? 【答案】13975【解析】横放需19964根，竖放需19973根，共需19964+1997313975根【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】 图19-3是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?【答案】121【解析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图平行四边形中棋孔数为9981，每个小三角形中有10个棋孔，所以棋孔共有81+104121个或直接数出有121个【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】 如图19-4，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多

3、少个？【答案】216【解析】如图AB6，组成AOB需要边长为1的正三角形共：1+3+5+7+9+1136个，而拼成边长为6的正六边形需要6个AOB，因此总共需要边长为1的正三角形366216个【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】 如图19-5，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和【答案】100，10664【解析】确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线段，即可于是横向线段有(1+2+3+4)10种选法，竖向线段也有(1+2+3+4)

4、10种选法，则共有1010100个长方形这些长方形的面积和为：(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)1248610664(平方厘米)【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】 如图19-6，18个边长相等的正方形组成了一个36的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?【答案】36【解析】我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等其中只占有下面一行的有如下12种情况：于是共有12336个正、长方形包含“*” 【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】 图19-7是由若干个相同的小正方形组成的那么

5、，其中共有各种大小的正方形多少个? 【答案】130【解析】每个44正方形中有：边长为1的正方形44个；边长为2的正方形33个；边长为3的正方形22个，边长为4的正方形11个总共有44+33+22+1130个正方形现在5个44的正方形，它们重叠部分是4个22的正方形因此，图中正方形的个数是30554130【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】 图19-8中共有多少个三角形?【答案】22【解析】边长为1的正三角形，有16个边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个因此共有16+3+322个【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】 图19-9是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其

6、中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?【答案】6【解析】设小正三角形的边长为1，分三类计算计数包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个，边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+16个【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】 如图19-10，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 【答案】20【解析】图中共有三角形(1+2+3+4)440个，梯形(1+2+3+4)(1+2+4)60个，梯形比三角形多604020个【难度】难度3【知识点】几

7、何计数【题目】 在图19-1l中，共有多少个不同的三角形?【答案】85【解析】下图中共有35个三角形，两个叠加成题中图形时，又多出5+5215个三角形，共计352+1585个三角形【难度】难度5【知识点】几何计数【题目】 如图19-12，一块木板上有13枚钉子用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图19-13那么，一共可以构成多少个不同的正方形? 【答案】11【解析】按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1，面积为1的正方形有5个，如图a所示；面积为2的正方形有4个，如图b所示；面积为4的正方形有1个，如图c所示；还有1个面积比4大的正方形，如图d所示；于是，一共可

8、以构成5+4+1+111个不同的正方形【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】 如图19-14，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?【答案】32【解析】我们分三种情况来找面积为1平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或2厘米，利用正方形的对称性：(1)等腰直角三角形，如下图a所示有AOC，COE，EOG，GOA，BOH，DFB，FHD，HBF，共计8个，其中以AC，CF，FG，GA为底的各一个，以BF，DH为底的各两个(2)直角三角形，如图b所示有ACH，CHD

9、，ACD，DHA，BEF，BCE，CEF，CFB，DEG，DGH，EGH，EHD，GAB，GBF，FAB，FGA，共计16个，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB为斜边的各两个(3)钝角三角形，如图c所示有ABE，AHE，ADE，AFE，CBG，CFG，CDG，CHG共计8个，其中以AE、CG为边的各四个于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角形32个【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】 如图19-15，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?【答案】200【解析】我们先任意选取三个点，那么第1个点有12个位置可以选择，第2个点有

10、11个位置可以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是每6种选法对应的都是同一个图形，如下图，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA均是同一个图形所以有1211106220种选法，但是如果这3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有4种情况，共34；每列有1种情况，共14；2个边长为2的正方形的4条对角线，共4种情况所以，可以套出22034144200个不同的三角形【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】 如图19-16，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?【答

11、案】12【解析】如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从7个点中任取4个点，则第一个点有7个位置可选，第二个点有6个位置可选，第三个点有5个位置可选，第四个点有4个位置可选，而不考虑先后，那么有432124种选法的实质是一样的，所有可能的组合数目应该是(7654)2435我们只要从中减去不能构成四边形的情形对图19-16而言，任取4个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的4个点中有3个来自正方形ACEG的一条边，而另一个则任意选取的时候，例如选定A、B、C3点，第4个点无论如何选取都不能构成四边形正方形的4条边中有3条都存在这样的情况而每次这种情况发生时，第4个顶点的选取有4种可能所取的顶点只

12、有4个，因此不可能出现同时选择了2条有3点共线的边的情况那么需要排除的情况有4312种所以，满足题意的四边形个数有351223个【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】 数一数下列图形中各有多少条线段.【答案】15【解析】要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段213条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中

13、，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3216条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3216条，又如上页图（3）中线段AE上

14、有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是432110条.解：213（条）. 3216（条）. 432110（条）.小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）

15、减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是615，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是415.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5432115（条）.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】数出下图中总共有多少个角.【答案】10【解析】在AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成

16、的角有3个（即AOC2、C1OC3、C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即AOC3、C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即AOB），所以AOB内总共有角：432110（个）.解：432110（个）.小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】数一数下图中总共有多少个角？【答案】55【解析】因为AOB内角分线OC1、OC2OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+4+3+2+1=55（个）.【难

17、度】难度3【知识点】几何计数【题目】如下图中，各个图形内各有多少个三角形？【答案】（1）6（2）10【解析】可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：ABD、ABE、ABF、ABC四个三角形.再数以AD为一条边的三角形共有：ADE、ADF、ADC三个三角形.以AE为一条边的三角形共有：AEF、AEC二个三角形.最后以AF为一条边的三角形共有AFC一个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：ABD、ADE、AEF、AFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：ABE、ADF、AEC三个

18、三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：ABF、ADC二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.解：3+2+1=6（个） 4+3+2+1=10（个）.答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【答案】60,30【解析】分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎

19、么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）.要数有多少个三角形，先看在AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在AMN与ABC中，三角形有同样的个数，所以在ABC中三角形个数总共：（4+3+

20、2+1）3=103=30（个）.解：在ABC中共有线段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）在ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）3=103=30（个）.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如右图中，共有多少个角？【答案】13【解析】分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.1、2、3、4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：1与2、2与3、3与4、4与1，共4个角.由3个基本角组成的角有：1、2与3；2、3与4；3、4与1；4、1与2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：43+1=13（个）.解：所以图

21、中共有角是：43+1=13（个）.小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1）+1.【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】在图中(单位：厘米)： 一共有几个长方形? 所有这些长方形面积的和是多少?【答案】100,12384【解析】一共有(个)长方形；所求的和是 (平方厘米)。【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】由20个边长为1的小正方形拼成一个长方形中有一格有“”图中含有“”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。 【答案】48,360【解析】含的一行内所有可能的长方形有：(八种)含的一列内所有可能的长方形有：(六种)所以总共长方

22、形有个，面积总和为。【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】图中共有多少个三角形？【答案】118【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为6类（1）最大的三角形1个(即ABC)，（2）第二大的三角形有3个（3）第三大的三角形有6个（4）第四大的三角形有10个（5）第五大的三角形有15个（6）最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形259=118（个）。【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】一个圆上有12个点A1，A2，A3，A11，A12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点

23、，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法?【答案】55【解析】我们采用递推的方法I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法。如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形此时，其余的6个点可能分布在：A1所在三角形的一个边所对的弧上；也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧如果是情形，则由，这六个点有三种连法；如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法.共有12种连法最后考虑圆周上有12个点同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：9个点都在同一段弧上：有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上得到表3共有123+36+155种所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种。【难度】难度5【知识点】几何计数